《平面向量应用举例》同步练习 省赛一等奖 省赛一等奖

《平面向量应用举例》同步练习基础巩固一、选择题1．若向量eq\o(OF1,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)分别表示两个力eq\o(F1,\s\up6(→))、eq\o(F2,\s\up6(→))，则|eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→))|为()A．(5,0) B．(－5,0)C．eq\r(5) D．－eq\r(5)[答案]C[解析]∵eq\o(OF1,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(OF2,\s\up6(→))＝(－3，－2)，∴|eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→))|＝eq\r(1－32＋1－22)＝eq\r(5)，故选C．2．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，则()A．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→)) B．eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(CE,\s\up6(→))共线C．eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线[答案]D[解析]∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，即eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线．3．(2022·济南模拟)已知点A(－2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2，则点P的轨迹是()A．x2＋y2＝1 B．x2－y2＝1C．y2＝2x D．y2＝－2x[答案]D[解析]eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－y)则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x)(－x)＋y2＝x2，∴y2＝－2x.4．在△ABC中，∠C＝90°，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(k,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,3)，则k的值是()A．5 B．－5C．eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)[答案]A[解析]由题意，得eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．∵∠C＝90°，∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.∴2(2－k)＋3×2＝0.∴k＝5.5．点O是△ABC所在平面内的一点，满足eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，则点O是△ABC的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高线的交点[答案]D[解析]由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(OB,\s\up6(→))⊥eq\o(CA,\s\up6(→)).同理可证eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)).∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点．6．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N，当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10eq\r(2)NC．20eq\r(2)N D．40eq\r(2)N[答案]B[解析]如图，以F1、F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．由题意，易知|F|＝eq\r(2)|F1|，|F|＝20N，∴|F1|＝|F2|＝10eq\r(2)N.当它们的夹角为120°时，以F1、F2为邻边作平行四边形，此平行四边形为菱形，此时|F合|＝|F1|＝10eq\r(2)N.二、填空题7．力eq\o(F,\s\up6(→))＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为eq\o(s,\s\up6(→))＝(3,4)，则力eq\o(F,\s\up6(→))对质点P做功的是________．[答案]－11[解析]∵W＝eq\o(F,\s\up6(→))·eq\o(s,\s\up6(→))＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力eq\o(F,\s\up6(→))对质点P做的功是－11.8．(浙江高考)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为eq\f(1,2)，则α与β的夹角θ的取值范围是____________．[答案][eq\f(π,6)，eq\f(5,6)π][解析]以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝eq\f(1,2)，所以sinθ＝eq\f(1,2|β|)，又因为|β|≤1，所以eq\f(1,2|β|)≥eq\f(1,2)，即sinθ≥eq\f(1,2)且θ∈[0，π]，所以θ∈[eq\f(π,6)，eq\f(5,6)π]．三、解答题9．在△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，用向量法证明CD＝eq\f(1,2)AB．[证明]如图，设eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，则a与b的夹角为90°，∴a·b＝0.又eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|a＋b|＝eq\f(1,2)eq\r(a＋b2)＝eq\f(1,2)eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\f(1,2)eq\r(|a|2＋|b|2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|b－a|＝eq\r(b－a2)＝eq\r(|b|2－2a·b＋|a|2)＝eq\r(|a|2＋|b|2).∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|.∴CD＝eq\f(1,2)AB．10．已知在静水中船速为5m/s，且知船速大于水速，河宽为20m，船从A点垂直到达对岸的B点用的时间为5s，试用向量法求水流的速度大小．[解析]设水流的速度为v水，船在静水中的速度为v0，船的实际行驶速度|v|＝eq\f(20,5)＝4(m/s)，则v水＋v0＝v，v0＝v－v水，且v与v水垂直，v·v水＝0，∴25＝|v－v水|2＝|v|2＋|v水|2＝|v水|2＋16∴|v水|＝3，即水流速度为3m/s.能力提升一、选择题1．(2022·烟台模拟)若M为△ABC所在平面内一点，且满足(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))·(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))－2eq\o(MA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形[答案]B[解析]由(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))·(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))－2eq\o(MA,\s\up6(→)))＝0，可知eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，设BC的中点为D，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，故eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(CB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→)).又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形．2．(2022·福建文)在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A．eq\r(5) B．2eq\r(5)C．5 D．10[答案]C[解析]本题考查向量的坐标运算，数量积、模等．由题意知AC，BD为四边形对角线，而eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1×(－4)＋2×2＝0∴AC⊥BD．∴S四边形ABCD＝eq\f(1,2)×|eq\o(AC,\s\up6(→))|×|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(12＋22)×eq\r(－42＋22)＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(20)＝5.3．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，则点O、N、P依次是△ABC的()A．重心外心垂心 B．重心外心内心C．外心重心垂心 D．外心重心内心[答案]C[解析]由|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，已知点O为△ABC的外心，由eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，知点N为△ABC的重心；由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，得(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，即eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，故eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→)).同理，AP⊥BC，故P为△ABC的垂心，选C．4．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝()A．2 B．4C．5 D．10[答案]D[解析]将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则eq\f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝eq\f(\o(PA,\s\up6(→))2＋\o(PB,\s\up6(→))2,\o(PC,\s\up6(→))2)＝eq\f(\o(PC,\s\up6(→))＋\o(CA,\s\up6(→))2＋\o(PC,\s\up6(→))＋\o(CB,\s\up6(→))2,\o(PC,\s\up6(→))2)＝eq\f(2|\o(PC,\s\up6(→))|2＋2\o(PC,\s\up6(→))·\o(CA,\s\up6(→))＋\o(CB,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))2,|\o(PC,\s\up6(→))|2)＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|2,|\o(PC,\s\up6(→))|2)－6＝42－6＝10.二、填空题5．某人从点O向正东走30m到达点A，再向正北走30eq\r(3)m到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是东偏北________．[答案]6060°[解析]如图所示，此人的位移是eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，则|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(|OA→|2＋|AB→|2)＝60(m)，tan∠BOA＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(OA,\s\up6(→))|)＝eq\r(3).∴∠BOA＝60°.6．(2022·广东韶关模拟)作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为eq\f(2π,3)，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为____________．[答案]eq\r(19)[解析]|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝Feq\o\al(2,1)＋2F1·F2＋Feq\o\al(2,2)＝32＋2×3×5×coseq\f(2π,3)＋52＝19，所以|F1＋F2|＝eq\r(19).三、解答题7．如图所示，已知▱ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝eq\f(π,3)，求对角线AC和BD的长．[解析]设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，a与b的夹角为θ，则|a|＝3，|b|＝1，θ＝eq\f(π,3).∴a·b＝|a||b|cosθ＝eq\f(3,2).又∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(AC→2)＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(13)，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(DB,\s\up6(→))2)＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(7).∴AC＝eq\r(13)，DB＝eq\r(7).8．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC．[解析]如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是e