中考数学专题-锐角三角函数与圆的综合

中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合一、综合题1．如图，在⊙O中，OE垂直于弦AB，垂足为点D，交⊙O于点C，∠EAC=∠CAB．（1）求证：直线AE是⊙O的切线，（2）若AB=8，sin∠E=，求⊙O的半径．2．如图，在⊙O中，AB为直径，D、E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．（1）求证：BC为⊙O的切线．（2）若sinA=，BC=6，求⊙O的半径．3．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，⊙D经过点B，与BC交于点E，与AB交与点F．已知tanA=，cot∠ABC=，AD=8．求（1）⊙D的半径；（2）CE的长．4．如图，AB⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）求证：∠E=∠C；（2）若DF=12cm，cosE=，E是的中点，求DE的长．5．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinB=，BD=5，求BF的长．6．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=DC，求的值．7．如图，P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D，且AB是⊙O的直径，已知PA=OA=4，AC=CD．（1）求DC的长；（2）求cosB的值．8．如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交△BGF的外接圆于H，连接GH，BH．（1）求证：△DFA∽△HBG；（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3，CF：FB=1：2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．9．如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF⊥AC；（2）求tan∠E的值．10．如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD=60°．（1）求∠ABD的度数；（2）若AB=6，求PD的长度．11．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若tanC=，AC=8，求⊙O的半径．12．如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF⊥AC；（2）求tan∠E的值．13．如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．14．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若tanC=，AC=8，求⊙O的半径．15．如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD=60°．（1）求∠ABD的度数；（2）若AB=6，求PD的长度．16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．18．如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．（1）求∠ABD的大小；（2）求弦BD的长．19．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长.20．已知：如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，F是弧AC的中点，OF与AC相交于点E，AC=8cm，EF=2cm.（1）求AO的长；（2）求sinc的值.

答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OA，∵OE垂直于弦AB，∴∠OCA+∠CAD=90°，∵CO=OA，∴∠OCA=∠OAC，∵∠EAC=∠CAB，∴∠EAC+∠OAC=90°，∴OA⊥AE，即直线AE是⊙O的切线（2）解：作CF⊥AE于F，∵∠EAC=∠CAB，∴CF=CD，∵AB=8，∴AD=4，∵sin∠E=，∴=，=，∴AE=，DE=，∴CF=2，∴CD=2，设⊙O的半径r，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5．∴⊙O的半径为5．【解析】【分析】（1）首先得出∠OCA+∠CAD=90°，进而求出∠EAC+∠OAC=90°，即可得出答案．（2）作CF⊥AE于F，根据角平分线的性质和三角函数求得AE=，DE=，进一步求得CF=CD=2，然后根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可求得．2．【答案】（1）证明：∵∠A与∠E所对的弧是弧BD，

∴∠A=∠E，

又∵∠E+∠C=90°，

∴∠A+∠C=90°，

∴∠ABC=180°﹣90°=90°，

∵AB为直径，

∴BC为⊙O的切线.（2）解：∵sinA=，BC=6，

∴=，

即=，

∴AC=10，

在Rt△ABC中，

∴AB===8，

又∵AB为直径，

∴⊙O的半径是×8=4.【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得∠A=∠E，同等量代换得∠A+∠C=90°，再由三角形内角和得∠ABC=90°，根据切线的判定即可得BC为⊙O的切线.

（2）由三角函数正弦定义得：sinA==，从而得AC=10，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB=8，从而得⊙O的半径.3．【答案】（1）解：∵CD⊥AB，AD=8，tanA=，在Rt△ACD中，tanA==，AD=8，CD=4，在Rt△CBD，cot∠ABC==，BD=3，∴⊙D的半径为3（2）解：过圆心D作DH⊥BC，垂足为H，∴BH=EH，在Rt△CBD中∠CDB=90°，BC==5，cos∠ABC==，在Rt△BDH中，∠BHD=90°，cos∠ABC==，BD=3，BH=，∵BH=EH，∴BE=2BH=，∴CE=BC﹣BE=5﹣=．【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义得出CD和BD，从而得出⊙D的半径；（2）过圆心D作DH⊥BC，根据垂径定理得出BH=EH，由勾股定理得出BC，再由三角函数的定义得出BE，从而得出CE即可．4．【答案】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C（2）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=12，∵cosE=cosB=，∴AB=20，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=10，∴AE=10，∵E是的中点，∴∠ADE=∠BDE=45°，∴DG=AG=ADsin45°=16×=8，EG==6，∴DE=DG+GE=14．【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）根据cosE=，得出AB的长，即可求出AE的长，解直角三角形即可得到结论．5．【答案】（1）证明：连接AD．∵E是弧BD的中点，∴=，∴∠BAD=2∠BAE．∵∠ACB=2∠BAE，∴∠ACB=∠BAD，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°．∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=90°．∴AC是⊙O的切线（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．∵∠BAE=∠DAE，∠ADB=90°，∴GF=DF，在Rt△BGF中，∠BGF=90°，sinB==，即=，解得，BF=3．【解析】【分析】（1）连接AD，根据题意证明∠BAC=90°，根据切线的判定定理证明；（2）过点F作FG⊥AB于点G，过点F作FG⊥AB于点G．根据角平分线的性质得到GF=DF，根据正弦的定义计算即可．6．【答案】（1）证明：如图，∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，CE=CF，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠2+∠3=90°，∵∠3=∠4，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线（2）解：由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴，∵BD=DC，∴tan∠ABC=，∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=，∴sin∠ACD=，∴．【解析】【分析】本题是一道圆的综合题，圆的切线垂直于过切点的直径，这是解第一问的关键；第二问利用锐角三角函数可求的解.7．【答案】（1）解：连接OC、BC、AD，

∵AC=DC，∴∠CDA=∠CAD，又∵∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB，∴∠CBD=∠CBA，∴∠DBA=2∠CBA，又∵∠COA=2∠CBA，∴∠DBA=∠COA，∴OC∥BD，设CD=x，∴CP：CD=OP：OB，∴CP：x=8：4，∴CP=2x，∴CP•PD=AP•BP，∴2x•（2x+x）=4×（4+4+4），∴x=2，即CD=2；（2）解：∵OC∥BD，∴OC:BD=OP:PB，∴4：BD=（4+4）：4，∴BD=6，∴在Rt△ABD中，cosB===．【解析】【分析】（1）连接OC、BC、AD，根据等边对等角得出∠CDA=∠CAD，根据同弧所对的圆周角相等得出∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB，故∠CBD=∠CBA，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠DBA=2∠CBA，故∠DBA=2∠CBA，根据同位角相等，二直线平行得出OC∥BD，设CD=x，根据平行线分线段成比例定理得出CP：CD=OP：OB，根据比例式表示出CP的长，根据割线长定理得出CP•PD=AP•BP，根据等积式建立方程，求解得出x的值，从而得出答案；

（2）根据平行线分线段成比例定理得出OC：BD=OP：PB，根据比例式建立方程，求解得出BD的值，然后根据余弦函数的定义即可得出答案。8．【答案】（1）证明：∵∠HBG=∠HFG，∠HFG=∠AFD，

∴∠HBG=∠AFD．∵∠BHG=∠BFG=∠CFD=∠ADG，∴△DFA∽△HBG．（2）解：∵CD∥AB，CD=AB，

∴，．即AG=3AB．∵AE为⊙O的切线，∴AE2=AB•AG．∴AB=3．（3）解：∵AD=BC=6，CF：FB=1：2，

∴CF=2，BF=4．∵∠ABC=90°，∴AF=．∵AE2=AF•AH，∴AH=FH=AH﹣AF=．∴FH=AH﹣AF=．∵∠FBG=90°，FG=，∵FG为圆的直径，∴HG=．∴tan∠HGF==．∵∠HBC=∠HGF∴tan∠HBC=【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出∠HBG=∠HFG，根据对顶角相等得出∠HFG=∠AFD，故∠HBG=∠AFD，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BHG=∠BFG，根据二直线平行内错角相等得出∠CFD=∠ADG，又∠CFD=∠BFG，故∠BHG=∠ADG，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△DFA∽△HBG；

（2）根据平行线分线段成比例定理得出,故=，进而得出，即AG=3AB，根据切割线定理得出AE2=AB•AG．，从而得出方程，求解即可；

（3）首先根据AD=BC=6，CF：FB=1：2，算出CF,BF的长，根据勾股定理算出AF的长，根据切割线定理得出AE2=AF•AH，根据等积式算出AH,进而算出FH，根据90°圆周角所对的弦是直径得出FG为圆的直径，再根据勾股定理算出HG，根据同弧所对的圆周角相等得出∠HBC=∠HGF，根据等角的同名三角函数值相等及三角函数的定义即可得出答案。9．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，∵AC=BC，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线∴OD∥AC，∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴DF⊥AC（2）解:如图，连接BG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BGC=90°，∵∠EFC=90°=∠BGC，∴EF∥BG，∴∠CBG=∠E，Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，∴CD=4，S△ABC=，6×4=5BG，BG=，由勾股定理得：CG==，∴tan∠CBG=tan∠E===．【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形的熊志可得OD是中位线，则OD∥AC，根据切线的性质可得结论；

（2）连接BG，根据圆周角定理的推论和已知可证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，再用三角形的面积求出BG，勾股定理求出CG，从而求出∠CBG的正切值.10．【答案】（1）解：方法一：如图1，连接AD．∵BA是⊙O直径，∴∠BDA=90°．∵=，∴∠BAD=∠C=60°．∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°．方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD=2∠C=2×60°=120°．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=×（180°﹣120°）=30°．即∠ABD=30°．（2）解：如图1，∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP=90°．在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，∴DA=BA=×6=3．∴BD=DA=3．在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=，∴cos30°==．∴BP=4．∴PD=BP﹣BD=4﹣3=．【解析】【分析】（1）连接AD，由直径所对的圆周角是直角可得∠BDA=90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAD=∠C，则∠ABD=90°﹣∠BAD可求解；

（2）由切线的性质可得∠BAP=90°，在Rt△BAP中，根据cos∠ABD=可求得PB的长，则PD=BP﹣BD可求解。11．【答案】（1）解：如图：连接OE，BE∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A∴∠C=∠A∴BC=AB，∵BC是直径∴∠CEB=90°，且AB=BC∴CE=AE，且CO=OB∴OE∥AB∵GE⊥AB∴EG⊥OE，且OE是半径∴EG是⊙O的切线（2）解：∵AC=8，∴CE=AE=4∵tanC==∴BE=2∴BC==2∴CO=即⊙O半径为【解析】【分析】（1）连接OE，BE，由题意易证∠C=∠A；由直径所对的圆周角是直角可得∠CEB=90°，在根据等腰三角形的三线合一可得AE=CE，于是由三角形的中位线定理可得OE∥AB，结合已知可得EG⊥OE，由切线的判定可得EG是⊙O的切线；

（2）由题意根据tanC=可求得BE的长，再由勾股定理可求得BC的长，则半径CO=BC可求解。12．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，∵AC=BC，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线∴OD∥AC，∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF，∴DF⊥AC；（2）解：如图，连接BG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BGC=90°，∵∠EFC=90°=∠BGC，∴EF∥BG，∴∠CBG=∠E，Rt△BDC中，∵BD=3，BC=5，∴CD=4，S△ABC=，6×4=5BG，BG=，由勾股定理得：CG==，∴tan∠CBG=tan∠E===．【解析】【分析】（1）如图，连接OD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BDC=90°，根据等腰三角形的三线合一得出AD=BD，根据三角形的中位线平行于第三边得出OD∥AC，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得出OD⊥DF，根据平行线的性质得出DF⊥AC；

（2）如图，连接BG，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BGC=90°，然后根据同位角相等二直线平行得出EF∥BG，根据二直线平行内错角相等得出∠CBG=∠E，Rt△BDC中，根据勾股定理算出CD的长，然后根据面积法，由S△ABC=算出BG的长，最后根据勾股定理算出CG的长，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由tan∠CBG=tan∠E=即可算出答案。13．【答案】（1）证明：延长CD交⊙O于G，如图，∵CD⊥AB，∴=，∵=，∴=，∴∠CBE=∠GCB，∴CF=BF；（2）解：连接OC交BE于H，如图，∵=，∴OC⊥BE，在Rt△OBH中，cos∠OBH==，∴BH=×6=，∴OH==，∵==，==，∴=，而∠HOB=∠COM，∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM=∠OHB=90°，∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．【解析】【分析】（1）延长CD交⊙O于G，如图，根据垂径定理得出=，又=，故=，根据等弧所对的圆周角相等∠CBE=∠GCB，再根据等角对等边即可得出结论：CF=BF；

（2）根据垂径定理得出OC⊥BE，根据余弦函数的定义，由cos∠OBH=算出BH的长，然后根据勾股定理算出OH的长，接着利用有两组对边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出△OHB∽△OCM，由相似三角形对应角相等得出∠OCM=∠OHB=90°，从而根据垂直于半径外端点的直线是圆的切线即可得出结论。14．【答案】（1）解：如图：连接OE，BE∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A∴∠C=∠A∴BC=AB，∵BC是直径∴∠CEB=90°，且AB=BC∴CE=AE，且CO=OB∴OE∥AB∵GE⊥AB∴EG⊥OE，且OE是半径∴EG是⊙O的切线（2）解：∵AC=8，∴CE=AE=4∵tan∠C==∴BE=2∴BC==2∴CO=即⊙O半径为【解析】【分析】（1）如图：连接OE，BE，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角的和得出∠ABG=∠C+∠A，又∠ABG=2∠C，故∠C=∠A，根据等角对等边得出BC=AB，根据直径所对的圆周角是直角得出∠CEB=90°，然后根据等腰三角形的三线合一得出CE=AE，根据三角形的中位线定理得出OE∥AB，再根据平行线的性质得出EG⊥OE，又OE是半径，根据垂直于半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线即可得出EG是⊙O的切线；

（2）根据正切函数的定义，由tan∠C==即可算出BE的长，然后根据勾股定理算出BC的长，从而得出答案。15．【答案】（1）解：方法一：如图1，连接AD．∵BA是⊙O直径，∴∠BDA=90°．∵=，∴∠BAD=∠C=60°．∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°．方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD=2∠C=2×60°=120°．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=（180°﹣120°）=30°．即∠ABD=30°．（2）解：如图2，∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP=90°．在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，∴DA=BA=×6=3．∴BD=DA=3．在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=，∴cos30°==．∴BP=4．∴PD=BP﹣BD=4﹣3=．【解析】【分析】（1）方法一：如图1，连接AD．根据直径所对的圆周角相等得出∠BDA=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BAD=∠C=60°．再根据三角形的内角和即可算出∠ABD的度数；方法二：如图2，连接DA、OD，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOD=2∠C=2×60°=120°，然后根据等边对等角得出∠OBD=∠ODB=（180°﹣120°）=30°．从而得出答案；

（2）根据切线的性质得出∠BAP=90°，然后根据含30°角的直角三角形的边之间的关系算出DA,BD的长，再根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由cos∠ABD=，即可算出BP的长，进而根据PD=BP﹣BD即可算出答案。

16．【答案】（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等），∴∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE．（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，∵AB=AC，∴=，∴AH⊥BC，∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°，∴∠COH=2∠OAC=30°，设圆半径为r，则OH=OC•cos30°=r，∵△ABC中BC边上的高为1，∴AH=OA+OH=r+r=1，解得：r=2（2﹣），∴△ABC的外接圆的周长为：4π（2﹣）．【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，可得∠CDF=∠ABC，利用等腰三角形的性质，可证得∠ABC=∠ACB，再利用对顶角相等即等量代换，可证得∠EDF=∠CDF，即可证得结论。

（2）设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，利用垂径定理的推论，可证AH⊥BC，求出∠OAC的度数，再利用圆周角定理求出∠COH的度数，设圆半径为r，利用解直角三角形可求出OH=r，再由AH=OA+OH=1，建立关于r的方程，解方程求出r的值，然后求出△ABC的外接圆周长即可。17．【答案】（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，∴∠D=∠BCD，∴CB∥PD；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴=，∴∠BPD=∠CAB，∴sin∠CAB=sin∠BPD=，即=，∵BC=3，∴AB=5，即⊙O的直径是5．【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠1，根据垂径定理得出=，根据等弧所对的圆周角相等得出∠1=∠BCD，故∠D=∠BCD，根据内错角相等，两直线平行得出CB∥PD；

（2）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°，根据垂径定理得出=，根据等弧所对的圆周角相等得出∠BPD=∠CAB，根据等角的同名三角函数值相等得出sin∠CAB=sin∠BPD=，最后根据三角函数的定义即可算出AB的长。18．【答案】（1）解：∵∠APD是△APC的外角，∠CAB=50°，∠APD=80°，∴∠C=80°﹣