高二寒假讲义6 圆锥曲线与方程（文） （教师专用）

高中数学寒假讲义寒假精练6圆锥曲线与方程寒假精练6圆锥曲线与方程典题温故1．如图，把椭圆的长轴分成等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，七个点，F是椭圆的一个焦点，则．典题温故【答案】35【解析】假设另一个焦点为，则由椭圆的中心对称性知，，所以．2．（2019年全国一卷）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点．若，，则的离心率为．【答案】2【解析】如图，，，则是直角三角形，所以，因此是等腰三角形，，即A直线的中点，∴，根据双曲线的对称性，可得，∴，∴，即，，即，，，故答案为2．经典集训一、选择题经典集训1．已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A． B． C． D．2．（2017全国二卷）若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2017全国三卷）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）A． B． C． D．4．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使得，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率（）A． B． C． D．5．设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（）A． B． C． D．6．已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．7．如图，已知点及抛物线上的动点，则的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．8．（2019汕头模拟）已知点O为双曲线C的对称中心，直线交于点O且相互垂直，与C交于点，与C交于点，若使得成立的直线有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题9．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为．10．已知等腰梯形的顶点都在抛物线上，且，，，，则点到抛物线的焦点的距离是_________．三、简答题11．已知，，是抛物线上的三个点，且它们到焦点的距离，，成等差数列，求证：．12．（2019年全国二卷）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．求的方程，并说明是什么曲线．13．（2019年全国三卷）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．证明：直线过定点．

【答案与解析】一、选择题1．【答案】A【解析】由题意设直线的方程为，分别令与，得，．设OE的中点为N，则，则，即，整理得，所以椭圆C的离心率，故选A．2．【答案】C【解析】由题意，因为，所以，则，故选C．3．【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即，即，从而，则椭圆的离心率，故选A．4．【答案】B【解析】（1）由，由，得，即，得，故选B．5．【答案】A【解析】抛物线的焦点为，∴椭圆的焦点在轴上，∴，由离心率，可得，∴，故．故选A．6．【答案】D【解析】双曲线的离心率，，，，故渐近线方程为，故答案为D．7．【答案】A【解析】作轴于A点，并与准线相交于B点．抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的几何意义可得，所以．故选A．8．【答案】D【解析】不妨设双曲线的方程是，由及双曲线的对称性知关于轴对称，如图，又满足条件的直线只有一对，当直线与轴夹角为时，双曲线的渐近线与轴夹角大于，双曲线与直线才能有交点，且满足条件的直线只有一对，可得，即有，则双曲线的离心率的范围是．故选D．二、填空题9．【答案】【解析】双曲线的渐近线过点，即，即，而，所以，即双曲线的离心率．10．【答案】【解析】由题意可设，，因此，，因此点到抛物线的焦点的距离是．三、简答题11．【答案】证明见解析．【解析】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，，．因为，，成等差数列，所以，所以．又，所以，即．12．【答案】见解析．【解析】由题意得，整理得曲线的方程，曲线是