软件学生会学习部试卷-线性代数第五章

第五章特征值与特征向量先将微分方程组改写。解

例解微分方程组

(1)若令

则方程组（1）变成

为解此矩阵微分方程，我们引入新的函数y1(t)与y2(t)做函数替换：若令y=[y1

y2]T，则存在P=[pij]2×2,使（2）

当P可逆时，把（2）代入（1）得（3）

若新函数选择恰当，即

P选取合适，则（3）的解很很容易得出。则P可逆且例如，取此时，方程组（3）为其一般解为其中，为常数。于是，方程组（1）的一般解为一、矩阵的相似

定义设A、B是两个n阶方阵。若存在n阶可逆矩阵P，使得则称A相似于B，记作A～B；称P为由A到B的相似变换矩阵。§5.1特征值与特征向量

性质1

矩阵的相似满足

（1）自反性：（2）对称性：

（3）传递性：

性质2（1）

（2）

（3）

（4）

其中A1,A2,

…

,Am

均为n

阶矩阵，P

为n

阶可逆矩阵。于是特别地，当A1＝A2＝…

＝Am＝A

时，上式成为

（5）若A～B，则f(A)

～

f(B)

，这里

f(x)为任一多项式函数。这可由得到。例已知，求a。解因为A～B，所以，即由此得。定义

设A是n阶方阵，若

则称A可相似对角化，简称对角化；称为A的相似标准形。

引例中的2阶方阵就可对角化，且其相似标准形为。

问题①如何判断矩阵是否可对角化？

②如何求矩阵得相似标准形(如何对角化)？

二、特征值与特征向量的定义和求法

设A是3阶可对角化矩阵，则存在3阶可逆矩阵P，使把P按列分块，则而因故有，

由此得

共同特点

定义

设A是n阶方阵。若存在数及n元非零列向量X，使得

AX=

X

或(I﹣A)X=0则称为矩阵A的特征值，X为矩阵A的属于(或对应于)特征值的特征向量。在引例中，对矩阵A、P以及数-q,-3q，因有故若取以及则有

即与是A的特征值，与分别是A属于与的特征向量。

特征值与特征向量的计算：

A，方阵；，特征值；，特征向量。是齐次线性方程组

①

的非零解。方程组①有非零解是以为变量的方程

②

的根。

①的系数行列式结论：特征值方程②的根特征向量方程组①的非零解

定义

设A为n阶方阵，则称

I﹣A为A的特征矩阵；称|I﹣A|为A的特征多项式，记为；称|I﹣A|=0为矩阵A的特征方程，称(I﹣A)X=0

为矩阵A的特征方程组。对A的特征值，称零空间为特征值的特征子空间，记为(与特征值的特征向量集合只差一个零向量)。例求矩阵的特征值与特征向量。A的特征值为2和1（二重）。解

对，解：

令，故A属于2的全部特征向量为。对，解：令，故A属于1的全部特征向量为。

例设，求

A的特征值与特征向量。

解

∵

∴

A的特征值为0（二重）和-2。

对，解得基础解系故A属于的特征向量为。对，解得基础解系故A属于0的特征向量为不全为零）。

矩阵A的特征值与特征向量的求法：1.写出矩阵A的特征多项式|I-A|，它的全部根就是矩阵A的全部特征值；分别求出它们的基础解系：这就是特征值

i

所对应的一组线性无关的特征向量。其非零线性组合2.设1,2,…,s

是矩阵A的全部互异的特征值。将A的每个互异的特征值i

(i=1,2,…,s)分别代入特征方程组(I-A)

X=0，得:小结是A的属于特征值i的全部特征向量

(i=1,2,…,s),其中

kij

为不全为零的任意常数。三、特征值与特征向量的性质

性质

设A与B是n阶方阵，且，则

于是，相似矩阵具有相同的特征值。

问题

相似矩阵的特征向量间有什么关系？

解答：设

B

=

P

-1AP,X

是矩阵

A

的属于特征值

0的特征向量，则

P

-1X

是矩阵

B

的对应于特征值0的一个特征向量。

定理设是n阶方阵，是

A的n个特征值，则

（1）

（2）

推论（1）（2）可逆矩阵没有零特征值。

注

矩阵

A

的主对角线上的所有元素之和

称为矩阵A的迹，记作

t

r

(A)。

设

A

=

[aij]n×n，易见，它的特征多项式是关于的

n

次多项式，不妨设之为即证明考虑上式左端行列式的展开式，它除了这一项含有

n

个形如

(

-

aii)

的因式外，其余各项最多含有

n

-

2个这样的因式。于是

n,n-1

只能由

(5.1.6)产生。比较

(5.1.5)两端的系数，得在

|

I-A|

=

C0

n+C1

n-1+…

+Cn-1

+Cn中令

=

0

得

另外,根据多项式理论,n次多项式在复数域上有

n

个根，不妨设为1,2,…

,n,

又由于f

(

)的首项系数C0=1，于是有比较

(5.1.5)和

(5.1.9)，得(5.1.10)

(5.1.10)特征值的重要性质:例已知且。求。解（法一）∵

∴

即，解得。

又，故，即，解得。

（法二）∵

∴A与B有相同的特征值

故A的特征值为。由解得。此时，

所以；或由解得。

例已知A的特征值为1，2，3。求的特征值。

解设是A的特征值，X是对应的特征向量，则∵∴是的特征值，对