基本初等函数的导数 同步训练-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

基本初等函数的导数（同步训练）一、选择题1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))′＝()A.eq\f(1,\r(2))B.1C.0D.eq\f(1,2\r(2))2.已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的点P坐标为()A.(－2，－8)B.(－1，－1)或(1，1)C.(2，8)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))3.已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A.0条B.1条C.2条D.3条5.若函数y＝10x，则y′|x＝1＝()A.eq\f(1,10)B.10C.10ln10D.eq\f(1,10ln10)6.已知函数f(x)＝x5的导函数为y＝f′(x)，则f′(－1)＝()A.－1B.1C.5D.－57.已知函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝()A.1B.eq\f(1,2)C.0D.－18.曲线y＝x3在点(1，1)处的切线方程为()A.3x－y－2＝0B.2x－y－1＝0C.x－y＝0D.3x－y＝09.下列结论中正确的个数为()①若y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)；②若y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)；③若y＝2x，则y′＝2xln2；④若y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2).A.0B.1C.2D.310.(多选)下列求导正确的是()A.(x8)′＝8x7B.(4x)′＝4xln4C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))))′＝sinxD.(e2)′＝2e二、填空题11.直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线f(x)＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________12.已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝lnx．若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.13.设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________14.已知P为曲线y＝lnx上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为__________时，PQ最小，此时最小值为________三、解答题15.已知曲线y＝eq\f(1,x)(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1，0)的切线方程．16.已知两条曲线y1＝sinx，y2＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．17.已知点A（eq\f(1,2)，－1），B(2,1)，函数f(x)＝log2x.(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．(2)在曲线y＝f(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤2))上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案及解析：一、选择题1.C2.B3.C4.B解析：先将f(x)变形为y＝x2的形式，再求导，即f(x)＝eq\r(x\r(x))＝eq\r(\r(x3))＝5.C解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.故选C．6.C解析：∵f′(x)＝5x4，∴f′(－1)＝5.故选C．7.A解析：f′(x)＝1，故f′(0)＝1.8.A9.D解析:y′＝0，所以①不正确；y′＝(x－2)′＝－2·eq\f(1,x3)，所以y′|x＝3＝－eq\f(2,27)，所以②正确；y′＝2xln2，所以③正确；y′＝eq\f(1,xln2)，所以④正确．10.AB解析：C项中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝cosx，∴(cosx)′＝－sinx；D项中，(e2)′＝0.二、填空题11.答案：ln2－1解析：由切线方程知切线斜率是eq\f(1,2)，即y′＝eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)，x＝2.因为切点在y＝lnx上，所以切点为(2，ln2)．因为切点也在切线上，所以将(2，ln2)代入切线方程得b＝ln2－1.12.答案：1解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝eq\f(1,x)，所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－eq\f(1,x)＝1.解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)，因为x＞0，所以x＝1.13.答案：(0，－a2)解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．14.答案:(1，0)，eq\r(2)解析：如图所示，当直线l与曲线y＝lnx相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值．令y′＝eq\f(1,x)＝1，解得x＝1，∴P(1，0)，∴|PQ|min＝eq\f(|1－0＋1|,\r(2))＝eq\r(2).三、解答题15.解：∵y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).(1)显然P(1，1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝eq\f(1,x)在x＝1处的导数，即k＝f′(1)＝－1，所以曲线在P(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.(2)显然Q(1，0)不在曲线y＝eq\f(1,x)上，则可设过该点的切线的切点为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－eq\f(1,a2)，则切线方程为y－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(x－a)①.将Q(1，0)代入方程，得0－eq\f(1,a)＝－eq\f(1,a2)(1－a)，解得a＝eq\f(1,2)，代入方程①，整理可得切线方程为y＝－4x＋4.16.解：由于y1＝sinx，y2＝cosx，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，则cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，但这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17.解：(1)设切点为(m，log2m)(m>0)．因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝eq\f(1,xln2).由题意可得eq\f(1,mln2)＝eq\f(log2m,m)，解得m＝e，所以切线方程为y－log2e＝eq\f(1,eln2)(x－e)，即y＝eq\f(1,eln2)x.(2)过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，B(2,1)的直线的斜率为kAB＝eq\f(4,3).假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，设P(n，log2n)，eq\f(1,2)≤n≤2，则有eq\f(1,nln2)＝eq\f(4,3)，得n＝eq\f(3,4ln2).