工程数学2010-ch01复数和复变函数

工程第一章复数和复变1PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 第一章复数和复变1.10小 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 3PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复复数(complexnumberz通常表示为zx其中i - 是虚数单i -1,i21,i3i,i4x和y均为实4PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复数的运算加法(x1iy1x2iy2x1x2iy1y2满足加法的交换律z1z2z2和结合律z1z2z3)z1z2减法(x1iy1x2iy2x1x2iy1y2乘法(x1iy1)(x2iy2x1x2y1y2i(x1y2满足乘法的交换律z1z2z2结合律z1(z2z3z1z2(z1z2z3z1z3z2除法如果z1x1iy1(x2iy2)(x2iy2)(x1(x1 (x1iy1)(x1 5(x1x2y1y2) (x1y2y1x2)(x2y2) (x2y2 5 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复数的共轭zxiy,则xiy称为z的共轭复数,记为Re(z)zz Im(z)z aba aba aabbb bbx2x2zzx2y2

z2,z

称作z的绝对值.显a

ab

ab

(babababa6PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复数复数零000iz0复数的实部和虚部Re(43i4,Im(43i443i0(43i)(43i43i)(43i7PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

8PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复平

yy z(x,r yy z(x,r 来表示，第一个坐标称为实轴,第 一对共轭复zz在

z

x实轴对称的

9zx9PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复数z也可以用一个由原点指向(x,y)的矢量表示,复数的三角xryy (x,y)r

yr zxiyr(cosisin复数的指数ei(cosisinz

xrPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 小结：复数的三种表示zx

zr(cosizyy zy z(x,r rzx2rx2x复数如果z0，称为zArgz (k01z0的辐角没有确定值或明确意义 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 辐角的主z(0)的辐角中把满ππ称为辐角Argz的主值(主辐角)argz,Argzargz辐角的主值为从正实轴到复矢量之间 的夹角弧度数逆时针为正，顺时针为负.如果 ,取正 (其中

y)arctanx

x

argz

π2

ro-ro-arctanyπ π

x0,yxx0,yPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复数复数的代数运算，平行四边ox

zz1(x1iy1)(x2iy2(x1x2)i(y1y2PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 oz1 zoz1

)

iy2(x1x2)i(y1y2xz2PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复数的三角运算，乘、除、n设z1r1(cos1isin2 z2r2(cos2isin2z1r1[cos(isin()](分母乘其共轭

znrn(cosnisinn（由zz公式推广得到 当r(cosisin)n(cosnisin. znrn i (k0,1,...,n PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复数 r1z1o rei1r 1rrei(121z

x r2er1ei(1－2)

(z2 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 yyoxz ei(2kk0,nz1/n1/nei(2k)/nnz的几何意义（右上图：nnzPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 两个z1z2z1z2z1z1z2z1zz1

z1

z1

z2z2PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例：用代数方法证明式（1）z1 z1证 z1

2(zz

)

z2z1z1z2z2z1z2z2z2zzz 因为z1z2z1z22Re(z1z22z1 2

z2

z22Re(zz 12z2 121z21

z22z z22 ( 1

z)22两边同时开

z1

z1

z2 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 扩充复平等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 关于(1)加法 (2)减法 (3)乘法

(((除法 ,( ,( PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 扩充复平面的球面表示:黎曼222z1与之相对应,z2

2 1 1(1 (1 1z2z zz2因此

, ,i

令z对应于(0,0,1称为黎曼(Riemann)球面 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 zi的几何意义:1

zxiy,x:y:1 :1::1 1A(xy0A(,,N(0,0,1)在一条直线上因此黎曼球面和扩充复平面的对应实际上是以N(00,1)为中心影为球极平面投影(stereographicprojection).显然,0下半球面)z1复平面上单位圆内部

zPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复变函数(complexz值,都有一个或多个复数值w与之对应,则称w为z的函wf(z)z称为的宗量(自变量),D为z的定义域由于zxiy所wf(z)u(x,y)iv(x,其中u和v都是x和y的实函一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例令wf(z)u(x,yiv(x,wz2(xiy)2x2y2u(x,y)x2y2v(x,y)PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 zz2这里的点集是指复平面上某些点的集邻对任意小的正实数zaz的集合(点集)称作点a的点集的内该点的邻域内所有的点都属于该点则称此点为点集的内点点集的外z2该点的邻域内所有的点都z2则称此点为点集的外点点集的边界点和边PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 开区域（开区域以它为圆心作圆，无论半径多小 闭 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 函数和映射(mapwf(zuvxy之间的对应关系,z平面上的一个点w平面上的一个点集的映射(或变换).z称为w的原象.wz的映象.1.wz构成的映射y z12

v

w21uz21

w12z1w1 z2w2 ABCPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例2wz2构成的映射zreiwz2r2ei2wz2z的辐角增大一倍vovo4o2 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例2.wz2构成的映射wz2(xiy)2(x2y2)i2xyu ux2y2 v2xy（x,（uoo oo 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长反函如果wf(z)将z平面上的一个集合映射到w平面上的一个集合,则函数z(w)将w平面上的一个集合映射到z平面上的一个集合,也称为映射wf(z)的逆映射. z(w)称为函数wf(z)的反函数.PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 幂函数xa,(a为实数);多项式 axaxn; bbxb ,这里b(i0,1,mc(i0,1,p)为常 c0c1xcpxp及其反函数三角函数sinxcosx等等及其反函数,如arcsinxarccosx等等指数函数ex2x等等及其反函数lnx

x等等2多项式来近函数f(x),以及用第(2)类中的sinnxcosnx(n0,1,2,)等来近函数f PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 在复数域中,三类函数由欧拉(Eulereiycosyisin联系起来,全部可以表为指数函数及其反eiz eiz sinz 若ziyy为实数),则cosiychysiniy定义幂函数wzaeaLnz(a为任意复数当y,欧拉公式变为ei10最奇妙的数学公式).DeMoivre公式是欧拉公式的自然推论:cosyisinyncosnyisin PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 单值当函数wf(z)z平面上的一个点映射到w平面上wf(z)z平面上的一个点映射到w平面上的两单值函数举wzb(b反函zwb.weiz(是实数) 反函数zei PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 wrz(r是正实数): 反函数z1rwazb(a和b为复常数): 中心相似变换和平移三个变换(操作)的(有序)叠加旋转角度 arg相似系数 平移矢量 AOBAOBPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 wR2/z(R是正实数) y直角三角形和OMw相似,故wMw 另

wR2/xarg1argz

wR2/zw是关于圆周的一对对称 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

极限与连PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 §1.5极限与连极限wf(z)uivz00zz0中的数值已单值的确定,当zz0时(zz0即xx0yy0时(xx0yy0如果下述两个极限xx0limu(x,y)xx0ylimv(x,y)y存在,则当zz0时f(z)的极限存在记作limf(z)aibA.注意:f(z0PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 证:(1)必要limf(zA根据极限的定义,z意给定的0存在 (xiy)(x0iy0)时,恒有(uiv)(aib).(xx)(yy(xx)(yy2200(ua)2(vx

y

时

u

v

所 limu(x,y)y

limv(x,y)yy0PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 充分性.若limu(x,y)xy

limv(xyb那么y(xx)2((xx)2(yy00

u

2

v

2因 f(z)

(ua)i(v

u

v故当0

z

时

f(z)

limf(z)zPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 f(z)zz0时的极限(如果存在)与zz0所采取的方式(选取的路径)没有f(z)u(x,yiv(xy)的极限问题,事实上转化为求两个二元实变函数u(xy)和v(x,y)的极限问题.PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 极限的运算设limf(z) limg(z) 那 lim[f(z)g(z)]Azlim[f(z)g(z)]z

limf(z)

(Bz

g(z) PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例1证明fzRe(z当z0时的极z不存在证(一

zx

则f(z) x2x2x2x2

v(x,y)x2当z沿直yx2x2limu(x,y)x2

PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 x2(1x2(1k2

1kk值1klimuxy不存在xy

limv(x,y)xy根据定理可知 limf(z)不存在证(二

zr(cosisin则f(z)rcoscosrPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 当z沿不同的argz趋于零时f(z)趋于不同的值例如z沿正实轴argz0趋于零时 f(z)沿argzπ趋于零时 f(z)2limf(z不存在PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例2f(z)z(z0z0时的极限不存在z 令zx f(z)uuxy

x2y2x2

v(x,y)

2 x2当z沿直ykx趋于零时limv(x,y)

2

x0x2

1k k值的变化而变化limvxy不存在xy根据定理可知

limf(z)不存在 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 连续的定f(z)在z0的邻域内(包括点z0本身)已limf(z)f(z0z则称f(z)z0连续f(z)D内处处连续f(z)D内连续f(z)Cz0limf(z)f(z0 zz PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 连续的等价对于任意给定的0存在0,zz0f(z)f(z0)则称函数f(z)z0处连续f(z)在z0的极限存在而且该极限等于函数在的值f(z0PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 连续的充要f(z)u(x,yiv(xy)在z0x0iy0连续的充要条件是u(x,y)v(x,y)(x0y0处连续.连续的性z0连续的两个函f(z)g(z)的和、差、积、(分母z0不为零)z0处仍连续.如果函数hg(z)z0连续,函数wf(h)在h0g(z0连续那末复合函数wf[g(z)]z0处PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 初等函数举有理整函数(多项式wP(z)aazaz2azn 对复平面内的所有点z都是连续的有理wP(z),Q(z)

其中Pz)和Qz)都是多项式在复平面内使分母不为零的点也是连续的PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 f(z)z0连续f(z)z0也连续 设f(z)u(x,y)iv(x,则f(z)uxyivxfzz0连续知uxy和vxy在x0y0处都连续uxy和vxy也在x0y0处连续fzz0连续PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 附：连续和一致连连续：对于任意给定的0存在(z00.zz0时f(zf(z0)则称函数f(z)z0处连续.z1z2时,恒有f(z1f(z2)则称函数f(z)在区域内一致连续.PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 附：连续和一致连(0,）x在(0,）内一致连续。(见陈纪修等数学分析|1/x1

定理1（Contor定理）函数f(x)x1 x1PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 导PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 导数

导设wf(z)D中的单值函数,如果在D内的某点z,极限limwlimf(zz)f(z) 对于所有的z0都存在且相同则称函数f(z)z点可导.f(z)在z点的导数,ff(z)D内处处可导,我们就称f(z) PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 可微根据定 limwlimffz0 z0我们 wf(z)或 wf(z)z式中lim(z0

(z)z是

wf(z)可微wf(z)的改变w的线性部f(z0z称为函wf(z)z的微分dwf(z)其中约定dz因此,f(zdw,导数也称作微商 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 说极限limw的存z以任意方式趋于0时,比z0wf(zz)f 都趋于同样的有限值.反之如果z以不同方式趋0时,w趋于不同值的话limw不存在w在点的导数也不存在

z0可导与连续函数f(z)在z处可导则在z处一定连续,如果函数wf(z)在z点可导,则一定在该点可微.反之 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 导数例 求f(z)z2的导数 f(z)limf(zz)f(z)

(zz)2lim(2zz)2z.(z2)PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例 讨论f(z)Imz的可导性 ff(zz)f(z)Im(zz)Im ImzImzIm

Imz Im(xx

xiyPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 y

z

沿路径a:limflim z0 x0xx

lim0z

沿路径b:

limy0

x

x0 故f(zImz在复平面上处处不可导PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例 问f(z)x2yi是否可导 limflimf(zz)f(z)z0 lim(xx)2(yy)ix2 limx

xPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 y

limx2yilimlimx2yilim1z

x

x0x

x

z 沿路径 limx2yilimlimx2yilim2

y0

PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 导数存在的充要条件,柯西-黎曼f(zu(xyiv(xy定义在区域Df(z)D内一zxiy可导的充要条件是:u(xy)v(xy)(xy)可微并且在该点满足uv uv 柯西－黎曼方程也可以写f fi PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 如果f(z存在,f(z可微,而fuivu和v在z(x,y)可微又如果f(z极limf(zzf(z)对任何zyzyzzox都存在且相等.选择两条特殊途径先令y0,再令xf(zz)f(z)limlimu(xx,y)iv(xx,y)u(x,y)iv(x, limu(xx,y)u(x,y)ilimv(xx,y)v(x, u(x,y)iv(x,

df(z)f(x PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 先令x0,再令yf(zz)f(z)

zlimy0y不

z limu(x,yy)iv(x,yy)u(x,y)iv(x,

limv(x,yy)v(x,y)ilimu(x,yy)u(x, v(x,y)iu(x,

df(z)f(x u(x,y)v(x, v(x, u(x PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 证:(2)充分性uuxuyx vvxvyx 其中limk f(zz)f(z)u(xx,yy)u(x,i[v(xx,yy)v(x,uuivxuivy(i)x

i x

PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 应用柯西－黎曼方

uv uvi2v f(zz)f(z)uiv(xiy)(i)x i

即f(zz)f(z)uiv(i)x i)y

因为

y1,lim

i)x

i)y

z0

z所以f(z)limf(zzf(z)uiv1uv

i 即函数f(z)u(x,yiv(xy在点zxyi可导.[证必PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 求导到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则(c) 其中c为复常数(zn)nzn1 其中n为正整数PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 f(z)g(z)f(z)g(z).f(z)g(z)f(z)g(z)f(z)g(z).f(z) f(z)g(z)f(z)g(z)

g(z) g2

(g(z)fg(z)]f(w)g(z). 其中wgf(z)

(w)

其中wf(z)与z(w)两个互为反函数的单值函数 且(w) 得 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 附：任意正交坐标下的C-R直角坐标：f(z)u(x,yiv(x,gnzf'(z)df(z)f(xiy)f(xgnz f(z,z) uv u 任意正交坐标f'(z)df(z)fui C-Ruv

v PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 附：平面极坐标下的C-R平面极坐标:（,zi 2 ine C-R

u

1v1 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 解PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 解解析和解析函数 yticf(zz0z0的邻域内处处可导f(zz0解析如果函数f(z)在区域D内每一点解析,则称f(z)在 或称f(z)是区域D内的一个解析奇f(z)z0解析,那末z0为f(z的解析点.f(zz0不解析,那末z0为f(z的奇点(将在第三章讨论 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 解析的充要f(z)u(x,yiv(x,y)在一点解析的充要条件是:在点z的邻域内(iu和v连续uuvv存在; (ii)柯西－黎曼条件成立f(z)u(x,yiv(xy在其定义域D内解析的充要条件是:在内(iu和v连续uuvv存在 (ii)柯西－黎曼条件成立PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 根据定义可知.,处解析PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 柯西－黎曼条件的另一种表示形f(z)u(x,yiv(x,y)中将zxiy与zxiy形式地看作独立变数,写成f(zz那么柯西-黎曼条件可以表示

f(z,z)0.证明:x1(zzy1(zzx1yi 2 f(z,z)=fx+fyuiv1uiv x y

x

y1uvivu2 y 2 因f(z,z因 =0和柯西－黎曼条件等价. PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 f(z)D内处处存在则可根据解析函数的定f(z)D内是解析的.f(zuivu,vD内连续,对x和y的一阶偏导数都存在(uv可微)并满足CR方程,那么根据解析函数的充要条件可以判定f(z)在D内解析.解析函数的必要条件是C-R条件,f(x,y)g(z,z)g(z)g(x即f(x,y)可以完全化为单一zxiy的函数也称为全纯函数(holomorphicorregularfunction).PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例1.研究函数f(z)z2g(z)x2yih(z)析性

z2的f(z)z2f(z)2z,因此f(z)在复平面内是解析的g(z)x2yi.1.6节例3得g(z)处处不可导,因此g(z)处处不解析h(z)z2的解析性z022h(z0zz022 (z0z)(z0z)z0zz z 0 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

z)h(z0)

z

0,

limz0zz0

z如果z00z0zyy0k(xx0z0zx

1i x1i

11k的任意性lim

zh(z0不存在h(z)z2z0处可导,不可导.根据定义,它在复平面内处处不解析PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例 研究函数w1的解析性z 因为w1在复平面内除z0处处可导z且dw1 z2wz0外处处解析z0为它的奇点PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例 研究函数f(z)zRe(z)的可导性与解析性 (1)zlimf(0z)f(0)limzRe(z) fzzRe(zz0处可导(2)zf(zz)f(z)(zz)Re(zz)zRe(z) PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 z[Re(zz)Re(z)]Re(zz)令zxiyf(zz)f(z)

x

xxlimf(zzf(z) limf(zz)f(z)z PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 limf(zzf(z)不存在 即当z0时 f(z)不可导fzz0处可导而在其他点都不可导,根据定义它在复平面内处处不解析.问题w1的解析性z答案处处不可导,处处不解PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、积、商(除去分母为零的点)D内解hg(z)zD内解析,wf(h)hG内解析.如Dzg(z)h都G,wf[g(z)]D内解析.以上定理的证明,可利用求导法则PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 根据定理可知所有多项式在复平面内是处处解析的任何一个有理分式函数Pz)在不含分Q(z)PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 ez在复平面解析,ez(3)zeLnze(aib)lnzi(argz2k)ealnzb(argz2k)eiblnza(argzb0,an整数,wzn单值,复平面解析,znnzn1b0,ap既约分数,且0pq, z有q个不同的值qb0,a无理数z无穷多b0,a任意实数wz无穷多(多值函数的解析性将在1.9节中讨论PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建

解析函数与调和函数PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 解析函数与调和函数调和函数的定义（Harmonic(x,y内具有二连续偏导数,22

(xyD内的调和函数PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 解析函数与调和函定理:D内解析的函数,它的实部和D内的调和函数.wf(z)uivD内的一个解析函数那末uv uv 在第二章中将证明若f(z)为内解析函数,f(z)也是 yx

u

PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 共轭调和函设fuiv为区域D内的解析函数，称u为调和换言之D

uv uv 两个调和函数中v称为u的共轭调和函数区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 说满足柯西—黎曼方程uxvyvxuy,的v称为uPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 y(x,y(x,(x0,y0 (x,y0xdvvdxvdyvdxv uydx(x,y v(x,y)(x,y)(uydxuxdy)v(x0,y0 (x,y (x,yy u(x,y)dx u(x,y)dyv(x,yy (x0,y0 (x,y0PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 偏积例1:u(x,y)y33x2y为调和函数并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数.

x

6

3y

3x2 6y2

0

u(x,

PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 u(x,y)y33x22ux(x,y)6xy,uy(x,y)3y2

(x,y (x,yyv(x,y) u(x,y)dxy

ux(x,y)dyv(x0,y0(x0,y0 (x,y0v(x,y)

(x,y0(x,y

3x2dx

(x,y(x,y

dy 3xy2x3(x,y0

3xy2(x,y 00 (x,y (x,y 0003xy2x33xy2x33xy23xy2 x33xy2 fuiviz3

(C为任意实常数 PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例 已知v(x,y)ex(ycosyxsiny)xy为和函数,求一解析f(z)uivf(0 vex(ycosyxsinysiny)vex(cosyysinyxcosy)uvex(cosyysinyxcosy u[ex(cosyysinyxcosyPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 uex(xcosyysiny)xg(vu ex(ycosyxsinysiny)ex(xsinyycosysiny)g(故gy)yuexxcosyysinyxyPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 f(z)uxexeiyiyexeiyx(1i)iy(1i)zez(1i)z由f(0) 得c所求解析函数为f(z)zez(1i)z.PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 不定积分yzzoxu(xyzzoxdfuivff 利用C-R条件：f(z)uxiuyU(z) f(z)vyivxV(z)可得：f(z)U(z)dzCV(z)dzC

PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 将上两式积分,ff(z)U(z)dz适用于已知实部uf(f(z)f(f(z)V(z)dzPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例3：用不定积分法求解例1中的解析函数u(x,y)y33x2 U(z)u 6xyi f(z)i3z2dzCiz3

3x2i3z2PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例4k值ux2ky2为调和函数再求vf(zuiv为解析函数f(i)1f解因为u2x, 2u u

2u

2k, 根据调和函数的定kf(z)U(z)uxiuy2xPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 2x2kyi2x2yi2z,由f(i)

f(z)2zdzz2c所求f(z)x2y22xyiz2PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例 用不定积分法求解例2中的解析函数f(z)vxyexycosyxsinyx f(z)V(z)vyex(cosyysinyxcosy)i[ex(ycosyxsinysiny)ex(cosyisiny)i(xiy)exsin(xiy)excosy1PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 ex(cosyisiny)(xiy)ex[cosyisin1exiy

(xiy)exiy1ezzez1f(z)V(z)dz(ezzez1zez(1i)z (c为任意实常数PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 例 已知uv(xy)(x24xyy2)2(x试确定解析fzu 两边同时求导22uxvx( 4xyy)(xy)(2x4y)2222uyvy( 4xyy)(xy)(4x2y)22且uv uv 所以上面两式分别相加减可PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 vy3x

3

vx

6f(z)vyivx3x23y2263z2f(z)(3z22)dzz32zc(1(c为任意实常数PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 静电场的复 方程2u0 2u(x,y)2

u(x,y)

u(x,y)因此，u(x,y)从u出发可以造一个解析函数f(z)uivuv uv uvuv 或uvx y因此uC1和vC2线互相垂直vC2表示电场(力)线方程PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复势f=u+iv的物AnAnu v B

En

dx dy

l EnEn

)

dy dx

n

i =B

dyudx

B

dy

vdx

A A BAdvv(xB,yB)v(xA,yAB

PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建 复势

u

u 电场的复数表示Eui ui uiv fdff 电势的复数表示uR