天津惠灵顿国际学校2021年高一数学文模拟试题含解析

天津惠灵顿国际学校2021年高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域为（

）A．B．C．D．参考答案：D2.下面是一个求10个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为(

)

A.

i>10

B.

i<10

C.i>=10

D.i<=10

参考答案：A略3.为了得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=sin2x=cos2（x﹣），再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵函数y=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），故把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=cos2（x+﹣）=cos（2x﹣）．即函数的图象，故选：D．4.已知集合，若∩,则A.3

B.2

C.1

D.0参考答案：A5.设，集合，则A.1 B.－1 C.2 D.－2参考答案：C因为，，所以，则，所以，．所以．6.已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5，则此球的表面积为()A．25π

B．50π

C．125π

D．均不正确参考答案：B7.函数f（x）=loga（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是(

)A．（0，1） B．（1，3） C．（1，3] D．[3，+∞）参考答案：B考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中f（x）=loga（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a的取值范围．解答：解：若函数f（x）=loga（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则解得a∈（1，3）故选B点评：本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中根据已知分析出内函数为减函数，则外函数必为增函数，是解答的关键8.已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为()A．－2

B．6

C．1

D．0参考答案：B9.平面向量a与b的夹角为，，

则

（A）

(B)

(C)4

(D)12参考答案：B解析：由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12

∴10.已知，，则等于(

)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C.选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=log2（x2+x）则f（x）的单调递增区间是．参考答案：（0，+∞）【考点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质．【分析】令u=x2+x，则y=log2u，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．【解答】解：函数f（x）=log2（x2+x）的定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），令u=x2+x，则y=log2u为增函数，当x∈（﹣∞，﹣1）时，u=x2+x为减函数，此时f（x）=log2（x2+x）为减函数，当x∈（0，+∞）时，u=x2+x为增函数，此时f（x）=log2（x2+x）为增函数，即f（x）的单调递增区间是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，难度中档．12.等比数列{an}，，，则__________.参考答案：45.【分析】利用等比中项的性质得出，于此可计算出的值。【详解】由等比中项的性质得，因此，故答案为：。【点睛】本题考查等比中项的应用，解题关键就是利用等比中项的性质列出等式进行计算，考查计算能力，属于基础题。13.等差数列中，，，则数列的前9项的和等于

参考答案：9914.若，使不等式成立，则实数m的取值范围为________.参考答案：(－4,5)【分析】令，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围.【详解】令，由可得，则问题等价于存在，，分离参数可得若满足题意，则只需，令，令，则，容易知，则只需，整理得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.15.若，则

参考答案：略16.将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①面是等边三角形；

②；

③三棱锥的体积是.其中正确命题的序号是________.（写出所有正确命题的序号）参考答案：

①②

略17.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(2)=1，f(x+4)=2f(x)+f(1)，则f(3)=

．参考答案：-3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组80.16第二组①0.24第三组15②第四组100.20第五组50.10合

计501.00(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．参考答案：解：(1)①②位置的数据分别为12、0.3；

……………4分(2)第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；……8分(3)设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种．……………10分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．………………………12分所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．………14分略19.（本小题满分10分）已知，求的值.

参考答案：由已知，则，

20.（本小题满分9分）已知数列满足，当时，.（I）设，证明数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，数列的前项和为.是否存在整数，使得恒成立?若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案：（I）因为，所以

即且，.故数列是以为首项，为公比的等比数列.………………3分（II）由（Ⅰ）知，，则.即.故数列是以为首项，1为公差的等差数列；，所以.

………………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）得

，，两式相减，有，

，即.令，则，，当时，恒成立，即当时，数列是单调递减数列.所以

，故有.也即

.又因为恒成立

所以.故存在最小整数，使得恒成立.

…………………9分21.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面A1B1C1，D为AC的中点，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1，∠A1C1B=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求多面体A1B1C1DBA的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB1∥平面BDC1，证明OD∥AB1即可；（Ⅱ）利用割补法，即可求多面体A1B1C1DBA的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连B1C交BC1于O，连接OD，在△CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1，而AB1?平面BDC1，OD?平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）解：连接A1B，作BC的中点E，连接DE，∵A1C1=BC1，∠A1C1B=60°，∴△A1C1B为等边三角形，∵侧棱BB1⊥底面A1B1C1，∴BB1⊥A1B1，BB1⊥B1C1，∴A1C1=BC1=A1B=2，∴B1C1=2，∴A1C12=B1C12+A1B12，∴∠A1B1C1=90°，∴A1B1⊥B1C1，∴A1B1⊥平面B1C1CB，∵DE∥AB∥A1B1，∴DE⊥平面B1C1CB，∴DE是三棱锥D﹣BCC1的高，∴==，∴多面体A1B1C1DBA的体积V=﹣=（）×2﹣=．22.（12分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（mg/L）与时间t（小时）间的关系为P=P0e﹣kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）10个小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）参考答案：考点： 函数模型的选择与应用．专题： 应用题；函数的性质及应用．分析： （1）由5小时后剩留的污染物列等式求出P=P0e﹣kt中k的值，得到具体关系式后代t=10求得10个小时后还剩污染物的百分数；（2）由污染物减少50%，即P=50%P