2023届北京市部分区高三上学期期末考试数学试题分类汇编-圆锥曲线解答题（含解析）

（关华整理2023年西城区）高三期末（19）如图，已知椭圆：的一个焦点为F1（0，1），离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F1作斜率为k的直线交椭圆E于两点A，B，AB的中点为M.设O为原点，射线OM交椭圆E于点C.当△ABC与△ABO的面积相等时，求k的值.（关华整理2023年海淀区）高三期末（19）已知椭圆过点和.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点作的直线l交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点，若，求直线l的方程.（关华整理2023年房山区）高三期末19.已知椭圆：经过点，且点到两个焦点的距离之和为8.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆分别相交于两点，直线，分别与轴交于点，.试问是否存在直线，使得线段的垂直平分线经过点，如果存在，写出一条满足条件的直线的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.（关华整理2023年东城区）高三期末（19）已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长的和为，，分别为椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，.若，，成等差数列，求实数的取值范围.（关华整理2023年大兴区）高三期末（19）已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求证：为线段的中点.（关华整理2023年朝阳区）高三期末19）已知椭圆的右顶点，为椭圆上的动点，且点不在轴上，是坐标原点，面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于另一点，直线,分别与轴相交于点,．当时，求直线的方程．（关华整理2023年昌平区）高三期末19.已知椭圆过点，且离心率是.（1）求椭圆的方程和短轴长；（2）已知点，直线过点且与椭圆有两个不同的交点，问：是否存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.（关华整理2023年通州区）高三期末（19））已知椭圆（）的左、右顶点分别为,，且，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上不同于,的一点，直线与直线分别交于点.试判断以MN为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.（关华整理2023年丰台区）高三期末19.已知椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）设点，直线与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点，B为椭圆E的右顶点．记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．答案（关华整理2023年西城区）高三期末【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得到，解出即可.（2）的方程为，联立椭圆方程得，设,得到两根之和式，设,根据，从而，结合其在椭圆上得到，解出即可.【小问1详解】由题设,，解得.所以椭圆的方程为.【小问2详解】直线的方程为.由得.设,则.因为与的面积相等,所以点和点到直线的距离相等.所以为线段的中点,即四边形为平行四边形.设,则.所以.将上述两式代入，得.解得.【点睛】关键点睛：本题第二问得到两根之和式，通过面积相等则得到为线段的中点，则为线段的中点，利用向量加法得到，从而用表示出点坐标，最后结合其在椭圆上，代入椭圆方程即可.（关华整理2023年海淀区）高三期末19.（Ⅰ）解法一：0是的极小值点， 理由如下：当时，，所以. 当时，，可知，所以.而， 由极小值点的定义知，0是的极小值点. （Ⅰ）解法二：0是的极小值点， 理由如下：对函数求导得. 当时，， 所以.当时，，可知， 所以.所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.所以0是的极小值点.（Ⅱ）证明：等价于，即 . 记. 求导得. 当时易知，所以函数在区间上单调递增.又， 可得当时，， 即当时，不等式成立. 即当时，不等式成立. 当时，， 即当时，不等式成立. 即当时，不等式成立. 综合上述，不等式成立. （关华整理2023年房山区）高三期末19.【答案】（1）（2）答案见解析（3）.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求在点处的切线方程；（2）由题设，讨论参数a，结合不同区间上符号确定的单调区间；（3）根据（2）所得的单调性，讨论参数a，结合零点存在性定理判断零点的个数，即可得参数范围.【小问1详解】由题设，则，所以，，故曲线在点处切线方程为.【小问2详解】由，当时，，则时，时，所以在上递减，上递增；当时，令，可得或，若，即时，、上，上，所以在、上递增，上递减；若，即时，在R上恒成立，即在R上递增；若，即时，、上，上，所以在、上递增，上递减；综上，，在上递减，上递增；，在、上递增，上递减；，在R上递增；，在、上递增，上递减；【小问3详解】由（2），当时，，而趋向、时趋向于，所以，在、各有一个零点，共两个零点，不合题设；当时，，在上，趋向时趋向于，所以，此时在有一个零点，满足题设；当时，极大值，极小值，趋向时趋向于，所以，在有一个零点，满足题设；当时，，趋向时趋向于，所以，在R上有一个零点，满足题设；当时，极大值，极小值，趋向时趋向于，所以，在上有一个零点，满足题设；综上，函数恰有一个零点，.（关华整理2023年东城区）高三期末解：（Ⅰ）由题设，解得所以椭圆的方程为.…5分（Ⅱ）设为椭圆上一点，则有．由，，成等差数列，得即由，则.又在椭圆上，有，故，因为，所以.即，所以所以实数的取值范围是.…14分（关华整理2023年大兴区）高三期末（19）解：（Ⅰ）直线与坐标轴的两个交点为，……2分由于，所以，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（Ⅱ）设过点的直线为，由题意直线斜率存在，设方程为，即.……1分由，消元得，整理得.……2分由，可得.……………3分设，则，.……4分由题意，将，代入得，……5分直线的方程为，……6分令得，……7分所以所以，点是线段的中点.……9分（关华整理2023年朝阳区）高三期末（19）解：（Ⅰ）因为面积的最大值为，所以．又因为，，所以，．所以椭圆的方程为，离心率为．（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为．显然∽．因为，所以．不合题意．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由得．显然．设，，且，则，．直线的方程为．令，得点的纵坐标，则．直线的方程为．同理可得．所以．所以．即．可得．化简得．解得．所以直线的方程为或．（关华整理2023年昌平区）高三期末19【答案】（1）,.（2）存在,直线.【解析】【分析】（1）由题意椭圆过点可得，根据离心率求得c,继而求得b，可得答案.（2）假设存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形，讨论直线斜率是否存在的情况，存在时设出直线方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，设的中点为点D，根据题意可得，化简计算，求得k的值，进行判断，可得结论.【小问1详解】由题意知椭圆过点，且离心率是，则，且，故椭圆的方程为，短轴长为.【小问2详解】假设存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形,由于直线过点,当直线斜率不存在时,直线l为，此时为椭圆的短轴上的两顶点，此时是以点为顶点的等腰三角形；当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，当直线与椭圆C有两个不同的交点时，该方程，整理得，设，则，所以，设的中点为点D，则，即，则,当时，斜率不存在，此时的斜率k为0，不满足，故，由题意可知,即，解得或，由于，故或不适合题意，综合以上，存在直线，使得是以点为顶点的等腰三角形.【点睛】关键点点睛：解决直线和椭圆的位置关系中是否存在的问题时，一般是先假设存在，然后设直线方程，联立椭圆方程，结合根与系数的关系化简求值，解答的关键点是要能根据题设即是以点为顶点的等腰三角形，设的中点为点D，得到，然后结合根与系数关系化简求值，即可解决问题.（关华整理2023年通州区）高三期末（19）解：（Ⅰ）由题设，解得所以求椭圆的方程为.……5分（Ⅱ）设，可知.……6分依题意可知，AP的直线方程为，BP的直线方程为.……8分令，可得.……10分假设以MN为直径的圆过定点，不妨设定点为依题意可知，，所以.……11分因为，所以.因为，所以.……13分令，可得，解得.……14分所以以MN为直径的圆过定