2023年安徽省铜陵市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年安徽省铜陵市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.A.等价无穷小

B.f(x)是比g(x)高阶无穷小

C.f(x)是比g(x)低阶无穷小

D.f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小

2.函数y=sinx在区间[0，π]上满足罗尔定理的ξ等于()．A.A.0B.π/4C.π/2D.π

3.微分方程y"-y=ex的一个特解应具有的形式为(下列各式中α、b为常数)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

4.

5.A.2xy+3+2yB.xy+3+2yC.2xy+3D.xy+3

6.下列关系正确的是（）。A.

B.

C.

D.

7.等于()．A.A.2B.1C.1/2D.0

8.

9.

10.A.A.2/3B.3/2C.2D.3

11.设y=2x3，则dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

12.微分方程y"+y'=0的通解为

A.y=Ce-x

B.y=e-x+C

C.y=C1e-x+C2

D.y=e-x

13.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)>0，则f(x)在(0，1)内（）A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

14.A.A.arctanx2

B.2xarctanx

C.2xarctanx2

D.

15.

16.设Y=e-5x，则dy=()．

A.-5e-5xdx

B.-e-5xdx

C.e-5xdx

D.5e-5xdx

17.设y=3-x，则y'=（）。A.-3-xln3

B.3-xlnx

C.-3-x-1

D.3-x-1

18.设有直线当直线l1与l2平行时，λ等于()．

A.1B.0C.-1/2D.-1

19.

等于()A.A.

B.

C.

D.0

20.微分方程(y)2＋(y)3＋sinx=0的阶数为

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(20题)21.

22.微分方程y'=2的通解为__________。

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____。

33.

34.设y=-lnx/x，则dy=_________。

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.

42.

43.求微分方程的通解．

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

46.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

47.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

48.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

49.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

50.

51.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

52.证明：

53.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

54.

55.

56.

57.

58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

59.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

60.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.求二元函数z=x2-xy+y2+x+y的极值。

66.

67.

68.求微分方程y"-y'-2y=3ex的通解．

69.设ex-ey=siny，求y'。

70.求由曲线xy=1及直线y=x，y=2所围图形的面积A。

五、高等数学(0题)71.设函数

=___________。

六、解答题(0题)72.求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值.

参考答案

1.D

2.C本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论．

由于y=sinx在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且y|x=0=0=y|x=π，可知y=sinx在[0，π]上满足罗尔定理，因此必定存在ξ∈(0，π)，使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0，从而应有．

故知应选C．

3.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由项f1(x)=ex，α=1是特征单根，故应设定y*=αxex，因此选B。

4.C

5.C本题考查了一阶偏导数的知识点。

6.C本题考查的知识点为不定积分的性质。

7.D本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小性质．

注意：极限过程为x→∞，因此

不是重要极限形式!由于x→∞时，1/x为无穷小，而sin2x为有界变量．由无穷小与有界变量之积仍为无穷小的性质可知

8.B

9.A

10.A

11.B由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B．

12.C解析：y"+y'=0，特征方程为r2+r=0，特征根为r1=0，r2=-1；方程的通解为y=C1e-x+C1，可知选C。

13.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加．因此选B．

14.C

15.C解析：

16.A

【评析】基本初等函数的求导公式与导数的四则运算法则是常见的试题，一定要熟记基本初等函数求导公式．对简单的复合函数的求导，应该注意由外到里，每次求一个层次的导数，不要丢掉任何一个复合层次．

17.Ay=3-x，则y'=3-x。ln3*(-x)'=-3-xln3。因此选A。

18.C解析：

19.D本题考查的知识点为定积分的性质．

由于当f(x)可积时，定积分的值为一个确定常数，因此总有

故应选D．

20.B

21.(03)(0,3)解析：

22.y=2x+C

23.-3e-3x-3e-3x

解析：

24.

本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。

25.-2sin2-2sin2解析：

26.本题考查的知识点为重要极限公式．

27.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)2cos(x2+y2)(xdx+ydy)解析：

28.00解析：

29.x=-3

30.-2y

31.(sinx+cosx)exdx(sinx+cosx)exdx解析：

32.

33.

34.

35.2x

36.

37.

38.1/e1/e解析：

39.

40.2本题考查的知识点为极限运算．

由于所给极限为“”型极限，由极限四则运算法则有

41.

42.

43.

44.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

45.函数的定义域为

注意

46.由二重积分物理意义知

47.

48.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.由一阶线性微分方程通解公式有

56.

57.

则

58.

列表：

说明

59.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

60.由等价无穷小量的定义可知

61.解法1原式(两次利用洛必达法则)解法2原式(利用等价无穷小代换)本题考查的知识点为用洛必达法则求极限．

由于问题为“∞-∞”型极限问题，应先将求极限的函数通分，使所求极限化为“”型问题．

如果将上式右端直接利用洛必达法则求之，则运算复杂．注意到使用洛必达法则求极限时，如果能与等价无穷小代换相结合，则问题常能得到简化，由于当x→0时，sinx～x，因此

从而能简化运算．

本题考生中常见的错误为：由于当x→0时，sinx～x，因此

将等价无穷小代换在加减法运算中使用，这是不允许的．

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.相应的齐次微分方程为y"-y'-2y=0．其特征方程为r2-r-2=0．其特征根为r1=-1，r2=2．齐次方程的通解为Y=C1e-x