浙江省杭州八校联盟高二上学期期中联考数学试题(解析版)

35D35Dn，2j【答案】C2019-2020学年浙江省杭州八校联盟高二上学期期中联考数学试题一、单选题.在|_ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a=3,A=60，C=45,，则边长c=( )A.242 B.66 C.2屏 D.42【答案】B【解析】由已知利用正弦定理即可求解.【详解】解：\(a=3,A=60，，C=45,，,23——ac asinC2 -二由正弦定理——二 ，可得c= =-仔-=V6.sinAsinC sinA、.32故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题..等比数列Gn｝中，已知a2=1,a3a6=9,则a7=( )3【答案】D3【答案】D78 D.9【解析】根据等比中项的性质a3a6=a2a7,即可得到所求.【详解】解：依题意，数列Q｝为等比数列,所以a2a7=a3a6=9,即a7=9,故选：D.【点睛】本题考查了等比中项的性质，主要考查对等比数列性质的应用能力，属于基础题..下列说法正确的是( )

A.当XA0时,_2JTB.当x¥kn+—，kA.当XA0时,_2JTB.当x¥kn+—，kwZ时，cosx+

2—_2cosxC.当x之2时，X1十一的最小值为2xD.当0cxM1时,1…，…x--无取大值【解析】当XA0时，由基本不等式可得,2,当cosx<0时,cosxcosx1cosxcosx<0,当x之2时，由对勾函数的单调性可知， y=x：在上单1倜递增，当0<xE1时，函数y=x—-单调递增，故当x=1时函数取得最大值，从而x可求.【详解】解：当x>0时，由基本不等式可得,1解：当x>0时，由基本不等式可得,1、、x=2,当且仅当右即x=1时取等号；故A正确;当cosx<0时，当cosx<0时，cosx—<0,cosx故B错误;当x圭2时，由对勾函数的单调性可知，y=x+1在［2,收）上单调递增，故当x=2时,x，—一，，， 5 函数取得最小值5,故C错误;21 当0<xW1时，函数y=x—-单调递增，故当x=1时函数取得最大值0,故D错误.故选：A.本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，及利用函数的单调性求解函数的最值，属于基础试题..关于x的不等式x+x-1之4的解集是A._二一3A._二一3,，2【解析】2x-1,x1

Ix+x—1={1,0<x<1,根据【解析】2x-1,x1

Ix+x—1={1,0<x<1,根据x-2x1,x二0C2x-1至4+x—124,可得《 或x>1-2x1,4然后解出不等式即可.【详解】解：x+x-12x-1,x11,0<x<1,-2x1,x<0；x+,x-1"，二W2x-1_4 -2x1.4TOC\o"1-5"\h\z5- 3二x之一或x<—,5 3二不等式的解集为{x|x之？或xM—3}.\o"CurrentDocument"2 2故选：C.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和计算能力，属基础题..下列命题中为假命题的是（A.垂直于同一直线的两个平面平行B.垂直于同一直线的两条直线平行C.平行于同一直线的两条直线平行D.平行于同一平面的两个平面平行【解析】根据平行公理，平行线的定义,以及面面平行的判定定理，对各选项分析判断即可求解.A正确;A正确;这三条直线在同一平面内，方可，故B错误;由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C正确;平行于同一平面的两个平面平行，根据平行公理知由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C正确;平行于同一平面的两个平面平行，根据平行公理知D正确;故选：B.本题考查空间线面和线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题..若直线l过点（1,3）且在两条坐标轴上的截距相等， 则直线l的斜率k是（

A.k=—1或A.k=—1或k=3B.卜=±1或卜=3C.k=-1 D.k=1或k=3【答案】A【解析】通过分类讨论，利用斜率计算公式即可得出.【详解】解：直线1经过原点时，可得斜率k=3.直线不经过原点时，直线1过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，:经过点(a,0),(0,a)(a¥0).二k=-1.综上可得：直线1的斜率k=-1或3.故选：A.【点睛】本题考查了斜率计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题..等差数列KYnWN*)的公差为d,前n项和为&,若a〔>0,d<0,$4=61,则当Sn取得最大值时，n=( )A.7 B.8 C.7和8 D.15【答案】C【解析】根据S4=S11,可得a8=0,进而根据已知条件可得当Sn取得最大值时n的值【详解】a^a〃解：依题意，S4=&1,即S11-S4=――11M7=7a8=0,2二a8—0,又数列｝中，a1>0,d<0,所以数列｛an)的前7项大于0,所以当Sn取得最大值时，门=7或门=8,故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的单调性，等差数列的前 n项和，考查分析解决问题的能力，推理能力和计算能力，属于基础题..如图，在正四面体ABCD中（棱长均相等的四面体叫做正四面体） ，M是线段BC的中点，P是线段AM上的动点，则直线DP和BC所成角的大小（ ）AA.90o B.60oC.45o D.与P的位置有关【答案】A【解析】连接DM,可以证到BCXDM,BCXPM,从而证到BCL平面DMP,所以BCXDP,就可以知道所成角为90度.【详解】连接DM.二四面体是正四面体，M是BC的中点.•.△DBC是等边三角形、4ABC是底边为BC的等腰三角形， ，BC，DM,BCXPM..DM?平面DMP,PM?平面DMP,DMAPM=M..BC,平面DMP,DP?平面DMP,••BCXDP.直线DP与BC所成角为90。，故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，考查线面垂直的转化，考查推理能力与想象能力，属于简单题目..设a、hc分别为LABC中NA、NB、』C对边的边长，则直线xsinB+by+2c=0与直线ax—ysinA+cosC=0的位置关系（ ）A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直【答案】D【解析】由相互垂直的直线斜率之间关系、正弦定理即可判断出位置关系.【详解】解：；asinB—bsinA=0,由正弦定理可知恒成立.二直线xsinB+by+2c=0与直线ax-ysinA+cosC=0垂直.故选：D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间关系、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题..平行四边形ABCD中，/ABD=601/BAD=95~,将ABD绕直线BD旋转至与面BCD重合，在旋转过程中（不包括起始位置和终止位置），有可能正确的是A.AB//CD B.AB1CDC.AD_LBC D.AC_LBD【答案】B【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解.【详解】解：在A中，AB//CD,不可能，若AB//CD,则AB与CD共面，在旋转过程中不可能共面.故A错误；在B中，；/ABD=60",/BAD=951C=95°,二ABJ-CD有可能.故B正确;

在C中，；/ADB=180*—601—95口=25口，/ADC=85,,-.ZADE=90°,ZCDF=90°-853=5°,，CFD=90',但此时是终止位置， 工C不正确.在D中，如图，在旋转过程中,ABAB点A在平面BCD上的投影的轨迹即为线段AE,7^ABD=60*>NABD=45。二在旋转过程中AC与BD的夹角（钝角部分）会越来越大,二D选项不可能.故选：B.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.二、填空题11.已知数列11.已知数列｛an｝的通项公式a,前2019项和S201920192020直接利用数列的通项公式求出结果，进一步利用裂项相消法求出数列的和.解：数列a解：数列an〉的通项公式an~ 1所以a22~c11所以S~c11所以Sn=1-221 1 1 彳13 201920201202020192020故答案为：1,迎96 2020【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型..已知各个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为 3、4、5,则这个球的半径为,球的表面积为.【答案】5211 502【解析】直接利用长方体和外接球体之间的关系建立关系式， 进一步求出半径和球的表面积.【详解】解：个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为 3、4、5,则该球体为长方体的外接球体，设球的半径为r,则（2r）2=32+42+52,解得r=5J2,故球的表面积为S=4nT2=50n.故答案为：W2,50n.2本题考查的知识要点：长方体和外接球体的关系，球体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型..一个锥体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积为【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱锥，底面边长为再由侧面积与体积公式求解.8,斜高为【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱锥，底面边长为再由侧面积与体积公式求解.8,斜高为5,【详解】【详解】可知该几何体为正四棱锥，底面边长为 8,斜高为5,1则此几何体的侧面积为4M—黑8M5=80;21 -22体积V=—父8父8父^52^42=64.3故答案为：80；64.【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.14.在|_ABC中，已知AB=2,AC=3,BC=4,M是BC的中点，则AM=,102AM的先由余弦定理求出cosC;AM的长.解：由题ABC解：由题ABC中,AB=2,BC=4,AC=3所以由余弦定理得,CCBM=MC=2AM2=AC2CM2-2ACCMcosCBM=MC=2TOC\o"1-5"\h\z2 2 7 5=3222-232-8 2'-AM=叵.即中线AM的长为叵.2 2故答案为：」0.2【点睛】本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.15.已知两条平行直线li：3x+4y+1=0,I2：6x+ay+b=0间的距离为2,则b=.【答案】22或—18【解析】根据两直线平行求出a的值，再根据两平行线间的距离列方程求出 b的值.【详解】解：两条平行直线li：3x+4y+1=0,I2：6x+ay+b=0,则3a—6M4=0,解得a=8；所以直线l1：6x+8y+2=0,l2：6x+8y+b=0；则两平行线间的距离为b-2, 则两平行线间的距离为b-2, —=2,■,62 82解得b=22或-18.故答案为：22或-18.本题考查了两直线平行的条件和平行线之间的距离计算问题，是基础题.16.记min{x,y,z}表示x、y16.记min{x,y,z}表示x、y、z的最大值为.【答案】、.3【解析】通过a,b的分类讨论，结合不等式的缩放和基本不等式可求解.【详解】.21 -斛：设a—b——b,则a=b=J3①a=b=石时，min4a,b,2+工｝=min｛石,V3,V3)=石；ab((I)求证：角B、A、C成等差数列;②a岂点b>J3时,21 21 二一+—<J3②a岂点b>J3时,21 21 二一+—<J3,，min』a,b,-+— 卜< J3 ;ab a bDa,.3,0:二b:二、3,,2mina,b,-a1 •,2一二minb-b.a21 21 「若bW2+1minWb,—+—bWb<J3,ab' aba2 1 2 1 2 1 —右一十一<bminWb,—十—"一十—cb<J3,ab'IabJab.21 -mina,b,-•一：：、.3

ab. 21[r21minWa,b,一十一b=min4a,一十-5,

ab.aba2 1 . 2 1 -右aW-+一时，min?a,-+-1=a<J3,ab .ab21>一4一时,

abmin2a,a2mina,b,一aac点be石时，2+1A6,ab2 1 —mina,b,一 一 ：二3ab21一一，，，,一综上:min«a,b,—+一》的取大值为33ab综上:故答案为：、,3【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想方法，以及不等式的性质，是一道中档题.三、解答题17.在LaBC中，a、bhc分别是角A、B、C所对的边，且a2+bc=b2+c2.(□)若SABC=2,求a的最小值.【答案】(I)证明见解析(II)2提超3【解析】(I)直接利用余弦定理的应用求出结果.(n)利用余弦定理和基本不等式和三角形的面积公式的应用求出结果.【详解】(I)证明：在LABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且a2+bc=b2+c2.2 2 2整理得cosA=bC-a2bc31所以A=-,32二所以B+C=——=2A,3所以角B、A、C成等差数列.,，c1 8(n)解：由于Sabc=2bcsinA=2,所以bc=^3一一. 2 .2 2 . 8所以a=b+c-2bccosA>2bc-bc=bc=—f=,本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型..3本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.基本不等式的应用,2.已知集合A={x|x—7x+6<0},集合B={x|x—(3a+1)x+2a(a+1 0}.(I)求A；(n)若B±A,求a的取值范围.1【答案】(I)A={x|1<x<6},(II)-,3._2【解析】(I)由一元二次不等式的性质能求出集合 A.(n)由集合B={x|x2—(3a+1k+2a(a+1)<0}={x|(x—2aXx—a—1)<0},由

此利用分类讨论思想能求出 a的取值范围.【详解】解：(I)集合A={x|x2_7x+6<0}={x[1<x<6},(n)集合B={x|x2-(3a+1)x+2a(a+1)<0}={x|(x-2a/x-a-1)<0}.①当2a〉a+1,即a>1时，B=(a+1,2aA=(1,6),a1二Ja+1之1,解得1<aM3.2a<6②当2a=a+1,即a=1时，B,符合题意，③当2a<a+1,即a<1时，B=(2a,a+1gA=(1,6),2a.1 1「7 ,解得一Ma<1.a1<6 2综上所述，a的取值范围是.J,3L_2【点睛】本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查分类讨论思想、集合性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题..在平面直角坐标系中，直线2x-y=0和直线x+y-3=0的交点为P.(I)直线l经过点P,且直线l与直线2x+3y-4=0垂直，求直线l的方程；(n)直线m经过点P,且直线m与直线2x+3y-4=0平行，求直线m的方程;1 1(出)若直线ax+by—2=0(a>0,b>0)过点p,求一十一的最小值.ab【答案】(I)3x—2y+1=0,(II)2x+3y—8=0(III)最小值3+72.2【解析】(I)由题意可求直线l的斜率k,由点斜式方程可求；(II)可设直线m的方程为2x+3y+C=0,然后由直线m过P(1,2),代入可求C,进而可求直线方程；(III)由直线ax+by—2=0(a>0,bA0)过P(1,2),可得a+2b=2,然后结合=111ab,lab人2aJ'展开后利用基本不等式即可求解.(I)(I)求证：CE//平面PAB；(n)求证：平面PAC_L平面PCD；【详解】2x-y=0 -解：联立方程＜y 可得，x=1,y=2即P(1,2),xy-3=03(I)由题意可知直线l的斜率k=-,?直线l经过点P(1,2), 3二直线l的方程为y-2=-(x-1)即3x-2y+1=0,(II)设直线m的方程为2x+3y+C=0,由于直线m过P(1,2),所以2+6+C=0即C=4,(III)直线ax+by—2=0(a>0,b>0)过P(1,2),所以a+2b=2,rr1即一a+b=1,2TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1 1 . 3b a 3 -一一十— =i— a— I —a+b〔=一+— +— 2— +，2)a b ab 2 2a 2b 2当且仅当b=包即a=J2b时取等号，a2b1 3 —二一十一的最小值一+v2.ab 22x-y=0 -联立方程iy可得，x=1,y=2即P(1,2),xy-3=0【点睛】本题考查了直线系方程的应用及利用基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.AD//BC,.在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB_LBC,且AB=BC=1,AD=2，点E是线段PDAD//BC,又又CDu平面PCD,所以平面PAC_L平面PCD；(出)当直线PC与平面PAD所成的角大小为30，时，求线段PA的长.【答案】(I)证明见解析(II)证明见解析(III)PA=J2.【解析】(I)取线段PA的中点F,连接EF、BF,得出EF//BC,四边形BCEF是平行四边形，即证CE//FB,得出CE//平面PAB;(n)由题意得出AC_LCD,PA_LCD,可证CD_L平面PAC,从而证明平面PAC.L平面PCD;(m)取线段AD中点H,连接CH、PH,可得CH_LAD,CH_LPA,即证CH，平面FAD；得出NCPH是直线PC与平面PAD所成的角，从而求得PA的值.【详解】(I)证明：取线段PA的中点F,连接EF、BF,则EF//BC,且EF=BC=1,所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE//FB;又CES平面PAB,BFC平面PAB,所以CE//平面PAB;(n)证明：由题意得，AC=CD=J2，又AD=2,所以AC_LCD;又PA_L平面ABCD,所以PA-LCD,且PAflAC=A,所以CD，平面PAC,(出)解：取线段AD中点H,连接CH、PH,可得CH_LAD,CH_LPA,且ADcP