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文档简介

1例.火箭升空时,质量变化情形如图.tmom0t0一般,当f(x)连续变化时,其图形是一条连续曲线.反之,若f(x)图形是一条连续曲线,f(x)则是连续变化的.§5连续函数2xyoxyoxxyyxyxyx0f(x0)ABxx0xx0从图上可看出,(x)在x0间断.但f(x)在x0连续.(x)在x0的极限不存在,而yyx0y=(x)y=f(x)3定义1.

设f(x)在(a,b)内有定义.若在一点x0∈(a,b)处函数y=f(x)有双側极限,且极限值等于函数值f(x0),即则称y=f(x)在x0连续.若y=f(x)在(a,b)的每一点都连续,则称它在(a,b)上连续.1.连续函数的定义4连续定义的语言说法:若对>0,>0,使得当|xx0|<时,对应的函数值f(x)满足|f(x)f(x0)|<则称f(x)在x0处连续.注:与极限定义比较,将"a"换成"

f(x0)"将"0<|xx0|<"换成"|xx0|<".5例1.证:又因为f(0)=0.xyof(x)=|x|.6如图xyof(x)=|x|还可得到,|x|在任何点x0处连续.称为x0的右邻域和x0的左邻域.7定义2.则称f(x)在x0处右(左)连续.设f(x)在x0的某右邻域(某左邻域 )内有定义,8定理1.

f(x)在x0处连续f(x)在x0左连续且右连续.9例2.问f(x)在x=0是否连续.解:

f(0)=1=1右连续.故,f(x)在x=0间断.=–1f(0)不左连续.图形为xyo–11y=f(x)10例3.问a为何值时,f(x)在x=0连续.解:

f(0)=3=3f(x)在x=0右连续.为使f(x)在x=0连续,必须f(0–0)=f(0)=f(0+0)即,a=3.故,a=3时,f(x)在x=0连续.=a11若f(x)在(a,b)内连续,且f(x)在x=a右连续.在x=b左连续.则称f(x)在闭区间[a,b]上连续.记作f(x)C[a,b].定义:y=f(x)在[a,b]连续

12y1-1O12x13y1-1O12x14连续函数的和、差、积、商的连续性152.复合函数的连续性16定理2的证明:17g(yo)-

εg(yo)g(yo)+εyo-δ1yoyo+δ1xo-δxoxo+δ182.复合函数的连续性19例4.解:203.反函数的连续性213.反函数的连续性223.反函数的连续性23定理4的证明24Oax1x0x2bxcyo-εyoyo+εbf(x)25Oax1x0x2bxcyo-εyoyo+εbf(x)26

注意:27例6.例5.28称形如y=[f(x)]g(x)的函数为幂指函数,其中f(x)>0.根据对数恒等式y=elny,y>0,有[f(x)]gx=eg(x)·lnf(x),即,因此,当f(x),g(x)均连续时,[f(x)]g(x)也连续.则29例7.若limf(x)=A>0.limg(x)=B,存在.30例8.=21=231例9.yx0132例10.y01x133若limf(x)=1,limg(x)=,称lim[f(x)]g(x)为“1”型极限问题.若limf(x)=0,limg(x)=0,称lim[f(x)]g(x)为“00”型极限问题.“1”,“00”和“0”型都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量,更不一定是1.若limf(x)=,limg(x)=0,称lim[f(x)]g(x)为“0”型极限问题.34例如:“1”型35例如:“00”型36例如:

“0”型37例11.解:“1”型,原式=384.间断点的分类3940y1-1O12x第一类间断点41O1xy可去间断点42第二类间断点43§6闭区间上连续函数的性质442、介值定理设f(x)C([a,b]),f(a)=A,

f(b)=B,且AB,则对于A,B之间的任意一个数C,至少存在一点(a,b),使得f()=C45证:令(x)=f(x)C

故,由根存在定理,至少存在一点(a,b)使则(x)C([a,b]).C在A,B之间(a)(b)=(f(a)C)(f(b)

C)=(AC)(BC)<0

(x)=0,即f(x)=C. yBCAOabx461、根存在定理(零点定理)设f(x)C([a,b]),且f(a)

f(b)<0,则至少存在一点(a,b),使得f()=0.axyy=f(x)f(a)bf(b)O47证明的思想方法是等分区间法(区间套法):将区间[a,b]等分为[a,a1]和[a1,b],在这两个区间中选择与[a,b]性质相同的一个,例如,若f(a1)f(b)<0,则选取[a1,b],然后,对[a1,b]进行等分,并进行选择,又得一个新的小区间.如此下去,小区间的长度趋于零,并且总保持区间端点值反号,由函数的连续性,这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值就是我们要求的(a,b).48§6闭区间上连续函数的性质49设f(x)C([a,b]),则(i)f(x)在[a,b]上为单调函数时aObxyaObxyOabxyOabxy50此时,函数f(x)恰好在[a,b]的端点a和b取到最大值和最小值.y=f(x)[a,b],则y=f(x)[a,b],则51(ii)y=f(x)为一般的连续函数时,如图中所示,xyaa1a2a3a4a5a6bma1mama2ma3ma4ma5ma6mby=f(x)52在定理中,闭区间的条件是很重要的,例如,y=x在(1,3)内连续,但它不能取到它的最大值和最小值.53§6闭区间上连续函数的性质连续函数的反函数也是连续函数.54f(x)在[a,b]上可取到它的最大值M和最小值m,证:f(x)C([a,b])故mf(x)Mx[a,b]|f(x)|

maxM*

x[a,b]令M*

=

max

{|m|,|M|},则即f(x)在[a,b]上有界.推论:若f(x)C([a,b]),则f(x)在[a,b]上有界.55推论:设f(x)C([a,b]),则f(x)取得介于其在[a,b]上的最大值M和最小值m之间的任何值就是说,对任意的C,只要满足mCM,则必存在[a,b],使得f()=C.56例2或ax1bOxyηx2ξ1ξ2x3ax1bOx2x3ξ1ξ2yη5758例1:设f(x)C([a,b]),a<x1<x2<…<xn<b,证明:至少存在一点[x1,xn],使得59证:

f(x)C([a,b]).有从而由介值定理,至少存在一点(x1,xn),使若

f(x1)=f(x2)=…=f(xn),则可取=x1或=xn.综上所述,命题获证.mf(xi)M.60例2:证明方程x5–3x=1,在x=1与x=2之间至少有一根.证:令f(x)=x5–3x–1,x[1,2]则f(x)C([1,2])又f(1)=–3,f(2)=25,即f(1)f(2)

<0即方程在x=1与x=2之间至少有一根.故至少存在一个(1,2),使得f()=0,61例3:证明:方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个不超过a+b的正根.证:问题归结为在(0,a+b]上求方程的根的问题.62而f(0)=0–asin0–b=–b<0f(a+b)=(a+b)–asin(a+b)–b=a(1sin(a+b))0设f(x)=xasin

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