天津蓟县侯家营中学2023年高三数学理测试题含解析

天津蓟县侯家营中学2023年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2(

)A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合参考答案：D【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题．【分析】分别找出两直线的斜率，根据正弦函数的值域得到直线l1斜率的范围，发现两直线的斜率不可能相等，所以两直线不可能平行，必然相交，故直线l1绕交点旋转可以与l2重合．【解答】解：直线l1：y=xsinα的斜率为sinα，而sinα∈[﹣1，1]，即直线l1的斜率k1∈[﹣1，1]，直线l2：y=2x+c的斜率k2=2，∵k1≠k2，∴直线l1与l2不可能平行，即两直线必然相交，则直线l1与l2可以通过绕l1上某点旋转可以重合．故选D【点评】此题考查了两直线的交点坐标，正弦函数的值域，以及直线斜率的求法，根据直线方程得出两直线的斜率不相等是解本题的关键．2.函数的部分图象如图所示，则的值是A．

B．C．

D．参考答案：A3.椭圆的焦点为,点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的A．倍

B．倍

C．倍

D．倍参考答案：A4.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝

A.1B.C.D.参考答案：C解析：根据茎叶图，得乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是=（27+39+33）=33，乙的平均数是=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：C．【思路点拨】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可.5.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为………………………（

）．.

.

.参考答案：6.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（

）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁参考答案：B【分析】分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果.【详解】若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意；若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；故选B【点睛】本题主要考查逻辑推理的问题，推理案例是常考内容，属于基础题型.7.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 A．48种 B．72种 C．96种 D．108种参考答案：B8.执行如图的程序框图，那么输出S的值是A．2

B．

C．-1

D．1参考答案：B9.如图所示，三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积（单位：cm2）等于（）A．75π B．77π C．65π D．55π参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的三视图，建立空间坐标系，求出外接球的球心坐标，从而可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．【解答】解：作出三棱锥的三视图如图所示：由三视图可知AB，AC，AD两两垂直，且AB=6，AC=5，AD=h，∴VD﹣ABC==20，∴h=4．以A为原点，以AC，AB，AD为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，6，0），C（5，0，0），D（0，0，4）．设三棱锥的外接球的球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MD，∴x2+y2+z2=x2+（y﹣6）2+z2=（x﹣5）2+y2+z2=x2+y2+（z﹣4）2，解得x=，y=3，z=2，∴外接球的半径r=MA==，∴外接球的表面积S=4πr2=77π．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图，棱锥的体积计算，球与棱锥的位置关系，属于中档题．10.设等比数列的公比，前n项和为，则（

）A.2 B.4 C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知二次函数的递减区间为则二次函数的递减区间为:

.参考答案：12.函数，，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为

．参考答案：试题分析：对任意的，总存在，使得成立等价于的值域是的值域的子集.函数在上单调递增,,即.在上单调递减,当时在上单调递减,即.所以只需.当时在上单调递增,,即,所以只需解得.综上可得.考点：1恒成立问题;2转化思想;3函数的单调性.13.已知向量夹角为60°，且，，则

.参考答案：14.设函数，若，则实数

参考答案：（1）当时，由，解得，符合题意；（2）当时，由，解得，不符合题意，故舍去；

综上可得：．15.抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上，则此抛物线方程为__________________．参考答案：或

16.若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为__▲

，外接球的表面积为__▲

．参考答案：；．17.已知向量，，且，若变量x，y满足约束条件，则z的最大值为

参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD.(Ⅰ)求证：直线AB是⊙O的切线；(Ⅱ)若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．参考答案：(Ⅰ)证明：连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，又∵OC是圆的半径，∴AB是圆的切线．(Ⅱ)∵ED是直径，∴∠ECD＝90°.∴∠EDC＋∠E＝90°，又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，设BD＝x，则BC＝2x，∵BC2＝BD·BE，∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2，∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.

19.（本小题满分12分）已知是圆上的动点，点，线段的垂直平分线与半径交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）已知点，在曲线上，且（，是坐标原点）.

①求直线的斜率；

②求证：当的面积取得最大值时，恰好为的重心.参考答案：解：（Ⅰ）由题意，

由椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点，半长轴为2，半焦距为1的椭圆，曲线的方程为

………4分（Ⅱ）①设，，由得由,两式相减得

………6分②设的直线方程为，联立,到直线的距离

………8分求最值的方法一：，用导数法(此处略)可得．．

………11分方法二：

当且仅当，即时取等号

11分由韦达定理得：,.故是的重心.

………12分20.19．（本题满分8分）如图，直线：与抛物线C：相切于点A（1）求实数的值；（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

参考答案：（1）消去得，得（2），解得，点A到抛物线C的准线的距离为2，即圆半径所求圆的方程为

略21.已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围.参考答案：（1)依题，所以(为定值)，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，所以点轨迹的方程是(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或