初中几何15中添加辅助线的方法

初中几何15中添加辅助线的方法01有角平分线时常在角两边截取相等的线段，料造全等三角形.例士已知，如图，AD为△ABC的中线凡/1=-3=2%求证；HE+CFAEF证明:flDA上截取DN=0B.连结、E.NF.则DN=DCiEABDE-DE中,DN-DBZ1=Z2ED三!；l>A/.BI)l?^ANDL工BE二NE同理国iBCF=NF在ziEFN中,EN+FH+EFAJ1F+CF>EF02有以线段中点为端点的线段时.常加倍延性此线段构造全等三角形.例；己铝.如明AD为AABC的中线.佳〃―/2,Z3-/4.求证*BE+CF>EF证明工延长ED到M.使DM=DE.连结CM,FMABDE-DM中，HD=CDZ1=Z5ED-MDACMBEZVZ1-Z2.ZS=Z403截长补短作辅助线的方法被长法，在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短战段和较长线段相等.这两种方法统称檄长补短法.当已知或求证中涉及到线段*ac、d有下列情况之一时用此种方法:（S）a>b②=e③uM：已知.如图.fkAABCl|J-AB>AC\ZlZ2.P为AD1小*点.求证:AB-AOPB-PC证孙⑴截长法：八AH上截取AN=AL连结PN/EAAPN和△APC中,AN=ACf片余aaapn^aapck^22_x.，PC=PN04证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等.②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图,己知•BE、CD相交于F.ZB-ZC-/l=/2,求iEDF=EF证明：•••/ADF=/B+N3/AEF=ZC+Z4乂;Z3=Z4ZB-ZC•••/ADF=ZAEEfEAADF和aAEF中NADF=ZAEFNI=/2AF=AF/.△ADF^AAEF:.DF=EF0舔件不足时延长已知边构造三角形.例：已知AC=BD・ADJ_ACpA,BCBDpB求证：AD=BC证明：分别延长DA、CB交于点EVADIACBC1BD/CAE=/DBE=900在ZXDBEfllACAE中NDBE=NCAEBD=ACZE=ZE/.△DBE^ACAE.e.ED=EC.EB=EA/.ED-EA=EC-EB:.AD「BC06连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.例:己知,如图.AB〃CD,AD//BC求证：AB=CD证明：连结AC（或BD）•・・AB〃CD.AD〃BC・・・/l=/2fEAABC和△CDA中.Zl=Z2AC-CAZ3=Z4/.△ABC^ACDAAAB=CD

07有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长.可归结为“角分垂等腰归二例：己知.如图，在RlAABC中.AB=AC.ZBAC=90°,Zl=Z2,CEJ.BD的延长线于E求证：BD=2CE证明：分别延长BA、CE交于FVBE1CE，NBEF=NBEC90"61ABEF^lABEC中ZI-Z2BE=BENBEF=NBEC/.△BEF^ABECACE-FE--CF2VZBAC«9O\BE1CFZBAC«ZCAE»Nl+NBDA=90nZI+ZBFC-900ZBDA«ZBFC/HAABDfilAACFrl1ZBAC-ZCAFZBDA=ZBFCAB=AC・••△ABD幻ZSACF/.BD=CF/.BD=2CE练习：己知.如图,NACB二3NB.Zl-Z2.CD1ADFD.求证：AB-AC=2CD08当证题有困难时，可结合己知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例：已知，如图，AC,BD相交于O,且AB=DC,AC-BD,求证：ZA=ZD证明：（连结BC,过程略）09有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边线上的点到角两边距离相等证题.例：己知.如图./1=/2.P为BN上一点，ILPD1BC于【),AB+BC»2BD.求证：ZBAP+ZBCP-1«0°证明：过P作PE_LBA于E义十、VPDXBC.Z1=Z2，PE=PDB口。在RtABPE和RtABPD中BP工BPPE二PD/.RtABPE^RtABPD:.BE=BDVAB+BC2BD.BCCD+BD.ABBE-AEAAE-CDVPE1BE.PD±BCNPEB=/PDC=9(T在4PEA和中PE=PD/PEB=/PDCAE二CD/.△PEA^APDC,，/PCB=NEAPVZBAP+ZEAP-180°AZBAP+ZBCP-1X00练习：L己知.如图.PA、PC分别是△ABC外向NMAC与NNCA的平分线.它们交广P.PD±BMJ，M.PF±BNFF.求证：BP为NMBN的平分线2.己知.如图.在△ABC中.ZABC-IQO0./ACB=20%CE是NACB的平分线.D是AC上一点,若NCBD=20°,求NCED的度数.10有等腰三角形时常用的辅助线（1诈顶角的平分线，底边中线，底边高线例：己知.如图，AB»AC.BDXACfD-求证：ZBAC=2ZDBC证明：（方法一）作/BAC的平分税AE.交BC于E.则/"N2=-ZBAC2乂•••AB=ACAAE1BC•••N2+NACBu90”VBD1AC，/DBC+/ACB=9(y.\ZBAC»2ZDBC（方法二）过A作AE_LBC于E（过程略）（方法三）取BC中点E,连结AE（过程略）⑵有底边中点时，常作底边中线例:已知.如图.AABC+tAB-ACtD为BC中点.DE」AB于E.DF」AC求证：DE=DF在BA延长线和AC在BA延长线和AC上各取一点E、F,但AEYD为BC中点.,BD=CDXVAB-ACAAD平分NBACVDEXAB-DF±AC••.DE=DF⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解期例:已知,如图•ZSABC中,AB=AC--AF,求证：EF1BC证明：延长BE到N,使AN-AB,连结CN.则AB二AN二AC/.ZB=ZACB,ZACN=ZANCVZB+ZACB+ZACN+ZANC=I盼，2/BCA+2/ACN-180°AZBCA+ZACN«90°即NBCN=9(TANCIBCVAE-AF•••/AEF=ZAFEXVZBAC=ZAEF+ZAFEZBAC=ZACN+NANC:.ZBAC-2ZAEF2ZANCAZAEF-ZANC，EF〃NC/•EF1BC

11有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.例:已知,如图,AABC中,AB=AC.ZBAC-120°.EF为AB的垂宜平分线,EF交BC于F,交AB于E求证：BF=-FC2证明：连结AF.则AF=BFAZB^ZFABVAB-ACAZB-ZCVZBAC-120":.ZB-ZCZBAC」。8/一ZBAC)-30°2:./FAB=30"：•ZFAC-ZBAC-ZFAB=1200—30n=9(尸又•••NC=30°AAF--FC2ABF:-FC练习:已知.如图.在△ABC中,NCAB的平分线AD与BC的垂微平分线DE交于点D,DM1ABTM.DNLAC延长线于N求证：BM=CN12有中点时常构造垂直平分线.例：己知,如图.在△ABC中.BC-2AB,ZABC=2ZCBD-CD求证：AABC为直角三角形证明：过D作DE«LBC,交ACfE.连结BE,则BE=CE,:.NC=NEBCVZABC-2ZC/.ZABE=ZEBCVBC»2AB.BD=CD/.BD=AB在ZiABE和ZiDBE中AB=BDZABE=ZEBCBE=BE/.△ABE^ADBE，NBAE-ZBDEVZBDE=9(r•二/BAE=90°即△ABC为直角W角形

13当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.例:己知，如图,在ZkABC中.ZA-90°.DE为BC的垂困平分线求证：BE—AE'AC?证明：连结CE,则BE=CEVZA-W/.AE2+/XC-=EC2/.ae2+ac2-be2/.BE2-AE2=AC2练习：已知,如图,在ZSABC中,ZBAC=90°>AB-AC,P为BC上一点求证：PB2+PC2=2PA-14条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中•例：已知.如图.在ZkABC中.ZB=45°.ZC=30%AB=".求AC的长.解：过A作ADJ.BC于D，NB+/BAD=9（儿VZB=45°./B=/BAD=45。，AD=BDAVAB:=-AD2+BD2.AB=4H乙—AAD=I0VZC=300.?\D1BC，AC=2AD=215有二倍角时常用的辅助线⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例士己知，如图.作△ARC中，Zl=Z2./ARC：2亡C.求证：AB+BD=AC蓬映延长AB到巳便BEBD,连结DE则/BED=ZBDEVZABD=Z［：4-ZBDJ-AZABC=2ZEVZABC=2ZCTOC\o"1-5"\h\z:.ZE=ZC1在dAEDmAACD中/UXZE-ZCJ\Zl=Z2AD=AD*AAAI:Dc^AACDJ・A—AEVAE-AB+BE二ACAB+REUPAB+BD-AC(2评分二倍角例;已知，如图,在△ARC中.BD1ACTO-ZBAC-2ZDBC求证：ZABCZACB证明：作/B"的平•分然AE交BC于E.B1ZBAE-ZCAE-ZDBC