1.1第2课时　验证勾股定理及其简单应用分层训练 北师大版八年级数学上册

第2课时验证勾股定理及其简单应用【基础练习】知识点1勾股定理的验证1.[2020·沈阳]“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图,每一个直角三角形的两条直角边长分别是3和6,则大正方形与中间小正方形的面积差是()A.9 B.27 C.34 D.362.已知:如图,用四块两直角边长分别为a,b,斜边长为c的直角三角形拼成一个正方形,求图形中央的小正方形的面积.解法(1):小正方形的面积=;

解法(2):小正方形的面积=.

由解法(1)(2),可以得到a,b,c之间的关系式为.

3.如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠C=90°,∠D=90°,AC=BD=a,BC=DE=b,AB=BE=c.(1)试说明:∠ABE=90°;(2)试利用该图形验证勾股定理.知识点2勾股定理的简单应用4.如图,一棵高为8m的大树被台风刮断,若树在离地面3m的点C处折断,则树顶端落在离树底部()A.4m处 B.5m处 C.6m处 D.7m处5.如图学校有一块长方形草地,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草地内走出了一条“路”,他们仅仅少走了m路,却踩伤了花草()

A.2 B.4 C.6 D.86.如图,轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8nmile,同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15nmile,这时两轮船相距nmile.

7.如图,在海上观察所A,我边防海警发现正北方向5km的B处有一可疑船只正在向正东方向12km的C处行驶,我边防海警立刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为60km/h,则我边防海警船的速度至少为多少时,才能恰好在C处将可疑船只截住?【能力提升】8.图是台阶的示意图.已知每级台阶的宽度都是20cm,高度都是10cm,连接AB,则AB等于()A.120cm B.130cm C.140cm D.150cm9.如图小巷左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7m,顶端距离地面2.4m.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5m,则小巷的宽度为()A.2.7m B.2.5m C.2m D.1.8m10.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a+b)2的值是()A.1 B.12 C.13 D.2511.一辆装满货物的车,其外形高2.5m,宽1.6m,要开进厂门形状如图所示的某工厂,厂门上部为半圆形,下部为长方形,已知长方形的宽为2m,高为2.3m,半圆的直径与门的宽相等.这辆车能否通过该工厂的厂门?请说明理由.12.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他惊喜地发现,当四个全等的直角三角形如图所示摆放时,可以用“面积法”来验证a2+b2=c2.请你说明其中的道理.(提示:结合图中所作辅助线利用面积相等验证)13.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最大边的长.当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式a2+b2与c2的大小关系,探究△ABC的形状(按角分类):(1)当△ABC的三边长分别为6,8,9时,△ABC为三角形;当△ABC的三边长分别为6,8,11时,△ABC为三角形.

(2)猜想:当a2+b2c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2c2时,△ABC为钝角三角形.

(3)在△ABC中,AB=2,AC=3,BC=4,试判断△ABC的形状,过点B作BD⊥AC于点D,求AD的长度.答案1.D2.c2(a+b)2-2abc2=a2+b23.解:(1)在△ACB和△BDE中,因为AC=BD,BC=ED,AB=BE,所以△ACB≌△BDE,所以∠BAC=∠EBD.因为∠ABC+∠BAC=90°,所以∠ABC+∠EBD=90°,所以∠ABE=90°.(2)因为三个直角三角形的面积分别为12ab,12ab和12直角梯形的面积为12(a+b)(a+b由图形可知:12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2,整理得(a+b)2=所以a2+b2+2ab=2ab+c2,所以a2+b2=c2.4.A5.B6.177.解:由勾股定理,可以得到AC2=AB2+BC2,即AC2=52+122,所以AC=13,13÷1260=65(km/h)答:我边防海警船的速度至少为65km/h时,才能恰好在C处将可疑船只截住.8.B[解析]如图,由题意得AC=10×5=50(cm),BC=20×6=120(cm).由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=502+1202,所以AB=130(cm).故选B.9.A[解析]如图,由勾股定理可得AD2=0.72+2.42=6.25,BC2+AB2=AC2.因为AD=AC,所以AB2+1.52=6.25,所以AB=2,所以小巷的宽度为0.7+2=2.7(m).故选A.10.D11.解:能.理由:如图,AB为半圆的直径,O为圆心,在AB上取一点D,使OD=0.8m.过点D作CH⊥AB,交半圆于点C,交门的底部于点H.在Rt△OCD中,∠CDO=90°,OC=1m,OD=0.8m,由勾股定理得CD2=OC2-OD2=12-0.82=0.36,所以CD=0.6(m).所以CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9(m)>2.5m.所以这辆车能通过该工厂的厂门.12.解:图形的总面积可以表示为c2+2·12ab=c2+ab,也可以表示为a2+b2+2·12ab=a2+b2所以c2+ab=a2+b2+ab,即a2+b2=c2.13.解:(1)锐角钝角(2)><(3)因为AB=2,AC=3,