考研数学冲刺掌握解题的思路

本文格式为Word版，下载可任意编辑——考研数学冲刺掌握解题的思路考研数学冲刺掌管解题的思路

考生在考研数学冲刺阶段的时候，需要掌管好解题的思路。我为大家用心打定了考研数学冲刺掌管解题的思路指南，接待大家前来阅读。

考研数学冲刺掌管解题的21个固定思路

第一片面《高数解题的四种思维定势》

1.在题设条件中给出一个函数fx二阶和二阶以上可导，不管三七二十一，把fx在指定点展成泰勒公式再说。

2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，那么不管三七二十一先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

3.在题设条件中函数fx在[a，b]上连续，在a，b内可导，且fa=0或fb=0或fa=fb=0，那么不管三七二十一先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要片面为复合函数，那么不管三七二十一先做变量替换使之成为简朴形式fu再说。

其次片面《线性代数解题的八种思维定势》

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，那么立刻联想到用行列式按行列开展定理以及AA*=A*A=|A|E。

2.若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，那么立刻联想到用逆矩阵的定义去分析。

3.若题设n阶方阵A得志fA=0，要证aA+bE可逆，那么先分解出因子aA+bE再说。

4.若要证明一组向量a1，a2，...，as线性无关，先考虑用定义再说。

5.若已知AB=0，那么将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。

6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

7.若已知A的特征向量0，那么先用定义A0=00处理一下再说。

8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，那么用定义处理一下再说。

第三片面《概率与数理统计解题的九种思维定势》

1.假设要求的是若干事情中至少有一个发生的概率，那么连忙联想到概率加法公式;当事情组相互独立时，用对立事情的概率公式。

2.若给出的试验可分解成0-1的n重独立重复试验，那么连忙联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。

3.若某事情是伴随着一个完备事情组的发生而发生，那么连忙联想到该事情的发生概率是用全概率公式计算。关键：探索完备事情组。

4.若题设中给出随机变量X~N那么连忙联想到标准化X~N0，1来处理有关问题。

5.求二维随机变量X，Y的边缘分布密度的问题，理应连忙联想到先画出访联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而Y的求法类似。

6.欲求二维随机变量X，Y得志条件YgX或YgX的概率，理应连忙联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及得志YgX或YgX的区域的公共片面。

7.涉及n次试验某事情发生的次数X的数字特征的问题，连忙要联想到对X作0-1分解。

8.凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统得志某种关系的概率或已知概率求随机变量个数的问题，连忙联想到用中心极限定理处理。

9.若为总体X的一组简朴随机样本，那么只要涉及到统计量的分布问题，一般联想到用分布，t分布和F分布的定义举行议论。

考研高等数学九个重要定理证明

高数定理证明之微分中值定理:

这一片面内容对比丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。

费马引理的条件有两个：1.fx0存在2.fx0为fx的极值，结论为fx0=0。考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。我们可以按照导数定义写出fx0的极限形式。往下如何推理?关键要看其次个条件怎么用。"fx0为fx的极值'翻译成数学语言即fx-fx00或0，对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数片面表达式，不难想到考虑函数片面的正负号。若能得出函数片面的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。

费马引理中的"引理'包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要议论的罗尔定理。若在微分中值定理这片面推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都对比熟谙。条件有三："闭区间连续'、"开区间可导'和"端值相等'，结论是在开区间存在一点即所谓的中值，使得函数在该点的导数为0。

该定理的证明不好理解，需专心体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在议论该定理的证明是"马后炮'式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌管。假设在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。

闲言少叙，言归正传。既然我们议论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们比较这两个定理的结论，不难察觉是一致的：都是函数在一点的导数为0。话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。大方向对，但过程没这么简朴。起码要说清一点：费马引理的条件是否得志，为什么得志?

前面提过费马引理的条件有两个"可导'和"取极值'，"可导'不难判断是成立的，那么"取极值'呢?貌似不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。留神到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。

那么最值和极值是什么关系?这个点需要想领会，由于直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，那么最值为极值;若最值均取在区间端点，那么最值不为极值。那么接下来，分两种处境议论即可：若最值取在区间内部，此种处境下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，留神到已知条件第三条报告我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使结论成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌管这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中表达出来的根本思路，适用于证其它结论。

以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们比较一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造辅佐函数的过程看等号左侧的式子是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅佐函数远比破案要简朴，简朴的题目直接查看;繁杂一些的，可以把中值换成x，再对得到的函数求不定积分。

高数定理证明之求导公式:

2021年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用对比熟谙，而对它怎么来的较为目生。实际上，从授课的角度，这种在2021年前从未考过的根本公式的证明，一般只会在根基阶段讲到。假设这个阶段的考生带慌张功近利的心态只关注结论怎么用，而不关切结论怎么来的，那很可能从未专心斟酌过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。这里给2022考研学子提个醒：要重视根基阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。

当然，该公式的证明并不难。先考虑fx*gx在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为"0分之0'型，但不能用洛必达法那么，由于分子的导数不好算乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!。利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个"无中生有'的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了fx*gx在任意点的导数公式。

高数定理证明之积分中值定理:

该定理条件是定积分的被积函数在积分区间闭区间上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把积分变量x换成中值。如何证明?可能有同学想到用微分中值定理，理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以按照此思路往下分析，不过更易理解的思路是考虑连续相关定理介值定理和零点存在定理，理由更充分些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数，而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。

若我们选择了用连续相关定理去证，那么毕竟选择哪个定理呢?这里有个小的技巧看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从，已经不言自领略。

若顺遂选中了介值定理，那么往下如何推理呢?我们可以比较一下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值，而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度，就能达成我们的要求。当然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有迷惑性的，要透过现象看本质，看领会定积分的值是一个数，进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值定理结论中的A。

接下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟谙程度了。该定理条件有二：1.函数在闭区间连续，2.实数A位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间，结论是该实数能被取到即A为闭区间上某点的函数值。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值的范围，不难想到对比定理或估值定理。

高数定理证明之微积分根本定理:

该片面包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的'条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。留神该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要识别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者斟酌的权利了。单侧导数类似考虑。

"牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最根本的公式之一。它证领略微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，此后微积分成为一门真正的学科。'这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能纯熟运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟谙的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数fx在闭区间连续，该公式的另一个条件是Fx为fx在闭区间上的一个原函数，结论是fx在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，那么不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

留神到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即fx对应的变上限积分函数为fx在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以Fx等于fx的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

考研数学冲刺攻坚的四步策略

1、坚持每天做确定数量的习题，保持题感

好多同学认为到了复习的后期，数学只需要看看以前的错题和不会的题目，扫除盲点即可，这样的想法是大错特错的。我们务必要保证每天做确定数量的习题，保持这样的做题状态一向到考试的前一天。建议同学们每三天做一套数学模拟卷，一天全真模拟，剩下的两天留心看参考答案解析，并且还要坚持找一些题目来做。这样就可以保证每天都做题目。其实数学是隔一段时间不接触就会很快的遗忘的，三两天不做数学题再做的时候就感觉很生疏，磕磕碰碰，思路不顺畅。这样的状态分外不利于在真实考场上的发挥。考研数学虽然题目不会很难，对比根基，但是有一个特点就是计算量分外大，假设做题的时候不顺手的话，一般很难全部完成全体的考题。坚持每天做数学题，这一点分外分外重要，梦想同学们能够重视。

2、以前总结的错题和不会的题目要经常看

前期我们强调过确定要在平日做题的过程中留神把错题和不会的题做好标记，这在复习的冲刺阶段就派上了大用场。由于到后期的时候，时间很慌张，有了错题集，就知道自己哪儿会哪儿不会，知道有限精力理应放在哪儿，后期时间很慌张，不成能再每个题目再过一遍，也没有必要。考研后期有限的精力确定要放在刀刃上，查漏补缺，不能再像刚开头的时候那样面面俱到。对于以前总结的错题和不会的题目，建议最好不要看解答，自己再做一遍。考研数学虽然本质上就是做题再做题，但是在后期的时候没有必要再去搞题海战术，没有必要去找市场上充塞的大量的模拟题，不是什么题目都有质量值得你花名贵的时间去做。后期把主要精力花在曾经的错题和不会的题目上，扫除盲点，这样更有针对性。

3、把根本概念弄懂，把根本理论弄透

数学的学识体系很浩瀚，从学识论的角度来讲，它的内在布局很严正，很富有层次感。从概念、定义到公理，从公理到定理、推论，层层演进，步步深入。假设忽略了数学最根基的学识，好多人就可能知其然、不知其所以然，有时候你绞尽脑汁不得其解，很可能只是由于你对某个概念的理解不够透彻。

考研数学需要掌管的学识点并不多，但相互之间联系繁杂、千丝万缕，点到点的规律关系和深层次的框架布局难于理清。任何一门学科学到确定的高度必然要求你对这门学科的学识布局有一个明显的轮廓，要站在确定高度对全体内容有一个系统的熟悉。但是这个熟悉要建立在对全体的学识点透彻理解的根基上。

所谓把根本理论学透，是从以下几