近年高考试题中涉及极值点偏移问题的统一解法

近年高考试题中涉及极值点偏移问题的统一解法广东省佛山市南海区狮山石门高级中学(528225))徐正印陈基耿函数极值点偏移问题在近年高考试题中出现了四次，已经引起了众多老师们的关注。文[18]对极值偏移问题都作了深入的研究，大都给出了极值点偏移的定义，阐述了极值点偏移的原因与本质，并各自给出其解法，都有新意，甚至是独到的见解。纵览文[18]，解决极值偏移问题共有四种办法：(1)构造一元差函数，如文[1,35,78]，都总结了解题的步骤； (2)对称法构造函数，如文 [6]给出一个结论(定理)，归纳其解题步骤，举例详细说明如何使用定理；(3)使用对数平均不等式，如文 [2,4]都明确给出对数平均不等式的定理，并对这个定理加以证明；(4)单调性法，如文 [1].遗憾的是在文章快结束时才出现，未给出其解题步骤。构造一元差函数(文[18]都涉及),大部分学生难以领悟其解题要领 ,只会机械的套用,解题的过程中常常这样或那样的错误 ,导致问题得不到解决 .文[1]开头的导入(一次测试的平均分)就很好的说明这个问题.对称法构造函数是构造一元差函数的改进,是2010年天津高考数学(理)第21题的提炼.前者引人的函数是 Fxf(x)f(x)后者引人的函数是 hxfxf(2xx),因此,对称法构造函数的本质与构造一元差函数从本质上来说是一样的.对数平均不等式目前还不是高中教材的内容。限于高中数学课时节数、学生的认知水平等原因，笔者相信大部分高中，尤其是非重点高中的数学教师不会为了解决极值点偏移：的问题而专门补充对数平均不等式对应的知识！笔者喜欢“一题多解”，崇尚“多题一解”，倡导“高中的问题尽量采用高中课本所涉及的思想方法去解决”为此，笔者查阅了大量涉及“函数极值点偏移问题”的论文，得到极值点偏移问题的统一方法。实践表明，学生能较好地掌握这种解法。一、方法归纳涉及极值点偏移问题的统一解法的大致步骤:不妨确定 x1 x0x2把x1x22x0或x1x22x0 化为x12x0 x2或x12x0x2；⑶利用f(x)的单调性得到f(Xi) f(2Xo X2)或f(Xi) f(2Xo X2)利用f(x1) f(x2)得到fx2 f2x0x2或

(5)分两种情况：情况一,需要证明fx2f2x0x2或fx2f2x0x2进入下一步；情况二，利用题设条件可以(如例3的第II问)确定：fx(5)分两种情况：情况一,需要证明fx2f2x0x2或fx2f2x0x2进入下一步；情况二，利用题设条件可以(如例3的第II问)确定：fx2f2x0 x2或fx2 f2x0x2,不等式得到证明(6)在证明fx2f2x0x2或fx2 f2x0x2时，一般先进行等价转换，如:fx2f2x0x2fx2f2x0x2 0或fx2f2x0x2fx2 f2x0x2 0,…，然后用类比思想引入函数.不直接引人函数F(x)f(x)f2x0x的主要原因是为了降低运算量，避免求二阶导数。例1(2013年高考湖南省文科)已知函数f(x)1~'ex1x(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当fx1fx2x1x2时，x1x20证明Ifx单调递增区间为,0,fx单调递减区间为 0,(II)由(I)知：fx在,0上单调递增；在0,上单调递减.因为fx1fx2x1 x2,所以不妨设x1 0 x2.x1 x2 0x1x2fx1fx21 x2 2z e2 10fx2fx21 x2 2 21x2 -2 1x2 x2 re 2e1x； 1 x22」2e2z2 1 01 x2设F(x) 1―xe2x1(x-0),则F(x)1x22x2xe2-，(1x)在(0,)±F(x)0,F(x)单调递减,F(x)F(0) 0,不等式Xx2 0得证。例2(2016年高考全国I卷理科)已知函数f(x)(x2)exa(x 1)2有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1 x2 2证明(I)a的取值范围为(0,).在求a的取值范围时，已经确定f(x)单调递减区间为(，1);f(x)单调递增区间为(1,)。

fx2 0.不妨设x1x2.由(I)知:fx2 0.不妨设x1x2.由(I)知:X1 1x2.xix2xix22ex'2xxix2xix22ex'2x2x221fx12xx£f2x22a1x2fx2 f2x2fx2f2x2x„ 2x_0 x22e2 x2e2 0d2 2x2 21—e2e0x2设F(x))上，F(x) 0,F(x)单调1-e2x e2(x…1),则F(x)2e(x2设F(x))上，F(x) 0,F(x)单调x x递增，F(x)F(1)0,不等式x1x22得证例3(2010年高考天津理科)已知函数 f(x)xex(x?)(I)求函数f(x)的单调区间和极值；(II)已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称，求证：当x1时,f(x)g(x);(III)如果(III)如果x1 x2,且fx1fx2,求证：x1x2 2。证明(I)f(x)单调递增区间(，1),证明(I)f(x)单调递增区间(，1),单调递减区间为1,极小值.过程略.(II)yg(x)f(2x),当x1时，.f(x)的极大值为f(1)-，没有

ef(x) g(x)f(x) f(2x)f(x)f(2x)02 2 2xe-1e 0xxex(2x)ex2 0设F(x)e221e"设F(x)e221e"1)'则i2e^,在(1’)上，F(x) 0,F(x)单调递增，F(x)F(1)0,不等式f(x)g(x)(x1)得证.例4(2011年高考辽宁理科)已知函数f(x)lnxax2 (2a)x(I)讨论f(x)的单调性；(II)设a 0,证明：当0x1,f1xf-xaa a(III)若函数yf(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0(III)若函数yfx0 0证明(I)当a,0时，f(x)单调递增区间为(0,)，没有单调递减区间.当a>0时，f(x)单调递增区间为(0,1);f(x)a单调递减区间为i(-,+。。)

a(II)M-(aa0)时,ln2

i(2a),x

aln(2a)ln(1ax)ln(1ax)2ax设F(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax0,,则F(x)—a—iaxaiax2a在0,-上,

aF(x)0,F(x)单调递增,F(x)F(0)不等式f-xa证(III)因为yf(x)的图像与x轴交