微积分课后习题等多个文件-3.1微分中值定理

微分中值定理微分中值定理是微积分的理论基础。本章将介绍三个中值定理，并应用导数来研究函数的单调性、极值，曲线的凹凸性、拐点、渐近线等.还将介绍导数在经济中的应用及计算极限的重要方法——洛必达法则。极值点设函数有则称点(或)是的一个极大值点（或极小值点），并称是的一个极大值（或极小值）。极大值点和极小值点统称为极值点极大值和极小值统称为极值极大值点极小值点驻点设函数若则称点是函数的一个驻点.在处可导，思考：极值点一定是驻点吗？驻点又是否一定是极值点？费马引理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的有(或)则费马引理证不妨设时，则对有从而当时，当时，由极限的保号性，及函数在处可导所以，罗尔(Rolle)定理若函数在续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即则在内至少有一点使证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若上连闭区间证在连续，必存在最大值和最小值若则故都有若最值不可能同时在端点取得.不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点例如，在上连续，在上可导，且取则有注：一般情况下，定理结论中导函数的零点不易找到的.罗尔定理的三个条件缺一不可.是完罗尔定理课后习题1（2）2.我们在第二章第一节中已证明过处是不可导的,因此不满足在开区间可导的条件,虽然在内是连续的,且有但是没有水平切线.在函数不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解因为所以在闭从而，使即是的一个零点；使习题3.1第2题2判断函数区间上满足罗尔定理的三个条件，、内至少存在一点在又在内至少存在一点即是的一个零点；又因为为二次多项式，故恰好有两个零点，完不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例2判断函数解使又在内至少存在一点是的一个零点；最多只能有两个零点，和分别在区间内.拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数在闭区间上连续,内至少有一点使得分析：条件中与罗尔定理相差在开区间内可导,则在拉格朗日(Lagrange)中值定理于是,若作辅助函数则满足罗尔定理的条件故在内至少存在一点使即拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数在闭区间上连续,内至少有一点使得在开区间内可导,则在拉格朗日(Lagrange)中值定理则满足罗尔定理的条件,故在内至少存在一点使即或由此可证得定理.拉格朗日中值公式注:拉格朗日公式的增量精确地表达了函数在一个区间上与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日(Lagrange)中值定理推论1如果函数在区间上的导数恒为零,那么在区间上是一个常数.证明推论1表明:导数为零的函数就是常数函数.推论1如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数.证在区间上任取两点在区间上得由假设于是再由的任意性，知在区间上的函数值都相等，即在区间上是一个常数.应用拉格朗日中值定理，任意点处完拉格朗日(Lagrange)中值定理推论2如果函数与在区间上恒有在区间上为常数).柯西(Cauchy)中值定理柯西(Cauchy)中值定理闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零,有一点使得证作辅助函数如果函数及在那么在内至少满足罗尔定理的条件,柯西(Cauchy)中值定理证作辅助函数满足罗尔定理的条件,则在内至少存在一点使得即证毕.显然,当