常微分复习资料

第二章复习参考题求以下方程的通解1.2.3.4.5.解答:1.解：得到即另外也是方程的解。2.解：令,那么即,得到故,即另外也是方程的解。3.解：原方程可改写为:令,那么即故方程的解为4.解：令，那么，那么即两边积分得即为方程的解。5.解令，那么由方程得。两边对求导得

即。解得这里是任意常数。因此，方程的通解表成参数形式：第二章复习思考题及答案求解齐次方程．

解:

令，得变量别离方程，通解为，；还有特解,它不包括在通解内，而是对应于的解．

顺带指出，由于积分曲线上每一点都与通解中的一条积分曲线相切，我们可以将所得的解连续可微地“拼接〞成定义域在上另两类解族：(1)，当时；，当时．(2)，当时；，当时．类似地可以连续可微地“拼接〞成定义域在上的两类解族〔留作练习〕．由此可见，在特解的积分曲线上每一点有方程的不止一条积分曲线与之相切．具有这种性质的特解称为奇解(singularsolution)．2．试用极坐标变换，求解线性分式方程：．〔写成定积分形式的解即可〕答案：，其中．3．试导出伯努利方程的通解公式．答案：.4.试讨论用取求解全微分方程的方法.并用方程加以验证.解答：设，其中为一个待定的x的可微函数(它也可认为是对等式的两边,把x看成参数,对y进行积分而得).为求,对上式关于x求导，并利用得,从而.上式右端实际上与y无关,将其关于x积分一次即得.对方程.设通解为，，,取,得,从而得方程的积分:.5．求线性方程和伯努利方程的积分因子.解答：将线性方程写成,那么有仅与t有关的积分因子．

将伯努利方程写成,那么有积分因子．6．为什么可以说积分因子法是变量别离法的推广？解答：因为将变量别离方程写成,它有积分因子.7．积分因子是否唯一？解答：不是。例如，考虑方程，显然它不是全微分方程。但是，因为所以，都是此方程的积分因子。一般地，设是方程的一个积分因子，于是存在二元函数，有。现对于的任一连续函数，由于其中是的一个原函数，可见也是方程的积分因子，因而方程有无穷多个积分因子。例1求解方程。解这里方程不是恰当方程。将方程改写为，那么左端有积分因子或，…，但考虑到右端只与有关，故取为方程的积分因子，由此得到,因此,通解为即这里是任意常数。此外，易见也是原方程的解。2.假设方程能就〔或〕解出[或]，那么令后，把问题化为求解关于与〔或〕之间的一阶方程：(.3)或

(.10)假设按§2.1—§2.3介绍的方法求得方程(.3)[或(2.4.1.10)]的通解为

[或]那么它与

[或]一起构成原方程的通解的参数形式为

[或

]。例2求方程的解。解令，那么

(.4)解出得两端对求导数并以代替，得到即或。由解得这里是任意常数。因此，原方程的通解为这里为任意常数。由直接推得也是方程的解。3.假设方程不能就，或解出，对于形如或的方程，可按介绍介绍的方法处理：引入参数,将方程表示为参数形式，再注意到关系式，就将问题转化为求解关于〔或〕与的一阶方程，且其导数〔或〕已表示为的函数，最后的工作就是求积分问题。例3求解方程〔这里〕。解令，那么由方程得。于是,积分之，得到这里是任意常数。因此，方程的通解表成参数形式：。例4求解方程〔这里〕。解令，那么由方程得。两边对求导得

即。解得这里是任意常数。因此，方程的通解表成参数形式：。所有上列情形都归结到形如

或

的方程的求解问题。在§2.1—§2.3里，我们主要介绍了五种类型的方程〔变量别离方程，齐次方程，线性方程，伯努利方程及恰当方程〕的初等解法。实际上作为根底的不外是变量别离方程和恰当方程，其他类型的方程均可借助变量变换或积分因子化为这两种类型的方程，这可简略地表示如以下图。判断题型的顺序为了熟练掌握初等积分法，不仅要掌握每种可积类型方程的解法，而且还要正确而又敏捷地判断一个给定方程属于何种可积类型。在判断题型时，经验告诉我们，可以按如下顺序判断，即：阶显次即线性方程伯努利方程显式方程齐次方程一阶方程非线性方程变量可别离方程阶隐式方程全微分方程高阶方程〔积分因子〕判断顺序，由左向右，通常积分因子在最后加以考虑。熟悉各种类型方程的解法，正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而按照所介绍的方法进行求解，这自然是最根本的要求，但仅仅能做到这一点还不够，因为我们所遇到的方程未必都恰好是所介绍的那几种方程类型，因此还要求注意学习解题的技巧，从中总结经验，培养自己的机智和灵活性；还有一点也很重要，就是要善于根据方程的特点，引进适宜的变换,将方程化为能求解的新类型，从而求解。例5求方程的解。解方程可变为。这是一个线性方程。所以

这里是任意常数。例6求方程的解。解这是的伯努利方程。故可令那么代入原方程得这是一个线性方程。解得从而这里是任意常数。此外，易见也是原方程的解。最后，我们要强调指出：能有初等解法的微分方程是很有限的，例如形式很简单的黎卡提〔Riccati〕方程：一般就没有初等解法〔当然，假设我们有方法找到方程的一个特解，那么经变换后，方程就变为伯努利方程，因而可解〕。这一事实为法国数学家刘维尔〔Liouvile〕在1841年所证明，这就迫使人们放弃将主要注意力放在寻求各种微分方程的通解的原有想法，微分方程研究的主要目标和主要方法从此逐渐开始转移。一、填空题1．方程的所有常数解是〔〕.2．假设y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，那么用这两个解可把其通解表示为〔〕.3.假设方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程，同它的通积分是〔〕.4.设M(x0,y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是〔〕.5.当〔〕时，方程称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为〔〕.二、单项选择题1．方程是〔〕.(A)可别离变量方程〔B〕线性方程(C)全微分方程〔D〕贝努利方程2．方程，过点〔0，0〕有〔〕.(A)一个解〔B〕两个解(C)无数个解〔D〕三个解3．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是〔〕.(A)y=±1,x=±1,(B)y=±1(C)x=±1(D)y=1,x=14．假设函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1,那么在x=e时y=().(A)(B)(C)2(D)e参考答案一、填空题1．2．3．4．5.,,或；二、单项选择题1．B2．C3．A4．B第三章第三章选做作业一、填空题假设在(-∞，+∞)上连续，那么方程的任一非零解()与x轴相交.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是〔〕．连续是保证方程初值解唯一的()条件.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．5.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．8.方程的奇解是．二、单项选择题1.方程过点(0，0)的解为，此解的存在区间是().〔A〕〔－∞，＋∞〕〔B〕〔C〕〔－∞，0〕〔D〕［0，＋∞］2.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是().(A)全平面；(B)y＞0的上半平面；(C)y＜0的下半平面；(D)除去x轴的全平面.3.方程是否存在奇解().(A)无奇解；(B)有奇解；(C)不一定；(D)可能有奇解.4.函数对是否满足李普希兹条件().(A)不满足；(B)满足.(C)可能满足；(D)可能不满足5.如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在区间〔〕．〔A〕将因解而定〔B〕必为〔C〕必为〔D〕必为参考答案：一、填空题1.不能2.满足的平面区域3.充分4.，〔或不含x轴的上半平面〕5.平面6.平面7.充分8.二、单项选择题1．B2．D3．A4．B5．A填空题第7小题解答我们可举反例,如:方程

(1)

的右端在包含的任何区域不满足利普希茨条件，当然在也不存在微商，但是(1)有通解

(2)及特解〔对应于〕。对于的任何有限值，曲线(2)都不与相遇。因此，对轴上的点，仍只有唯一的积分线经过此点。由此可见，利普希茨条件并非唯一性的必要条件。第三章典型例题分析例1判断以下方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一？〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解:〔1〕方程在平面上初值解存在且唯一．〔2〕方程在平面上初值解存在且唯一．〔3〕方程在的平面上初值解存在且唯一．〔4〕，方程在的平面上初值解存在且唯一．例2(P83,12-15行结论证明)设在整个平面上连续有界，对y有连续偏导数，试证明：方程的任一解在区间上有定义.(记)证明:任取平面上一点，记过该点的解为，它满足下面的积分方程下面用反证法证右行解存在区间为.假设该解的存在区间不是，那么存在，使得只能在上存在，于是有即在上有界，从而，又由条件在全平面上连续，可知任一解都可延拓到平面的无穷远,因此假设不成立.故解的存在区间是.同理可证左行解存在区间为，这样就证明了该方程任一解的存在区间是〔-∞，＋∞〕.例3假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：假设<，，那么在区间I上必有<成立．证明:仅证方向，〔反之亦然〕．假设存在，使得>〔=不可能出现，否那么与解惟一矛盾〕．令=-，那么=-<0，=->0由连续函数介值定理，存在，使得=-=0即=例4这与解惟一矛盾．故假设<，，那么在区间I上必有<成立．例4例5例5第四章选做作业一.填空题1．假设和是二阶线性齐方程的根本解组，那么它们()有共同零点.2．二阶线性齐微分方程的两个解,成为其根本解组的充要条件是().3．在方程y″+p(x)y′+q(x)y=0中，p(x),q(x)在(-∞,+∞)上连续，那么它的任一非零解在xOy平面上()与x轴横截相交.4．n阶线性齐微分方程的所有解构成一个()维线性空间.5．线性齐次方程,xI的n个解x1(t),x2(t),...xn(t)是根本解组的充要条件为〔〕。二、单项选择题1．在方程y″+p(x)y′+q(x)y=0中，假设p(x),q(x)在(-∞,+∞)上连续，那么它的非零解在xOy平面上()与x轴相切.(A)可以；(B)不可以；(C)也许可以；(D)也许不可以.2．函数,在区间［a,b］上的伏朗斯基行列式恒为零，是它们在[a,b]上线性相关的().(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充分必要条件；(D)充分非必要条件.3．n阶线性非齐微分方程的所有解是否构成一个线性空间?()(A)是；(B)不是；(C)也许是；(D)也许不是.4．方程y″+xy′+x2y＝sinx的所有解的最大存在区间一定是().〔A〕(-∞,+∞);〔B〕(-∞,0);〔C〕(0,+∞);〔D〕参考答案一.填空题1.不能2.线性无关3.可以4.n5．有t0I使w(t0)0二、单项选择题1．B2．B3．B4．A一、〔3〕解答：在方程中，，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．证明:由条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是．显然，该方程有零解．假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有=0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件=0，于是由解的惟一性，有．这与是非零解矛盾．习题选讲1.设是n阶齐线性微分方程的任意个解,它们所构成的伏朗斯基行列式记为.试证明满足一阶线性方程,因而有证明:因为将此行列式的第一行到第n-1行分别乘以加到第n行，并由是n阶齐线性微分方程的任意个解,即有：。解此方程有：〔过程略〕单项选择题微分方程的阶数是(〕A3B4C5D2的通解是()ABCD方程的通解为()ABCD方程的通解是()ABCD用待定系数法求的特解时，应设特解具有形式()ABCD〖答案〗1.D2.C3.C4.C5.B二、典型例题分析例1填空题〔1〕阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个．答案：n〔2〕方程的根本解组是．答案：，〔3〕方程的根本解组是．答案：〔4〕方程的根本解组是．答案：〔5〕假设是二阶线性齐次微分方程的根本解组，那么它们共同零点．答案：没有〔6〕阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间．答案：n〔7〕函数组在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．答案：充分〔8〕假设函数组在区间上线性相关，那么它们的朗斯基行列式在区间上．答案：恒等于零〔9〕函数组的朗斯基行列式是．答案：〔10〕在方程中，如果，在上连续，那么它的任一非零解在平面上与轴相切．答案：不能例2单项选择题〔1〕假设是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，那么在其定义的区间上，它们〔〕．〔A〕可以有共同零点〔B〕可在处有共同零点〔C〕没有共同零点〔D〕可在处有共同零点正确答案：C〔2〕方程的任一非零解在平面上〔〕与轴横截相交．〔A〕可以〔B〕不可以〔C〕只能在处可以〔D〕只能在处可以正确答案：A〔3〕阶线性齐次微分方程根本解组中解的个数恰好是〔〕个．〔A〕-1〔B〕〔C〕+1〔D〕+2正确答案：B〔4〕阶线性齐次方程的所有解构成一个〔〕维线性空间．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕正确答案：C〔5〕假设，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，那么该方程的通解可用这两个解表示为〔〕．〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕正确答案：D〔6〕方程的任一非零解在空间中〔〕．〔A〕不能与t轴相交〔B〕可以与t轴相交〔C〕可以与t轴横解相交〔D〕可以与t轴相切正确答案：A例3求以下方程的通解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕解〔1〕对应齐次方程的的通解为令非齐次方程的特解为满足解得积分，得，原方程通解为〔2〕对应的齐次方程的特征方程为：特征根为：故齐次方程的通解为：因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，有，可解出．故原方程的通解为〔3〕对应的齐次方程的特征方程为，特征根为，故齐次方程的通解为因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，得即，故原方程的通解为〔4〕对应齐次方程的特征方程为，特征根为，，齐次方程的通解为因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，比拟系数确定出，，原方程的通解为〔5〕对应齐次方程的特征方程是特征根为，齐次方程的通解为因为是一重特征根．故非齐次方程有形如的特解，代入原方程，得，故原方程的通解为例4设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C．证明设，是方程的两个解，那么它们在上有定义，其朗斯基行列式为由条件，得故这两个解是线性相关的．由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得，由于，可知．否那么，假设，那么有，而，那么，这与，线性相关矛盾．故例5在方程中，，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．证明由条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是．显然，该方程有零解．假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有=0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件=0，于是由解的惟一性，有．这与是非零解矛盾．例6设是上的连续函数，且．证明：方程的任一解均满足．证明先求齐次方程通解为令非齐次方程特解为满足解出，，原方程的通解为+假设，，那么由洛比达法那么，有+-=0假设，，那么显然有例1

求方程

的解。解

令，代入方程，那么得到特征方程

。它有两个不同的特征根。因此，我们得到原方程的通解为

其中为任意常数。例2

求解

。解

令，代入方程，那么得到特征方程

。它有两个不同的特征根。因此，我们得到两个复值解

，

再利用叠加原理求得两个实值解和，从而得到原方程的通解为

其中为任意常数。例3

求方程的通解。解

先求对应的齐线性方程的通解。这里特征方程有两个根。因此通解为，其中为任意常数。再求原方程的一个特解。这里，因为刚好是特征方程的单根，故有特解形如，将它代入原方程得到，从而，于是，所以原方程的通解为+其中为任意常数。例4

求方程的通解。解

特征方程有两个根。，因此对应的齐线性方程的通解为，其中为任意常数。现求非齐线性方程的一个特解。因为不是特征根，我们求形如的特解，将它代入原方程并化简得到，比拟同类项系数得，，从而，因此原方程的通解为

，其中为任意常数。

例5

求方程的满足初始条件及的解。解

设级数

(.1)为方程的解。首先，利用初始条件，可以得到，

因而

将的表达式代入原方程，合并的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到：

即，，，，，

因而，，，，

也即，对一切正整数成立。

将的值代回(.1)就得到

这就是方程的满足所给初始条件的解。综合练习试解以下各方程：参考答案

其中为任意常数。

其中为任意常数。

其中为任意常数。

其中为任意常数。

其中为任意常数。

其中为任意常数。第五章选做作业一、填空题1.假设A(x)在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组，的任一非零解在空间()与x轴相交.2.方程组的任何一个解的图象是()维空间中的一条积分曲线.3.向量函数组Y1(x),Y2(x),…,Yn(x)线性相关的()条件是它们的朗斯期行列式W(x)=0.4.假设矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵=线性方程组的一个基解矩阵.二、单项选择题1.线性非齐次方程组的所有解().

(A)构成一个n维线性空间(B)构成一个n+1维线性空间(C)不是线性空间(D)构成一个无穷维线性空间2.假设A(x),F(x)≠0在(-∞,+∞)上连续，那么线性非齐次方程组的任一非零解是否可以与x轴相交?().(A)可以与x轴相交(B)不可以与x轴相交(C)也许可以(D)也许不可以3.两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的根本解组?()(A)不可以(B)可以(C)也许不可以(D)也许可以4.假设是线性齐次方程组的一个基解矩阵，T为非奇异n×n常数矩阵，那么T是否还是此方程的基解矩阵.()(A)是(B)不是(C)也许是(D)也许不是参考答案一.填空题1.不能2.n+13.必要4.二.单项选择题1．C2．A3．A4．A典型例题分析例1求以下方程组的通解〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕解〔1〕特征方程为，特征根为，和对应的特征向量分别为故原方程组的通解为〔2