2022年山西省中考数学冲刺

山西省2019年中考数学试卷一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1.﹣3的绝对值是（）A.﹣3 B.3 C.- D.2.下列运算正确的是()A. B. C. D.3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是()A.青 B.春 C.梦 D.想4.下列二次根式是最简二次根式的是()A. B. C. D.5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是()A.30° B.35° C.40° D.45°6.不等式组的解集是()A. B. C. D.7.五台山景区空气清爽，景色宜人.“五一”小长假期间购票进山游客12万人次，再创历史新高.五台山景区门票价格旺季168元/人.以此计算，“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示为()A.×108元 B.×107元 C.×107元 D.2016×104元8.解一元二次方程x2＋4x－1＝0，配方正确的是（）A. B. C. D.9.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为()A. B. C. D.10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为()A. B. C. D.二.填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11.化简的结果是________.12.要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是_______.13.如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为_______.14.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4,0)，点D的坐标为(-1,4)，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为______.15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16.(1)计算：；(2)解方程组：.17.已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠H.求证：BC=DH.18.中华人民共和国第二届青年运动会(简称二青会)将于2019年8月在山西举行，太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分.各班按测评成绩从高分到低分顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图.请解答下列问题：(1)甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用(只写判断结果，不必写理由).(2)请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价(从“众数”，“中位数”，或“平均数”中的一个方面评价即可).(3)甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D的四张卡片(除字母外，其余都相同)背面朝上，洗匀放好.志愿者小玲从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率.19.某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元).(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式.(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.20.某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是m.任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据：°≈，°≈，°≈，sin31°≈，cos31°≈，tan31°≈任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).21.阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，∴△MDI∽△ANI，∴，∴①，如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴，∴②，任务：(1)观察发现：，(用含R，d的代数式表示)；(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm.22.综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.问题解决：(1)在图5中，∠BEC的度数是，的值是；(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：.23.综合与探究如图，抛物线经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC，(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

山西省2019年中考数学试卷参考答案及解析一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)1.﹣3的绝对值是（）A.﹣3 B.3 C.- D.【答案】B【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【解答】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点拨】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.2.下列运算正确的是()A. B. C. D.【答案】D【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂乘法法则、积的乘方法则逐一进行计算即可得.【解答】A.，故A选项错误；B.，故B选项错误；C.，故C选项错误；D.，正确，故选D.【点拨】本题考查了整式的运算，涉及了合并同类项、完全平方公式、积的乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是()A.青 B.春 C.梦 D.想【答案】B【分析】根据正方体展开z字型和L型找对面的方法即可求解.【解答】展开图中“点”与“春”是对面，“亮”与“想”是对面，“青”与“梦”是对面；故选B．【点拨】本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图找对面的方法是解题的关键4.下列二次根式是最简二次根式的是()A. B. C. D.【答案】D【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.【解答】A.，故A选项不符合题意；B.，故B选项不符合题意；C.，故C选项不符合题意；D.是最简二次根式，符合题意，故选D.【点拨】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是()A.30° B.35° C.40° D.45°【答案】C【分析】根据等边对等角可得∠ACB=∠B=75°，再根据三角形外角的性质可得∠AED=∠1-∠A=115°，继而根据平行线的性质即可求得答案.【解答】∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ACB=∠B=(180°-30°)÷2=75°，∵∠1=∠A+∠AED，∴∠AED=∠1-∠A=145°-30°=115°，∵a【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.6.不等式组的解集是()A. B. C. D.【答案】A【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后再确定其公共部分即可.【解答】，由①得，x>4，由②得，x>-1，所以不等式组的解集是x>4，故选A.【点拨】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键.7.五台山景区空气清爽，景色宜人.“五一”小长假期间购票进山游客12万人次，再创历史新高.五台山景区门票价格旺季168元/人.以此计算，“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示为()A.×108元 B.×107元 C.×107元 D.2016×104元【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】总收入为：168×120000=20160000(元)，20160000用科学记数法表示为×107，故选C.【点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8.解一元二次方程x2＋4x－1＝0，配方正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】∵x2+4x-1=0，

∴x2+4x+4=5，

∴（x+2）2=5，

故选C．【点拨】此题考查一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法．9.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为()A. B. C. D.【答案】B【分析】设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.【解答】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，∴-78=452a，解得：a=，∴此抛物线钢拱的函数表达式为，故选B.【点拨】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为()A. B. C. D.【答案】A【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC=60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【解答】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，∴∠A=30°，∴OH=OA=，AH=AO•cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，故选A.【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.二.填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11.化简的结果是________.【答案】【分析】先通分，然后进行分式的加减计算即可.【解答】==，故答案为.【点拨】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母加减法的运算法则是解题的关键.12.要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是_______.【答案】扇形统计图【分析】根据条形统计图适用于看出数量的多少，折线统计图适用于看出数量的增减变化，扇形统计图适用于看出各部分数量占总量的百分比进行解答即可.【解答】要表示一个家庭一年用于“教育”，服装，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图，故答案为扇形统计图.【点拨】本题考查了统计图的选择，熟练掌握各统计图的作用是解题的关键.(1)条形统计图作用：从条形统计图中很容易看出各种数量的多少.(2)拆线统计图作用：折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况.(3)扇形统计图作用：通过扇形统计图可以很清楚地表示各部分数量同总数之间的关系.13.如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为_______.【答案】（12-x）（8-x）=77【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．【解答】道路的宽为x米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，故答案为(12-x)(8-x)=77.【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．14.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4,0)，点D的坐标为(-1,4)，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为______.【答案】16【分析】过点D作DH⊥x轴，垂足为H，由已知则可得H(-1，0)，DH=4，根据点A(-4，0)，可得AH=3，要卖勾股定理可求得AD长，再根据菱形的性质可得DC=AD=5，DC【解答】过点D作DH⊥x轴，垂足为H，则∠AHD=90°，又∵D(-1，4)，∴H(-1，0)，DH=4，∵A(-4，0)，∴AH=3，∴AD==5，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=AD=5，DC【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，点的平移等知识，求出菱形的边长是解题的关键.15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.【答案】【分析】过点A作AH⊥DE，垂足为H，由旋转的性质可得AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠HAE=45°，AH=3，进而得∠HAF=30°，继而求出AF长即可求得答案.【解答】过点A作AH⊥DE，垂足为H，∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，∴DE=，∠HAE=∠DAE=45°，∴AH=DE=3，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，∴AF=，∴CF=AC-AF=，故答案为.【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加辅助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.三.解答题(本大题共8个小题，共75分)16.(1)计算：；(2)解方程组：.【答案】(1)5；(2).【分析】(1)按顺序先分别进行二次根式化简，负指数幂运算，代入特殊角的三角函数值，0次幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可；(2)利用加减消元法进行求解即可.【解答】(1)原式=；(2)①+②得：，解得，将代入②得：，解得，∴原方程组的解为.【点拨】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，涉及了0指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、加减消元法解方程组等知识，熟练掌握相关运算法则以及方程组的解法是解题的关键.17.已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠H.求证：BC=DH.【答案】证明见解析.【分析】利用AAS证明△ABC≌△EDH，再根据全等三角形的性质即可得.【解答】∵AD=BE，∴AD-BD=BE-BD，即AB=DE.∵AC∥EH，∴∠A=∠E，在△ABC和△EDH中，∴△ABC≌△EDH(AAS)，∴BC=DH.【点拨】本题考查了全等三角形的送定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.18.中华人民共和国第二届青年运动会(简称二青会)将于2019年8月在山西举行，太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分.各班按测评成绩从高分到低分顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图.请解答下列问题：(1)甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用(只写判断结果，不必写理由).(2)请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价(从“众数”，“中位数”，或“平均数”中的一个方面评价即可).(3)甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D的四张卡片(除字母外，其余都相同)背面朝上，洗匀放好.志愿者小玲从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率.【答案】(1)小华：不能被录用，小丽：能被录用；(2)见解析；(3).【分析】(1)根据甲班超过7分的人数，乙班超过6分的人数都正好为10人进行说明即可；(2)求出甲、乙两班的众数，从众数角度进行说明；也可以求出中位数，从中位数角度进行说明；还可以求出两班的平均数，从平均数角度进行说明；(只要用其中一个进行说明即可)；(3)画树状图得到所有等可能的情况数，然后找出符合条件的情况数，利用概率公式进行计算即可.【解答】(1)甲班超过7分的人数有4+3+3=10人，因此从高到低录取，小华不能被录取；乙班超过7分的人数有3+1+4=8人，超过6分的人数有2+3+1+4=10人，因此从高到低录取，小丽能被录用；(2)从众数来看：甲、乙两班各被录用的10名志愿者成绩的众数分别为8分，10分，说明甲班被录用的10名志愿者中8分最多，乙班被录用的10名志愿者中10分最多；从中位数来看：甲、乙两班各被录用的10名志愿者成绩的中位数分别为9分，分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数；从平均数来看：甲、乙两班各被录用的10名志愿者成绩的平均数分别为=，=，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的平均数；(从“众数”，“中位数”或“平均数”中的一方面即可)；(3)画树状图如下：由树状图可知一共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中抽到“A”和“B”的结果有2种.∴.【点拨】本题考查了条形统计图，平均数、众数和中位数，列表法或树状图法求概率，弄清题意，读懂统计图，从中找到必要的信息是解题的关键.本题用到的知识点还有：概率=所求情况数与总情况数之比．19.某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元).(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式.(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.【答案】(1)；(2)当时选择方式一比方式二省钱.【分析】(1)根据题意列出函数关系式即可；(2)根据题意，列出关于x的不等式进行解答即可.【解答】(1)，；(2)由得：，解得：，∴当时选择方式一比方式2省钱，即一年内来此游泳馆的次数超过20次时先择方式一比方式二省钱.【点拨】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是弄清题意，找准各量间的关系，正确运用相关知识解答.20.某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是m.任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据：°≈，°≈，°≈，sin31°≈，cos31°≈，tan31°≈任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).【答案】任务一：；任务二：旗杆GH的高度为；任务三：见解析.【分析】任务一：利用平均数公式进行计算即可得；任务二：由题意可得：四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，则有EH=AC=，CD=AB=，设EG=xm，在Rt△DEG中，利用∠GDE的正切可得，在Rt△CEG中，利用∠GCE的正切可得CE=，再根据CD=CE-DE，可求得x的值，再根据GH=CE+EH即可求得答案；任务三：写出的理由只要合理即可.【解答】任务一：=(m)，故答案为；任务二：由题意可得：四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，∴EH=AC=，CD=AB=，设EG=xm，在Rt△DEG中，∠DEC=90°，∠GDE=31°，∵tan31°=，∴，在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=°，∵°=，∴CE=，∵CD=CE-DE，∴，∴，∴GH=CE+EH=+=，答：旗杆GH的高度为；任务三：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，正确运用正切的知识是解本题的关键.21.阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，∴△MDI∽△ANI，∴，∴①，如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴，∴②，任务：(1)观察发现：，(用含R，d的代数式表示)；(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm.【答案】(1)R-d；(2)BD=ID，理由见解析；(3)见解析；(4).【分析】(1)直接观察可得；(2)由三角形内心的性质可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根据三角形外角的性质即可求得∠BID=∠DBI，继而可证得BD=ID；(3)应用(1)(2)结论即可；(4)直接代入结论进行计算即可．【解答】(1)∵O、I、N三点共线，∴OI+IN＝ON，∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，故答案为R﹣d；(2)BD=ID，理由如下：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，∴∠BID=∠DBI，∴BD=ID；(3)由(2)知：BD=ID，又，，∴DE·IF=IM·IN，∴，∴∴；(4)由(3)知：，把R=5，r=2代入得：，∵d>0，∴，故答案为.【点拨】本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.22.综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.问题解决：(1)在图5中，∠BEC的度数是，的值是；(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：.【答案】(1)°；；(2)四边形EMGF是矩形，理由见解析；(3)菱形FGCH或菱形EMCH(一个即可).【分析】(1)由正方形的性质可得∠B=90°，∠ACB=∠BAC=45°，根据折叠的性质可得∠BCE=°，继而可求得∠BEC=°，在Rt△AEN中，由sin∠EAN=可得AE=EN，即可求得；(2)四边形EMGF是矩形，理由如下：由折叠的性质可得∠1=∠2=∠3=∠4=°，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=°，MC=ME，GC=GF，∠5=∠1=°，∠6=∠4=°，继而可得∠MEF=∠GFE=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠CMG=45°，由三角形外角的性质得∠BME=∠1+∠5=45°，根据平角的定义求得∠EMG=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得到四边形EMGF是矩形；(3)如图所示，四边形EMCH是菱形，理由如下：先证明四边形EMCH是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明平行四边形EMCH是菱形.(同理四边形FGCH也是菱形).【解答】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=∠BCD=45°，∠BAC=∠BAD=45°，∵折叠，∴∠BCE=∠BCE=°，BE=EN，∠ENC=∠B=90°，∴∠BEC=90°°=°，∠ANE=90°，在Rt△AEN中，sin∠EAN=，∴，∴AE=EN，∴，故答案为°，；(2)四边形EMGF是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，