2022年高考冲刺理数模拟冲刺冲刺（天津卷）

2018年高考理数真题试卷（天津卷）一、选择题1.（2018•天津）设全集为R，集合QUOTEA={x|0<x<2}A={x|0<x<2}，QUOTE，则QUOTE（

）A.QUOTE

B.QUOTE{x|0<x<1}{x|0<x<1}

C.QUOTE

D.QUOTE{x|0<x<2}{x|0<x<2}2.（2018•天津）设变量x，y满足约束条件QUOTE则目标函数QUOTEz=3x+5yz=3x+5y的最大值为（

）A.

6

B.

19

C.

21

D.

453.（2018•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（

）

4.（2018•天津）设QUOTE，则“QUOTE”是“QUOTEx3<1x3<1”的（

）A.

充分而不必要条件

B.

必要而不重复条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件5.（2018•天津）已知QUOTEa=log2ea=log2e，QUOTEb=ln2b=ln2，QUOTEc=log1213c=logA.

QUOTEa>b>ca>b>c

B.

QUOTEb>a>cb>a>c

C.

QUOTEc>b>ac>b>a

D.

QUOTEc>a>bc>a>b6.（2018•天津）将函数QUOTEy=sin(2x+?5)y=sin(2x+?5)的图象向右平移QUOTEA.在区间QUOTE上单调递增

B.在区间QUOTE上单调递减

C.在区间QUOTE上单调递增

D.在区间QUOTE上单调递减7.（2018•天津）已知双曲线QUOTE的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为QUOTEd1d1和QUOTEd2d2，且QUOTEd1+d2=6d1+d2=6，则双曲线的方程为（

）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE8.如图，在平面四边形ABCD中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTEAB=AD=1AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，则QUOTE的最小值为（

）

A.

QUOTE21162116

B.

QUOTE3232

C.

QUOTE25162516

D.

QUOTE33二、填空题：9.（2018•天津）i是虚数单位，复数QUOTE________10.（2018•天津）在QUOTE的展开式中，QUOTEx2x2的系数为________11.（2018•天津）已知正方体QUOTE的棱长为1，除面QUOTEABCDABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥QUOTE的体积为________

12.（2018•天津）已知圆QUOTE的圆心为C，直线QUOTE(QUOTEtt为参数)与该圆相交于A，B两点，则QUOTE的面积为________.13.（2018•天津）已知QUOTE，且QUOTE，则QUOTE2a+18b2a+18b的最小值为________.14.（2018•天津）已知QUOTEa>0a>0，函数QUOTE若关于QUOTExx的方程QUOTEf(x)=axf(x)=ax恰有2个互异的实数解，则QUOTEaa的取值范围是________.三、解答题：15.（2018•天津）在QUOTE中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知QUOTE.

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和QUOTE的值.16.（2018•天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.17.（2018•天津）如图，QUOTEAD//BCAD//BC且AD=2BC，QUOTE,QUOTEEG//ADEG//AD且EG=AD，QUOTECD//FGCD//FG且CD=2FG，QUOTE，DA=DC=DG=2.

（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：QUOTE；

（Ⅱ）求二面角QUOTE的正弦值；

（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.18.（2018•天津）设QUOTE{an}{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为QUOTE，QUOTE{bn}{bn}是等差数列.已知QUOTEa1=1a1=1，QUOTEa3=a2+2a3=a2+2，QUOTEa4=b3+b5a4=b3+b5，QUOTEa5=b4+2b6a5=b4+2b6.

（Ⅰ）求QUOTE{an}{an}和QUOTE{bn}{bn}的通项公式；

19.（2018•天津）设椭圆QUOTEx2a2+x2b2=1x2a2+x2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为QUOTE5353，点A的坐标为QUOTE(b,0)(b,0)，且QUOTE.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：QUOTEy=kx(k>0)y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若QUOTE(O为原点)，求k的值.20.（2018•天津）已知函数QUOTEf(x)=axf(x)=ax，QUOTEg(x)=logaxg(x)=logax，其中a>1.

（Ⅰ）求函数QUOTE的单调区间；

（Ⅱ）若曲线QUOTEy=f(x)y=f(x)在点QUOTE(x1,f(x1))(x1,f(x1))处的切线与曲线QUOTEy=g(x)y=g(x)在点QUOTE(x2,g(x2))(x2,g(x2))处的切线平行，证明QUOTE；

（Ⅲ）证明当QUOTE时，存在直线l，使l是曲线QUOTEy=f(x)y=f(x)的切线，也是曲线QUOTEy=g(x)y=g(x)的切线.答案与解析一、选择题1.（2018•天津）设全集为R，集合QUOTEA={x|0<x<2}A={x|0<x<2}，QUOTE，则QUOTE（

）A.QUOTE

B.QUOTE{x|0<x<1}{x|0<x<1}

C.QUOTE

D.QUOTE{x|0<x<2}{x|0<x<2}答案：B知识点：集合的概念及其基本运算难度：较易解析：∵QUOTEA={x|0<x<2}A={x|0<x<2},QUOTE

∴QUOTECRB={x|x<1}CRB={x|x<1}则QUOTE

2.（2018•天津）设变量x，y满足约束条件QUOTE则目标函数QUOTEz=3x+5yz=3x+5y的最大值为（

）A.

6

B.

19

C.

21

D.

45答案：C知识点：二元一次不等式（组）与简单线性规划难度：中等解析：将QUOTEz=3x+5yz=3x+5y平移至-x+y=1与x+y=5的交点（2,3）时，

zmax=3?2+5?3.（2018•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（

）

答案：B知识点：算法与程序框图、基本算法语句难度：中等解析：N=20，i=2，T=0.

∴T=1,i=3,i＜5

∴QUOTE

∴i=4,i＜5

∴QUOTE

∴T=2，i=5≥5

即T=2

4.（2018•天津）设QUOTE，则“QUOTE”是“QUOTEx3<1x3<1”的（

）A.

充分而不必要条件

B.

必要而不重复条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件答案：A知识点：命题及其关系、充分条件与必要条件难度：中等解析：∵QUOTE

∴QUOTE则选充分不必要条件，

5.（2018•天津）已知QUOTEa=log2ea=log2e，QUOTEb=ln2b=ln2，QUOTEc=log1213c=logA.

QUOTEa>b>ca>b>c

B.

QUOTEb>a>cb>a>c

C.

QUOTEc>b>ac>b>a

D.

QUOTEc>a>bc>a>b答案：D知识点：二次函数与幂函数难度：中等解析：QUOTEa=log2e>1,b=ln2<1,c=log1213=log26.（2018•天津）将函数QUOTEy=sin(2x+?5)y=sin(2x+?5)的图象向右平移QUOTEA.在区间QUOTE上单调递增

B.在区间QUOTE[3π4,π][3π4,π]上单调递减

C.在区间QUOTE上单调递增

D.在区间QUOTE[3π2,2π][3π2,2π]上单调递减答案：A知识点：函数y=Asin（ωx+φ)的图象难度：中等解析：QUOTE对A∵QUOTE

故答案为：A

7.（2018•天津）已知双曲线QUOTE的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为QUOTEd1d1和QUOTEd2d2，且QUOTEd1+d2=6d1+d2=6，则双曲线的方程为（

）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE答案：C知识点：双曲线难度：中等解析：QUOTE

∴QUOTEb=3ab=3a

∴双曲线渐近线方程为QUOTEy=?3xy=?3x

又QUOTEA(c,b2a),B(c,-b2a)A(c,b2a),B(c,-b2a)即QUOTE

则QUOTE

则b=3

∴双曲线方程为QUOTE

8.如图，在平面四边形ABCD中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTEAB=AD=1AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，则QUOTE的最小值为（

）

A.

QUOTE21162116

B.

QUOTE3232

C.

QUOTE25162516

D.

QUOTE33答案：A知识点：两条直线的位置关系难度：中等解析：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则QUOTE

设QUOTEC(1,y0)C(1,y0)∴QUOTE

又QUOTE

∴QUOTEy0=3y0=3

∴QUOTE

又E在CD上

设QUOTE

又QUOTE

又QUOTE,当QUOTEλ=14λ=14时，QUOTE有最大值QUOTE21162116

二、填空题：9.（2018•天津）i是虚数单位，复数QUOTE________答案：QUOTE知识点：数系的扩充与复数的引入难度：较易解析：QUOTE

10.（2018•天津）在QUOTE的展开式中，QUOTEx2x2的系数为________答案：QUOTE5252知识点：二项分布及其应用难度：中等解析：∵QUOTE的通式为QUOTE∴QUOTE

则QUOTE

11.（2018•天津）已知正方体QUOTE的棱长为1，除面QUOTEABCDABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥QUOTE的体积为________

答案：QUOTE112112知识点：空间几何体的表面积和体积难度：中等解析：∵四凌锥M-EFGH为所有棱长均为QUOTE2222的正四棱锥.∴QUOTE

12.（2018•天津）已知圆QUOTE的圆心为C，直线QUOTE(QUOTEtt为参数)与该圆相交于A，B两点，则QUOTE的面积为________.答案：QUOTE1212知识点：直线、圆的位置关系难度：中等解析：∵QUOTE又直线QUOTEQUOTE

∴圆心到直线距离QUOTEd=12d=12，又QUOTE

即QUOTE

13.（2018•天津）已知QUOTE，且QUOTE，则QUOTE2a+18b2a+18b的最小值为________.答案：QUOTE1414知识点：不等关系与不等式难度：中等解析：∵a-3b+6=0QUOTEa-3b=-6又QUOTE

14.（2018•天津）已知QUOTEa>0a>0，函数QUOTE若关于QUOTExx的方程QUOTEf(x)=axf(x)=ax恰有2个互异的实数解，则QUOTEaa的取值范围是________.答案：（4,8）知识点：函数的概念及其表示难度：较难解析：∵QUOTE∴QUOTE

QUOTEx2+ax+ax2+ax+a=0与QUOTE=0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内.

则QUOTE

⇒4QUOTE<<aQUOTE<<8

三、解答题：15.（2018•天津）在QUOTE中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知QUOTE.

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和QUOTE的值.答案：解：（Ⅰ）QUOTE中，由正弦定理QUOTE

∴QUOTEtanB=3tanB=3

又QUOTE

（Ⅱ）QUOTE中，∵a=2,c=3,QUOTE则QUOTE

由QUOTE

∵QUOTEa<ca<c∴QUOTEcosA=27cosA=27

∴QUOTEsin2A=2sinAcosA=437sin2A=2sinAcosA=437

∴QUOTE知识点：正弦定理和余弦定理难度：中等解析：（Ⅰ）由正弦定理，得到关系，代入等式，解出QUOTE.（Ⅱ）由余弦定理，得到b，再由正弦定理得到QUOTEsinAsinA，从而QUOTEcosA,sin2A,cos2AcosA,sin2A,cos2A16.（2018•天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.答案：解：（Ⅰ）由已知甲乙丙三个部门员工人数之比为3:2:2，∴从甲乙丙三个部门中分别抽到3人，2人，2人

（Ⅱ）（i）随机变量QUOTE取值可能为

∴随机变量x的分布列为X0123P112184∴x的数学期望为QUOTE

（ii）解：设事件B为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”，事件C为：“抽取3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，

则QUOTE

由①知QUOTEP(B)=P(x=2)P(B)=P(x=2)，QUOTEP(C)=P(x=1)P(C)=P(x=1)

则：QUOTE

则事件A发生的概率为QUOTE6767.知识点：离散型随机变量的期望与方差难度：中等解析：（Ⅰ）分层抽样对应成比例;（Ⅱ）概率分布列通式写出来，再算期望。17.（2018•天津）如图，QUOTEAD//BCAD//BC且AD=2BC，QUOTE,QUOTEEG//ADEG//AD且EG=AD，QUOTECD//FGCD//FG且CD=2FG，QUOTE，DA=DC=DG=2.

（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：QUOTE；

（Ⅱ）求二面角QUOTE的正弦值；

（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.答案：（Ⅰ）以D为原点，DA,DC,DG为x,y,z轴正方问建立间直角坐标系，

则

D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2)F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,32,1),N(1,0,2)

证明：QUOTE

设QUOTE为面CDE法向量

则QUOTE

令z=-1

∴QUOTE

又QUOTE，则QUOTE，又QUOTE

∴QUOTE

（Ⅱ）QUOTE

设QUOTE是面BCE法向量，

则QUOTEQUOTEz=1

∴QUOTE

设QUOTE是面BCF法向量，则QUOTE

令z=1∴QUOTE

∴QUOTE

则二面角E-BC-F正弦值为QUOTE10101010

（Ⅲ）设线段DP=h，h∈[0,2]，则P（0,0，h）

∴QUOTE为平面ADGE的一个法向量，

则QUOTE

则QUOTE知识点：立体几何综合难度：中等解析：建立空间直角坐标系。（Ⅰ）计算面CDE法向量，法向量与直线MN方向向量垂直，得证，（Ⅱ）计算面BCE，面BCF法向量，两平面法向量夹角正弦值与二面角，平面角正弦值相等。（Ⅲ）计算QUOTE，QUOTE夹角，解方程.18.（2018•天津）设QUOTE{an}{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为QUOTE，QUOTE{bn}{bn}是等差数列.已知QUOTEa1=1a1=1，QUOTEa3=a2+2a3=a2+2，QUOTEa4=b3+b5a4=b3+b5，QUOTEa5=b4+2b6a5=b4+2b6.

（Ⅰ）求QUOTE{an}{an}和QUOTE{bn}{bn}的通项公式；

答案：（Ⅰ）设等比数列QUOTE{an}{an}公比为q,由QUOTE，

∵q>0,∴q=2,则QUOTE。

设等差数列QUOTE{bn}{bn}公差为d，由QUOTEa4=b3+b5,b1+3d=4a4=b3+b5,b1+3d=4，由QUOTEa5=b4+2b6a5=b4+2b6，

则QUOTEb1=1,d=1b1=1,d=1

∴QUOTEbn=nbn=n。

∴QUOTE{an}{an}通项公式为QUOTE，通项公式为QUOTEbn=nbn=n，

（Ⅱ）(i)解由（1）QUOTE，

故QUOTE，

(ii)QUOTE，QUOTE=QUOTE知识点：数列的综合应用难度：较难解析：（Ⅰ）由等差数列，等比数列通项公式写出；（Ⅱ）（i）等比数列求和公式求出QUOTESnSn，再用分组求和算出QUOTETnTn；

（ii）对通式先裂次项相消。19.（2018•天津）设椭圆QUOTEx2a2+x2b2=1x2a2+x2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为QUOTE5353，点A的坐标为QUOTE(b,0)(b,0)，且QUOTE.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：QUOTEy=kx(k>0)y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若QUOTE(O为原点)，求k的值.答案：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则QUOTE，

又QUOTE|FB|=a,|AB|=2b|FB|=a,|AB|=2b。

由QUOTE，从而ab=6.

∴a==2.

即椭圆方程为：QUOTEx29+y24=1x29+y24=1。

（Ⅱ）设QUOTEP(x1,y1).Q(x2,y2)P(x1,y1).Q(x2,y2)，由已知QUOTEy1>y2>0y1>y2>0。

故QUOTE，

又QUOTE

从而QUOTE

∴QUOTE|AQ|=2y2|AQ|=2y2

|AQ||PQ|=524

又QUOTE，

又QUOTE。QUOTE，

又QUOTE5y1=9y25y1=9y2QUOTE，

知识点：圆锥曲线综合问题难度：较难解析：（Ⅰ）由椭圆几何性质，得到a,b。（Ⅱ）由已知条件得到P,Q纵坐标关系，联立方程组，将P,Q纵坐标分别用k表示。20.（2018•天津）已知函数QUOTEf(x)=axf(x)=ax，QUOTEg(x)=logaxg(x)=logax，其中a>1.

（Ⅰ）求函数QUOTE的单调区间；

（Ⅱ）若曲线QUOTEy=f(x)y=f(x)在点QUOTE(x1,f(x1))(x1,f(x1))处的切线与曲线QUOTEy=g(x)y=g(x)在点QUOTE(x2,g(x2))(x2,g(x2))处的切线平行，证明QUOTE；

（Ⅲ）证明当QUOTE时，存在直线l，使l是曲线QUOTEy=f(x)y=f(x)的切线，也是曲线QUOTEy=g(x)y=g(x)的切线.答案：解：（Ⅰ）∵h(x)=QUOTE，

令QUOTEh'(x)=h'(x)=0,QUOTE。

由a>1，则h(x)在QUOTE递减，在QUOTE递增。

（Ⅱ）证明：由QUOTE，则QUOTEy=f(x)y=f(x)在点QUOTE(x1,f(x1))(x1,f(x1))处切线斜率为QUOTE，由QUOTE，则QUOTEy=g(x)y=g(x)在点QUOTE(x2,g(x2))(x2,g(x2))处切线斜率为QUOTE1x2lna1x2lna

又QUOTE=QUOTE1x2lna