第九章排列组合与概率

知识

A＝易错

基本事件的总 [试一试从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是 从1,2,3,4,5,6六个数中任取3个数，则取出的3个数是连续自然数的概率是 方法总[练一练则直线y＝kx＋b不经过第二象限的概率为( 1 若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是 如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i＝1,2,3；j＝1，2,3)，从 中任取3个数，则至少有2个数位于或同列的概率是( 4 4121个，现从袋中有放回地取球，2104分[类题通法

P.古典概型在 常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖角度一角度 古典概型与直线、圆相结2．连掷两次得到的点数分别记为a和b，则使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2－(y－b)2＝4相切的概率 66 角度三

从[类题通法几何概知识 易错[试一试在长为6m的木棒AB上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2m的概率是 四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( 4π4π

方法总与长度有关的几何概型，其基本事件只与续的变量有关[练一练 方形中随机撒3粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积 3

(x－4)2＋y2≤1表示的平面区域为N，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N内的概率 3 D. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率 [类题通法 蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( 88 [类题通法[针对训练在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( B．1－ 与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一.归纳起来常见题角度角度一如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信， 假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号 来源，工作 () 4 4角度二的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次2秒的概率是() 角度三已知Ω＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}，A是曲线y＝x2与y＝1围成的区 域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为 [类题通法离散型随量及其分布知识n)P(X＝xi)＝pi，则表X……P……i＝1,2，…，nX的分布列．离散型随量的分布列的性1n2若随量X服从两点分布，即其分布列X01PpMNnX件次品，则事件{X＝k}P(X＝k)CkCn－k＝M C CN布列

X01…mPC0MNC1MN…CmMN易错[试一试已知离散型随量ξ的分布列ξ123…nP…2则k的值为( 2

已知 量X的分布列为P(X＝i)＝i(i＝1,2,3)，则 方法总由统计数据得到离散型随量的分布列由古典概型求出离散型随量的分布列[练一练从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随量X的概率分为X012P它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为 离散型 量X的概率分布规律为 (n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则 ＝的值为 ＝

3

随量X的分布列如下X01Pabc其中a，b，c成等差数列，则 [类题通法1A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．X[类题通法

求离散型随量分布列的步找出随量X的所有可能取值[针对训练XX[典例]从某小组的5名和4名男生中任选3人去参加一项公益活动33ξ在本例条件下，求所选3人中人数X的分布列[类题通法[针对训练75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如PM2.531111310PM2.53从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据的天数，求ξ的分布列n次独立重复试验与二项知识A、BP(A)>0 A＝PA(2)BCBA，BP(AB)＝P(A)P(B)ABABABABABABn次nnXAApXX～B(n，p)p为成功式Ai(i＝1,2，…，n)i次nAk次的概率P(X＝k)＝Ckpk(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n)n易错ABBAn＝1[试一试

3粒这样的恰有2粒发芽的概率是 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( 方法总A，BA，BA，B都不发生的事件为 BA，BABAA，B至多一个发生的事件为AB∪AB∪ B[练一练为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是( A. 44某光电公司生产的节能灯使用超过30000小时的为一级品现已知某批产品中的一级品率为从中任意抽出5件，则5件中恰有2件为一级品的概率为 A．0.102 B．0.204C．0.208 D．0.30737要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次 A. 5112个玻璃球，34个玻璃球，7个为() 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一 [类题通法

＝PAAn(A)AB

＝nA[典例 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位

331在本例条件下求三人均未被选中的概率

[类题通法

[针对训练高一新生军训时经过两天的打靶训练甲每射击10次可以9次乙每射击9次可以8次甲、 [典例 24名考生选做每一道题的概率均为2422ξξ[类题通法随量是这n次独立重复试验中事件发生的次数[针对训练AA至少发生一次的概率为则事件A恰好发生一次的概率为 离散型随量的均值与方差、正态分知识1．(1)一般地，若离散型随量X的分布列为X……P……则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随量X的均值或数学期望，它反映了离散型随量(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)(1)XE(X)＝p；设离散型随量X的分布列X……P……n程度的平均，刻画了随量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随量X的方差，其算术平方根DX为随量X的标准差．Xxxx＝μσ③曲线在 1σxσμxμσ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲易错理解均值E(X)易，均值E(X)是一个实数，由x的分布列唯一确定，即X作为随量是可变的E(X)X值的取值平均状态．[试一试设X～B(n，p)，若D(X)＝4，E(X)＝12，则n和p分别为

XX01P121316则在下列式子中

＝3 方法总求离散型随量均值、方差的基本方[练一练2面试相互独立，则面试结束后通过人数ξ的数学期望E(ξ)的值为 B.9 9篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的数学期望是( XXX123P35312则X的数学期望E(X)＝( 25

如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的 过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值 741,2,3,432,3,4.4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同43在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随量X的分布列和数学期望[类题通法

求离散型随量均值的步理解随量X的意义，写出X可能取得的全部值XX[典例]a个红球，b个黄球，c13当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随量ξ为2ξ的分布列；从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随量η为取出此球所得分数．若

5

[类题通法1．D(X)表示随量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，XE(X)附近，统计中常用DXX的分散程度．2．随量的均值反映了随量取值的平均水平，方差反映了随量稳定于均值的程度，它们[针对训练X89PY89P[典例]设随量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ＜2)＝0.8，则P(0＜ξ＜1)的值为 (2)已知随量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则 [类题通法

熟记(2)xx＝μx＝μ[针对训练某班有50名学生，一次考试后数学成绩X(X∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤X≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为 课后作用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是

5 5如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点 MN的长度超过2R的概率是( 线y＝x经过点小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC A. 3的椭圆的概率为

如图所示，图2中实线围成的部分是长方体( 的矩形内任意抛1掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是积

则此长方体的体011122n12的小球的概率是2n2ab.(ⅰ)记“a＋b＝2AA的概率；是“友好函数”，设 大于2的概率是

B. D.VS-ABCABP，则三棱锥S-

X012PX012PX012PX012P

的体积大于3X01X012P172737X1234P0袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随量X，则X所有可能取值的个数是( 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随量，则P(X＝4)的值为( C. 2 2 0.4,0.50.YY的分布列．2设A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，2A2BAB2

B有效的概率为XX3概率为3XX

四项考试不合格的概率均为2n位校友登记制作了一份校友，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为

nn＝122ξξ为适应2012年3月23日交通管理局的《加强机动车驾驶人管理指导意见》，某驾校1044100.8822ξξ 若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为( 已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( 66设随量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则

3 3随量ξ的分布列如下ξ123Pabc其中a，b，c成等差数列．若 ＝3设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝ 1,2,3，…，99331ξ3个数中两数相邻的组数(1,2,31,22,3的值是2)．求随量ξ的分布列及其数学期望乙、丙约定两人面试都合格就一同签约，否则两个人都不签约．设甲面试合格的概率为23为迎接6月6日的“爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检43 6677789950 21632以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3X表示抽到“好X的分布列及数学期望．44件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝41件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通假设这批产品的优质品率为

，即取出的每件产品是优质品的概率都为2X(单位：元)XN(168,16)50160cm184cm50172cm以上(172cm)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高(从高到低130ξξ的数学期望．ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝