计量经济学计量学

3在第1章中我们讲述了最小二乘法，它是用曲线来拟合数据的众多方法中的一种。我们主要考虑的是参数估计，而不是模型的统计检验。在这一章中我们讨论具有一个自变量和一个因变量的最小二乘回归模型的统计检验。首先我们讲述模型的基本假设，然后我们分析最小二乘估计的统计性质。我们会发现，在一定的假设下，最小二乘估计是无偏的、一致的和有效的。参数估计的分布可以用来构造置信区间和对模型做假设检验。最后我们介绍R2，它是关于回归模型拟合程度的度量。为了探究回归模型的概率性质，我们认为对于给定的X(自变量)的观测值，可以观测到Y(因变量)的多个可能的值。例如，考虑年收入为20000的某个人的消费，由于花在食物上的钱每年都可能不同，我们假设对每个X(收入)的观测值、Y(食物花费)的观测值是随化的。为了规范地描述这种情况，我们在模型中加上随机“误差”部分，并把模型写成如下的 Y=+X

(3-其中Y是一个随量，X是确定的或是非随机的，而是随机误差项，它的取值取决于一个基本的概率分布(因为模型包含随机干扰项，我们改用希腊字母表示直线的截距和斜率，即回归参数)。误差项是由于各种因素的相互作用而产生的 。首先，由于模型是现实问题的一种简化，因而会产生误差。例如，我们假设一种产品的价格是其需求的唯一决定因素，而事实上好多与需求有关的因素都被忽略掉了，比如个人偏好、人口、收入及天气，这些被忽略的因素都包含在误差项中。如果那些省略掉的因素作用很小，误差项是随机的假设就是合理的。误差的第二个来源与数据的收集和测量有关。经济和商业数据经常是很难测量的，例如，有的公司可能不愿意提供有关成本的直接信息，因此无法获得有关成本的准确数据。由于误差的这些来源，可以清楚地说明我们为什么将等式(3-1)中的关系处理为随机的。对于X的每一个取值，都存在一个关于的概率分布，因此也存在一个关于Y的概率分布，正如图3-1所示的那样。第第3 一元线性回归模图3-1通过列出模型的重要假设，我们现在可以完整地定义一元线性回图3-1，X与Y之间的关系是线性的，误差项的期望为0：E()=0对于所有观测值，误差项具有相同的方差，即E()=2。随量i之间统计上是独的，因此对所有的

i误差项服从正态分布上述假设1~5构成了古典线性回归等式(3-1)经常被称为模型的确认。注意我们假设的是Y依赖于X的变化而不是相反。另外，我们把模型的自变量限制为一个。每个X的值都是确定的，这个假设等价于假设每一个自变量都受研究者的控制，他可以根据试验目标的不同而改变自变量的值。在大多数商业和经济问题的研究中，这样一个假设是不切实际的，是为了达到说明问题的目的而设的。i假设误差的期望值为0的部分原因是为了方便。为了说明这一点，假设被省略变量的平均作用等于'，即E()='，则一元模型为：i其因此，如果误差项的均值不0，原模型等价于新模型，而新模型的截距与原模型不同，新模型()，我们称之为同方差；但如果方差不同，我们称之误差具有异方差。在研究某个行业公司截面数据的时候可能会出现异方差。我们有理由认为大公司的误差项具有较大的方差，而小公司的数据具有较小的方差。图2-3表示异方差的两种情况。在图3-2a中，误差项方差随值的增加而减少；而在图3-2b中，误差的方差随X值的增加而增加。t关于不同观测值的误差是独立的因而也是不相关的假设，无论在时间序列还是截面数据的研究中都是很重要的。当来自于不同观测值的误差项相关时，我们称这个误差序列是序列相关的。图3-3说明了在时间序列研究中正序列相关和负序列相关(X代表在时间t时X的取值)。负序列相关意味着这个时期的误差如果是负的，下一时期的误差一般是正的，反之亦然(如图3-3a)。对于正的序列相关(如图3-3b)，这个时期的误差为正的话，下一时期的误差一般也为正。t作为假设2和3的推论，误差项X与独立，因此也是不相关的，这是因X是非随机的假设，在讨论X为随量的模型时，我们需要明确说明这个假设。另外，假设3能使我们得到任何样第1部 回归分析基 E()=E( i这是因为E(0的假设意味着对应于任何特定的X值的Y重复抽样，其误差的期望均应等于0。固定X的值，然后从一个已知概率分布的总体中对误差项抽取样本，我们假设的是每一个这样的误差项样本的期望值均为0。i图3-2aa负序列相b)正序列相图3-3在假设4中，我们说每个误差都具有相同的方差。方差当然是未知的参数，并且必须作为回归模型的一部分来进行估计。因此这里所描述的回归模型有三个未知参数1章中的曲线拟合模型只有两个未知参数。回归模型的假设是用随机干扰的形式给出的，我们也不难用Y3'.随量Y的期望值为+4'.随量Y具有同方i5'.随量Y是独立i为了对线性模型进行统计检验，我们需要确定误差项的概率分布。在古典正态线性回归模型中，我们再加上假设6，即误差项服从正态分布。这个假设对模型的统计检验是很重要的。如果我们认为每一个误差很小而且相互独立，正态分布的假设就是合理的。如果误差项 服从正态分布，则Y也服从正态分布(因为X是常数，而服从正态分布) 为了研究参数最小二乘估计的特点，回想最小二乘估计是由一组因变量和自变量的样本得的，由于样本会变化，估计值会变化，因此它是一个随量。由于模型是随机的，我们ˆ和ˆ表示回归模型截距和斜率的公式(在和上加一个“帽子”表示估计值)，但重要的是须清楚，采用这个符号有两个目的：它既代表由某个特定样本求出的估计值，也代表服从一个概率分布的估计量(一个对任何样本均适用的公式)。我们希望普通最小二乘估计(OLS)是无偏的和一致的。实际上，普通最小二乘估计(不要求误差值服从正态分布)的优点是在所有线性(如式(3-1))无偏估计当中，最小二乘估计量而得的估计量具有最小的方差，这是-马尔可夫定理的基本结论。-马尔可夫定理如果假设1~5成立，估计ˆ和ˆ是关于和的最佳(最有效的)线性无为了理解-马尔可夫定理的作用，我们首先必须注意，由于ˆ(及ˆ)可记为Y的观测值的平均，所以ˆ(及ˆ)是线性估计量。有很多可以用来估计截距和斜率的线性估计量，其中有一部分还是无偏的，但是ˆ有一个额外的性质，即在所有线性无偏的估计量中，ˆ布具有最小方差。寻找最佳线性无偏估计的任务将在本书中不断出现。我们会发现，如果高斯-马尔可夫定理所要求的某个假设不成立的话，最小二乘估计量将不再是最佳线性无偏估计。到-马尔可夫定理不能用于非线性估计量，这一点很重要。非线性估计量可以是无偏的，可以具有比最小二乘估计量更小的方差和平均平方误差。这说明有时我们可以选择“最佳线性无偏”以外的估计法，例如具有最小平均平方误差的有偏非线性估计量就有很多有益的应用。我们不想在这里对-马尔可夫定理进行证明(证明请见附录4-3)，但是我们要寻找最小 将等式(3-1)Y=+X+对N个观测值相加再除以N，我 其中-表示误差项的样本均值。从等式(3-1)中减去等式(3-2)得

(3-或尽管E()=i

-的样本却-

(3-(3-0。只有推导与估计的偏差有关的结果时我们才用到等式(3-3)因此，为简单起 假

=0，并将离差形式的模型(见第1章)写为(3-(3-(3-真正的回归直线为E(yi)xi。直线的斜率的估计为(3-由于是 量，ˆ也是随机的，所以确定ˆ分布的性质是很自然的。确定ˆ分布性质yiy具体步骤相对来讲并不难，但是因为可能有些烦琐，我们把它放在附录3-1中。证明主要依赖于一些附录1-1和附录2-1中所表述的与求和算子和期望算子有关的结果，同时也与古典线性回归模型的假设有关。第一个结论是：E( (3-样的X下，重复这个试验，我们会获得一组新的Y的观测值(因为)，因而得到斜率的一练习3.10就是一个例子所以ˆ一个无偏估计。 (3-7)(3-(3-所以ˆ的方差完全依赖于误差项的方差X的偏差平方和，以及观测值的个数。另外，截距估计(3-(3-最后ˆ和ˆ之间的协方差(3-(3-有了关于最小二乘估计量的均值、方差和它们的协方差知识，我们就可以讨论线性模型的统计检验了。为此，我们需要假设6—误差项服从正态分布。首先，由于ˆ是y的平均，而y服从正态分布，所以估计量ˆ也服从正态分布(独立的正态分布的线性组合仍然服从正态分(3-(3-(3-布)。即使y从正态分布，由统计学中的中心极限定ˆ的分布也会(在一定条件下)近似于正态分布。综上所述，(3-(3-(3-注意ˆ的方差与方差成正比，所以在其他条件不变的情况下，当误差项方差很小时，我们就有可能获得比较精确的斜率估计，但是，ˆ的方差还与x2成反比，所以x的方差越大，对 的估计就可能越好。实际上，当X的样本数据都在一个很小的区间内时，要精确地确定斜率很的当X的均值恒等于0ˆ的方差达到其最小值2/N。读者还应注意ˆ和ˆ协方差的符—X的符号相反。例如，如果X的均值为正，对ˆ的高估很可能对应于对ˆ的低Xi我们的分析还没有结束，因为我们还需要找到总体方差2的估计。用到以下的关于方差真值2的样本估计：i(3-(3-ˆ=Y-ˆis2是误差方差的无偏且一致的估计量(s，有时记为SER，叫做回归标准差)N-2才能获得方差真值的无偏估计。其原因是，当有N个数据点时，斜率和截距的估计会给数据加上两个约束条件，使得在估计残差方差时还剩N-2N-2即自由度的个数。有了2的估计，我们回到式(3-11)~(3-13)，寻找参数估ˆ和ˆ的方差的样本估计以及协粗略地讲，中心极限定理说明，当样本容量无限增大时，独立的随量的样本均值趋于正态分布。它ˆˆ是y的线性组合。ii差的估计。它们的估计如下(3-(3-(3-Sˆ和Sˆ分别是系ˆ和ˆ的标准差，它们是估计值相对其均值的离散程度的度量(方差的样本估计也如此)。它们与回归标准差s相，s代表回归直线误差项的离散程度。类类似地，可用式(3-16)计算ˆ的标准差为0.3688。假设误差服从正态分布，则ˆ服均值为0.12、标准差为0.026的正态分布，ˆ服从均值为1.375、标准差为0.369的正态分i由于x2=162，容易计算ˆ的标准差确定s2的计算如表3-1所示(原始数据请见表1-2)。在此例中，回归标准差s等于0.33，表平均成绩均值的11%(s与因变量均值的比值越低，回归直线对数据拟合得就越好)再次考虑第1章中学生平均成绩的例子。平均成绩Y与家庭收入X之间的关系估计表3-1s学生平均成绩例 学生平均成ˆ和ˆ的分布，就可以构造回归参数的置信区间，并对它们进行假设检验。置信区间是一个很可能包含回归参数真值的区间，每个置信区间都对应着一个统计显著性水平。置信区1减去显著性水平。置信区间对回归参数估计的统计假设检验非常有用。我们由一个原假设开始，通常它表示的是某个因素不存在。因为我们通常希望“接受”模型，所以构造原假设的方法是使我们有可能它。为检验模型的效用，设原假设为=0。我们希望通过得到显著地不等于0的ˆ值，从而有充分的理由怀疑=0的假设，因而原假设。例如，假设ˆ=0.9，如果我们选择显著性水平为10%，那么的90%的置信区0.6＜这意味着处于区间0.6~1.2之间的概率为0.90。另外，它意味着我们可以90%的置信 的原假在假设检验中，有必要确定一些有关和接受的规则。常用的规则是5%的显著性水平，这个判别标准是，当原假设为真时原假设的概率应小于5%。显著性水平的选择依赖于两类错误的相对重要性。古典计量经济学中的假设检验几乎只涉及到不正确地真实的原假设(第一类错误)。由于所确定的可检验假设的性质，其备择假设的定义经常很不明确，使得人们很难判断当原假设实际上为假时接受原假设的概率(第二类错误)。因此，我们经常说原假设以5%的显著性水平被，而对是否接受备择假设不加说明。在应用计量经济学问题中，应该仔细检查用于检验的统计量和系数的标准差。当原假设被时，通常模型就会被接受，除非出现与结论相反的的信息。用于判断是否接受模型的显著性水平随着研究者和所研究模型类型的不同会有很大差异。例如，用容量很大的样本估计的模型可能使我们多个解释变量的系数为0的原假设。所以，我们可以选择采用比较小的显著性水平，从而使原假设更加。回归系有关回归系数的统计假设检验经常用到t分布，这是由于在统计检验中我们需要用到误差项方差的样本估计而不是它的真值。为了用t分布构造参数估计的95%的置信区间，我们首将回归参数估计如ˆ，标准化，从中减去假设的真

，再除以它的标准差的估计。当我虑原假设为=0或等价地，在一元线性模型中变量X和Y之间没有关系时，上述过程最简单。在这种情况下，t统计量为c如果这个t统计量的数值大于临界值t，我们 原假设。当大样本且显著性水平为5%ctc=1.96，经常使用的经验数值是t值为2或更大就可以原假设tc更一般地，我们可=的原假设。为了做到这一点，我们计t统计量为

(3-N-N-确

也服从自由度N-2的t分布。对于显著性水平为5%的检验，临界值由下(3-(3-(3-(3-将等式(3-20)做一些小的调整得到 (3-21)由等式(3-21)我们得到的置信度为95%的置信区(3-(3-用类似的步骤，我们可以得到的95%的置信区间：(3-(3-只要t分布临界值选择得正确，就能对任一显著性水平确定置信区间。未知参数的置信区(3-22)说明参数估计值两侧t倍标准差范围所构成的区间包含斜率真值的概率为0.95。cc有时，计量经济分析用pp值描述了一个计量经济结果的确切的显著性水平，所以p值为0.07说明系数在0.07的水平上统计显著(但不是在5%水平上)。在这种t分布的7%位于斜率参数估计两侧t倍标准差所构成的区间之外。cc我们发我们发现0在的95%的置信区间之外，因此我们可以5%的显著性水 =0的原设。同样，我们可以发现计算出t的值(4.6)大于临界值2.45，因此 原假设另0.06<或为了对学生平均成绩例题中斜率的参数估计进行检验，我们可以用例3-1最初tc则斜率参数估计的95%的置信区间例 (接上例)学生平均成假设我们希望建立一个一元线性模型来解释总消费支出C的值(单位：十亿，已经经过季节调整)。我们采用个人可支配总收入Y(单位：十亿，经过季节调整)作为解释变量。采用年第一季度到年第二季度的季度数据用C对Y进行回归，C=-27.53+0.93Y(4.45)(0.0018)本例中的截距-27.53在5%的水平上显著(t统计值为-6.18(-27.53/4.45))。更重要的是，可支配收入系数的t统计值为517(0.93/0.0018))，很明显我们要斜率为0的原假设，而选择斜率不为0的备择假设。对原假设的使我们可以接受—至少是暂时接受—一元线性回归模型。当然，进一步研究也许会让我们发现比上述模型更好的总消费支出模型。例 消费支此例所用数据由Citibasedatabase提供。原始数据(GC和CYD)按年利率经假设我们用一个假设我们用一个随量来代替解释变量Y(我们选择来自于均值为50、方差为25的正态分布的随量X)。我们期望(显著性水平为5%时)20次中约有1次X变量的系数(续拟合优偏差平回归残差是关于估计回归直线与数据之间拟合程度的一个很有用的度量，一个好的回归方程应该是有助于解释的大部分方差的方程。残差大说明拟合得不好，而残差小说明拟合得好。用残差作为拟合优度度量的问题是，它的取值依赖于因变量的单位。为了寻找一个无量纲的量偏差平我们的目标是将Y的偏差平方和分为两部分，第一部分是能被回归方程解释的，其次是模型解释不了的部分(误差项)。首先假设已知线性回归模型的斜率为0，我们只需要用截距来进行拟合，则对任一i，Yi的最佳预测是Y的样本均值：在这一特殊情况下，我们可以得到结论Y的偏差平方和等于观测值Y与预ˆ—的偏Y 方和当斜率不为0时，我们可以利用Y依赖于X的关系改进预测 这个新增加的信息会减少Y的偏差平方和中不可解释的部分。为了说明这一点，考虑下面的恒(3-(3-i等号左边代表样本观测值Y与Y的均值之差，右边第一项为残差ˆ，右边第二项是Y的预测值与i的均值之差。请见图3-4为了计算偏差平方和，等式(3-24)两边同时平方，且对i=1,2,⋯,N的所有观测值和(3-(3-用最小二乘残差的两个性质ˆ=0和ˆX=0,可以证明等式(3-25)的最后一项等于0。所有 i见附录3-2。因此得到Y的总变 Y的剩余 Y的可解(或总偏 差(或误 变差(或平方和 平方和 归平方和 (3-为了标准化，等式(3-26)等式两边同时除以总偏差平方和，得到我们定义回归方程的R平方(R2)为R2是Y的总变差中，Y对X的回归方程所能解平方和(ESS)的值在0到总偏差平方和之间容易看出R2值在0~1之间。当回归方程，不能解释的Y变差时R2为0。如果Y的值随，—圆圈时(图3-5b)，就可能发生这种情况。只有当所有的样本点都在回归直线上时，

图3-4Y

(3-b)图3-5度量i为了将R2与本章前面的回归参数估计联系起来，y的预测值写为：i其中ˆ为回归残差。i由由因或(3-式(3-28)计算R2的一个简单公注意R2只是一个描述性统计量。粗略地说，我们认为R2的值高则回归直线拟合得好，R2的值低则回归直线拟合得不好。但是须，有几个原因会造成较低的R2值。在有些情况下X可能不是一个好的解释变量。即使我们有理由相信X确实对预测Y有所帮助，但是X包括在方程中之后，Y的不可解释的变差依然存在。而在时间序列分析中，人们经常会得到高的R2值，这是因为任何随时间增长的变量都有可能很好地解释另一个随时间增长的变量。相反，2的值仍可能较低，其原因是各个观测值之间存在。有时用方差分析表的方法来概括总结Y的总偏差平方和的分解是很有用的。在方差分析表中，已被解释的和未被解释的变差除以相应的自由度的个数即变为方差。所以，Y的变差是Y的总偏差平方和除以N-1，被解释的方差等于被解释的变差(因为回Y的均值多用一个约束条件)，残差方差等于残差偏差平方和除以N-2。相因为R2在分析因变量Y和自变量X之间因果关系的模型时很有价值，所以我们认为R2不仅是一个衡量两个变量之间相关程度的量。相关不隐含有关因果关系的假设，而回归则包含因果关系的假设。在第1章我们看到选择模型中因变量和自变量的选择是至关重要的。因变量是被解释的变量，而自变量是造成因变量变化的原因。只有在分析数据之前就已确定了模型的因果关系时最小二乘法才是合适的。如果确定了模型Y=+X，回归斜率的t统计值显著就可以作为确t统计值意味着方程无效。举例说明相关但不存在因果关系的情形：假设我们有一组来自一项关于19世纪非洲医学研究的时间序列数据，我们可能会发现某地区的医生数与该地区疾病流行程度之间存在高度相关的关系，但由此推断医生的出现造成了疾病的流行是错误的。所以由高度相关并不能推断因果关系的存在。人们必须预先(根据以前的信息)确定某地区医生数是疾病流行程度的函数，并在回归正确的条件下对是否存在这样的关系进行统计检验。相关技术经常用于提出假设或证实以前猜想：只要人们不是直接地从数据中推断因果关系，上述的做法就都是可以接受的。在经济、商业和其他领域的很多情形下，两个变量高度相关，但是它们都受第三个潜在变量的影响。在这种情况下，那个潜在的变量应当在回归模型中作为自变量出现。不正确的因果关系对回归模型的斜率参数会有什么影响？让我们来比较下列两个回归模型的斜率参数。b和B的最小二乘估计只有bˆ=1/Bˆ或等价地R2=1时，这两个斜率才会X与Y的变动关系做出同样的结(见练习3.4)。检验回归方被解释未被解释的变将Y的总变差分解为两部分的做法使我们能够对Y与X之间是否存性关系进被解释未被解释的变这说明2本身也许不合适作为说明模型是否令人满意的量。更好的总的度量也许是说明模型对新数据预测能力的统计量。自由度个数是观测值个数减去约束条件的个数。因为计算数据与样本均值它也必须用数据来计算)时对数据有一个约束条件，所以Y的偏差平方和的自由度为N1。在计算斜率参数时，又用掉了一个自由。1,N-1,N- 在其他条件不变的情况下，我们认为X与Y之间很强的统计关系会导致被解释变差和未被解释变差的比值很大。因为F服从自由度为1和N-2的F分布，可以直接用它做检验F的下标分别代表分子和分母的自由度。只有被解释的回归变差为0时，F统计量的值才等于0。人们可以这样判断：F值小意味着X与Y之间(线性)关系很弱，而F值大意味着(线性)关系很强，所幸F统计量的数字分布是已知的(见书后关于F分布的附表4)。例如，我们可以通过寻找自由度为1和N-2的F分布的(显著性水平为5%的)临界值，以5%的显著性水平X与Y之间没有相关关系的原假设。如果回归方程的F的值大于临界值，我们以5%的显著性水平原假设。如果F的值小于临界1,N-1,N- 在检验=0的原假设时，F检验与t检验有密切的关系，实际上，对于任一显著性水平，有F 。在这里介绍F检验是因为它对于联合假设检验是很有用的，其中包括多元线性回1,N-2N-方程的显著性例 汽车零售有人曾经研究过汽车零售额(因变量)和收入总水平(自变量)之间的关系。人们认S=+其中S是从1959年第1季度~1995年第2季度的汽车零售额(单位：十亿)，W是同时期的季度工资(以十亿为单位)。拟合回归直线如下式所列。 常数项为正(代表截距项)说明若某季度没有工资收入，人们仍然会汽车。工资变量的系数可解释为每增加十亿的工资会导致汽车销售额增长0.308亿。(这个模型可用于在已知未来工资水平下，预测汽车未来的销售水平)。注意，斜率系数被看作是自变量的微小变动所引起的因变量的变化量(实际 性模型中，适于所有的W)。系数的估计不是无量纲的，它们的值直接与因变量S(以十亿为单位)和自变量W(以十亿为单位)的度量单位有关。在此例中，我们在括号中写出t统为1378使我们可以汽车零售额与工资没有关系的原假设(在1%的水平下)。尽管已经了截距为零的原假设，但是如果我们有充分的理由相信汽车零售额与工资的关系图应该通过原点，那么进行一次无截距的回归是很自然的事。用同样的样本回归结果如下：尽管t统计量使我们了原假设，去掉显著的截距项降低了方程解释功能。所以 采用带有截距项的回归方程。只有在有充分理由认为方程通过原点时，才能够让截距等于0。 新车支出 AN)和收入总水平(GWY) 第1部 回归分析基著著性水 原假设由R2为0.78使我们能够得到家庭收入变量可以解释由8变差的%的结论。F统计量使我们可以对学生平均成绩与家庭收入之间没有关系的原假设进行检验。为了做到这一点，我们以显著性水平为5%以及分子和分母自由度分别为1和6的F分布表来确定临界值(分子的自由度为1是因为模型只包含1个解释变量，而分母的自由度为6是因为有8个观测值和2个需要估计的参数)，此例中，显著性水平为5%的F分布的临界值为5.99。由于计算出的F值为21.57，大于临界值，我们以5%的F我们计算如下例 学生平均成绩问题(例例 公立和私立学校的入学人在2.6节中，我们描述了2个变量，分别是 各州高等教育中每 进入公立(PUBLIC)和私立(PRITE)学校人数的水平。 最早的大学是东部的私立学校，公立学校以后才繁荣起来，随后公立学校在 西部发展很快。有趣的是，私立学校注册人数高的州与 人数低的州相比，其公共教育系统的发展不如后者快。下列截可以分说这个系，个回模型是50个州公立学人数对私立入学人数的回归：公立和私立人数之间有一个统计上显著的负相关关系。这个回归方程说明一个州的私立人数每增长1个单位(每)该公立人数就下降半个单位。t为-3.47及F统计值为12.04都说明负的PRITE的系数与0在5%的显著性水平下有显著差别。为了进一步评价一元回归模型的有效性，在图3-6中我们画出了残差的直方图。由于最小二乘的残差和等于0，残差以0为中心是很自然的。但其他与残差的分布有关的中位 最小 -最大 标准 偏 峰 Jarque- ，，人每 的均值为39.3，从这个角，，人每残差由-15.4~19.6是相当

图-6最后我们会问误差服从正态分布这一假设是否合理。残差的形式提供了有 峰度2.79稍低于3.00，说明分布的尾端比正态分布稍细。最后，Jarque-Bera统计量0.47大大小于自由度为2的2分布的临界值5.99。因此我们不能