18.2.3 正方形 课件 人教版八年级数学下册

初二年级数学

18.2.3正方形（1）

平行四边形,矩形与菱形有哪些性质?平行四边形边:角:对角线:对边平行且相等对角相等,邻角互补对角线互相平分角:对角线:对角线相等且互相平分温故知新矩形四个角是直角边：对边平行且相等菱形边:对边平行；四条边相等对角线:对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对角相等，邻角互补角：观察下面图形,正方形在生活中无处不在.探究新知

矩形〃〃问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？正方形探究新知

创设情景一问题2菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？正方形探究新知

创设情景二

四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.所以，正方形既是矩形,又是菱形.正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质。ABCD探究新知知识点一：正方形的定义一组邻边相等矩形〃正方形〃〃

菱形一个角是直角正方形∟探究新知+一个直角+一组邻边相等+一组邻边相等+一个直角平行四边形矩形菱形正方形+一组邻边相等+一个直角知识点二：正方形、矩形、菱形及平行四边形之间的关系（为下节课“正方形的判定”做准备）探究新知平行四边形矩形菱形

正方形★正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。探究新知知识点二：正方形、矩形、菱形及平行四边形之间的关系边角对角线对称性图形语言

文字语言

符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等

四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等;每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD,AD∥BCAB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD,AC=BD,

OA=OB=OC=OD;

∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8？12345678知识点三：正方形的性质★正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形（四条对称轴）矩形即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条对称轴）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条对称轴）探究新知边角对角线对称性图形语言

文字语言

符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等

四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等;每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD,AD∥BCAB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD,AC=BD,

OA=OB=OC=OD;

∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠812345678知识点三：正方形的性质轴对称图形中心对称图形正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.BD巩固练习例题解析例1求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.OABCD证明：∵四边形ABCD是正方形∴AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO

∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

★利用正方形的对角线相等且平分,可得四条相等线段,对角线垂直可得四个直角,可证四个等腰直角三角形全等.例2以正方形ABCD的边AD为边作等边△ADE，求∠BEC的度数.∵△ADE是等边三角形.∴AE=AD,∠EAD=60°.∵四边形ABCD是正方形.∴AB=AD=AE,∠DAB=90°.∴∠BAE=60°+90°=150°∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°第一种情况解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，典例分析AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.典例分析★分类讨论：等边△ADE在正方形的外部或内部.(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，第二种情况例3如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点,PE⊥BC于E，

PF⊥DC于F.求证：AP=EF.ABCDPEF证明:连接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四边形ABCD是正方形,∴BD垂直平分AC,∠FCE=90°,∴四边形PECF是矩形,∴EF=CP.∴AP=CP.∴AP=EF.

★在正方形的条件下证明两条线段相等：可以连接对角线构造垂直平分.还有其他方法吗典例分析证明：∵∠1+∠2=90°，又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠3+∠2=90°，∴∠3=∠1.在△ABF和△DAE中∠3=∠1

∠AFB=∠DEA=90°

AB=DA∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF=AE，例4如图，正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE交AG于点F，求证：AF-BF=EF.正方形性质结合三角形全等，可证线段关系.∴AF-BF=AF-AE=EF.关键：证明BF=AE123一个角是直角1.正方形的概念：

四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.一组邻边相等