国内量子力学-版习题解答

第一章量子理论基础T成反比，即mT=b（常量并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。 vdv

c3

ekT

dv 以 vc vdvvd 有 dcd

v()8hc ekT这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求

对λ阶导数为零由此可求得相应的λ的值m但要注意的是还需要验证对λ的二阶导数在m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就 '

5

hc

hce

1

kT 5

hckT

1

x=

5(1

kT)kTkT5(1ex)T xkx

在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 P如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（Ec2E如果我 的是相对性的光子，那

p23eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51106eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，p2e2e22c2e1.24m20.51106

0.71109hc1.24106eVec20.51106e22c2eE3kT（k为玻耳兹曼常数T=1K2 根

1kK103eVE3kT3kK1.5103eV 核显然远远小于c2核22c2E核m23.7109

0.37109核c24931106eV3.7109核2c22c2B已知外磁场H=10T，玻尔磁子M 隔△E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。B 玻尔——索末菲的量子化条件pdq运动轨道积一圈，n是正整数。k，谐振子质量为μ，

E222(E2(E1kx22

12E1k

x2(E1kx22(E1kx22

2(E1kx2)dx2 x2(E1kx2)dxx2(E1kx2)dx

2(E1kx2)dxn kx k

22Ecos222Ecos2dkn kk2

cos

2kk22E

cos2d 2kkkk

B2

2E

ABAB

22Ekkkk22E2kEkE

d2E cos2d

这里=2θ，

2kkE cosE2

dsink

（2，便有

kAk

k nk2k Enk其中h

nhkR

p qBR22 qBR2p又因为动能耐E ，所以，E

q2B2 qBnnB nBNBM

qT=4K

E1091024J91023E3kT21kK103eV1.61022T=100K

E1.541.61022J9.61022E1.51001.61022J2.41020 eEhvce

Epchcc2 e c2e1.240.511062.410122.4103

i J

i

i

i

i

*

i*

J与t

1r

1r从所得结果说明1表示向外的球面波，2表示向内(即向原点)的球 J1和J2只有r分

1

r0r

rersin

J1

2m

1*1

11*11i[12m

r

eikr)

1eikr

r

i[1(12m r

1)r

1( r

rk kmr2r0mr3 J1与r同向。表示向 的球面波

J2

i(

*

*i[12m

22 22

eikr)

1eikr

i[1(12m

1)r

1(

1rkmr2

kmr3可见，J2与r反向。表示向内(即向原点 的球面波补充：设(x)eikx*dxdx∴波函数不能按(x2dx121，xU(x)，0x，x解：U(x)与tS—2d2 U2mdx2

d

EⅠ：x

2mdx21(x)U(x)1(x)E1 2dⅡ：0x

2mdx22(x)E2 2dⅢ：x

2mdx23(x)U(x)3(x)E3 由于(1)、(3)方程中，由于U(x)1(x)2(x)d2

dx

2

(x)令k22mE

d

kdx2(x)AsinkxBcos

2(x)④2(0)1 2(a)3 ⑤⑥Asinkaka

B

(x)Asinn

Asinkaa2

(x)2dx2 0

xdxa由2aA2a

ab a

xsina

xdx2

(x)

sinnx2ak22a 2 En2ma2

En2a iE2an(x,t)n

sinnxe a

0x

x

x#a 证明（2.6-14）Aa

Asinn(x

x （2.6-

x

2dx

A2sin2n(xa)dxaA2a1[1cosn(xa

aa

A2

2a

(xaA2a

2

a

n(xa aa∴归一化常数A a212解：(x) 2xe1(x)

(x)242x2e2223

x

d d1(x)0

[2x

2

x

x

x由1(x的表达式可知，x0x时，1(x0d2

2而

[(262x2)22x(2x22x3)]e4

2x

4x

d2(x)

x2

x1

是所求几率最大的位置。在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(x)U(x22 2 U(x) E 2x以(x22 2( U(x)( E( 2利用U(x)U(x22 2( U(x)( E( 2比较①、③式可知，(x)和(x都是描写在同一势场作用下的粒子状态

(xxx(x)c④由③再经xx⑤

(x)c(x)(x)c2(x)c2c当c1时，当c1时，

(x)(x(x(x)(x(x

U(x)U(x时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。

x

x运动，求束缚态0EU0的能级所满足的方程。S-方程为2d2

2

U(x) E按势能U(x)2d2Ⅰ：2dx21(x)U01(x)E①

x2dⅡ：

ax2②

2

E22d2Ⅲ：2dx23(x)U03(x)E3③

axⅠ：2(U0E) 2

2E Ⅲ：2(U0E) 2 令k22(U0 k2 2则Ⅰ：k2

2⑦

k2 Ⅲ：k2 1Aek1xBe12Csink2xDcosk23Eek1x31()有3()有

AE1Be133 (a)(a),Be

Csink2aDcosk

(a)(a),kBek1akCcoskakDsink

(a)(a),CsinkaDcoska

(a)(a),kCcoskakDsinkak

整理(10)、(11)、(12)、(13) ek1aBsinkaCcoskaD0 kek1aBkcoskaCksinkaD000sinkaCcoskaD 0kcoskaCksinkaDkek B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组

1k1

k

k

1 1

k2cosk2

k2sink2

kBe0

k2cosk2asink2ak2cosk2

k2sink2acosk2ak2sink2

ek1a1k11k1

k2cosk2

cosk2ak2sink2

ek1a1k112ek1a[k12

ek1acos2

ak2ek1asin

2acos

2a222222

ek1asin2

ak2ek1asin

2acos

2a]2 2kek1a[kek1asinkacoskakek12 2 kek1asinkacoskakek1a 12e2k1a[2k12

cos

ak2sin

ak2sin

2a]2122e2k1a[(k2k2)sin2ka2kkcos2k2122 1 ∵e2k1a∴(k2k2)sin2ka2kkcos

a 1 即(k2k2tg2ka2k

0 122解法二：接（13）22

2aDcos

ak2Ccos22222222

ak2Dsinka

2aDcos

ak2Ccosk

ak2Dsinka

2asink2

k2sink

2acosk2

2asink2

(k2sink

2acos

2a)(k2cosk(k2cosk

2asin2asin

a)(k2sink22a)(k2sink22

2acos2acos

2a)2a)(k2coskk

2asin

a)(k2sink2k2

2acosk

2a)k22sink21

2acos

a2sin222

a2cos222

2asin

2acos

2akk2(12)sink21

a2k2cos22

2a(k2k2)sin

a2kkcos

a #

1 (11)-(13)2kDsinkakek1a(B 2+(12)2Dcoskaek1a(B2(13)

2a

(11)+(13)2kCcoskak(FB)e 2(12)-(10)2Csinka(F2(11)(13)

2

a

令k2a，k2a，tg ctg

2Ua22(k2k2)

(f 2合并(a)(b)tg2k2a

2k1k2k

利用

2a

2tgk2a1tg2ka #（最简方法-平移坐标轴法UⅠ：2 UE

0 Ⅱ：2

（0＜χ＜2 Ⅲ：2

（χ≥2

U0 2(U0E)

2E

2(U0E

3 束缚态0E 1Aek1xBek112Csink2xDcosk23 Eek1xFek131()有限3()有限1Aek113 Fek13

BE1

(2a)(2a),kCcos2kakDsin2kak

(2a)(2a),Csin2kaDcos2ka

(7)代入Csin2kaDcos2kak2Ccos2kak2Dsin2kkk2kk22利用(4)、(5)，22

k1Asin2kk2

2aAcos

2aAcos

ak2Dsin2kak

k2)sin2k

2a2cos

2a]A(k

k2)sin2k

2a2cos

2a两边乘上(k1k2)即(k2k2)sin2ka2kkcos

a 1 # x UU(x)0U

0x1U1

ax

b S-方程为2d2

2

U(x) EⅠ：2U(x)

E

Ⅱ：2

U0 E

Ⅲ：2

U1 E

Ⅳ：2 E

对于区域Ⅰ，U(x)1(x)而.2(U0E) 2 2(U1E) 2 2E 对于束缚态来说，有UE∴k2

k22(U0

2k2

k22(U1

2k2 k22E/2 2 Aek1xBe23Csink2xDcosk24 Eek3xFek344∴Fek341(0)2

B2∴A(ek3xek3x2 (a)(a)A(ek3xek3x)CsinkaDcos (a)(a)Ak(ek3aek3a)CkcoskaDksink (b)(b)CsinkbDcoskb ⑨(b)(b)CksinkbDkcoskbFk kek1ae

aDcosk由⑦、⑧，得

2kek1ae2

Csin

2aDcosk2a由⑨、⑩得(k2cosk2b)C(k2sink2b)D(k3sink2b)C(k3cosk2(k2coskbsinkb)C(k2coskbsinkb)D

kk kk

ek1aeek1ae

k1k2(sink2acosk2a)C(cosk2asink2a)D(k2cosk

2bsin

(k2sink

2bcos

2b)(sink2acosk2 (cosk2asink2即(cos

2asin

a)(k2cosk

2bsin

2b)(sin

2acos

2a)2(k2sink2

2bcos

2b)k2cosk

2bcos

ak2sink

2bsin

2asin

2bcos

2a2sin2

2bsin

ak2sink

2bsin

ak2sink

2bcos

2a)22cosk2bsink2acosk2bcosk2a22sin

(ba)(k2)cos2k2

(ba)((k

1)

(ba)(1k2k

(k2k

kek1ae kek1ae

(ba)(1

(2 )k3 ek1aek3

k k

ek1ae此即为所要求的束缚态能级所满足的方程#

bk2k3k1(os

k1bebk3(e

e

keka1

ka[ a此即为所求方程。1

(x)

122

(为常数A= 2

21A

1ey2dyA2

利用ey2dy ∴A2

12设基态的经典界限的位置为aE12a210∴a

1

e2x2dx

e2x2

(0

e2x2

e2x2e(x)2d(ey21[ey2dy

ey2

2 2

2et2/2

（令y1xx22式中122

et22dt为正态分布函数(x)1

et2/2x

2时的值

2)。查表得

2)∴

2(10.92)∴在经典极限外发现振子的几率为0.16 3、试证明(x)

12x3e3

(23x33x)是线性谐振子的波函数，并求此

d(x)22

12

2x2(x)E 把(x)代入上式，d(x)d[

12x3e3

(23x3

3123 312x3 e (25x493x2333

12xe

(25x493x23

dx33

12x2

(25x493x23)

12x2

(85x318(4x272

1e3

(23x3d把

(x)代入①式左边，22

d2(x)dx

12

2x2

(x)22

22

x2(x)

12

2x2

4

27

(x)

）x(x)

x7(x)12x2(x)12x2 7(x)EE7=右边。n2(x)72

12 3 3

(23x33x)，是线性谐振子的波函数，其对t2x2it一维谐振子处在基态(x)

势能的平均值

12x22p动能的平均值T 解：(1)

12x212

x2e2x2 1214

22

1

1

12 2135(2n 0x2neaxdx2n1ap

T22(x)ˆ

12e

(

d2

12 22(12x2)e2x22[e2x2dx2x2e2x2 2[222[

23

22

14

TEU111 c(p)c(p)*(x)

12xe

ie

122

ie 2 12(xip 22 2

222 12 ( e2 e

2 e222

1e21(p)c(p)2

#303.2.氢原子处在基态(r,30

er/a0re2e势能 的平均值r解：(1)r

r(r,,)2d 2re2r/a0r2sindrd0 a3000 r3a2r/a0a3a00xneaxdxa3

3 202a0

2

2r/

U

3)

0rsindrd a0

0

2r/0a300

0

rsindrd4e22r/a30a0 a3

ra02 a0(3)r+dr(r)dr2[(r,,)]2r2sindrdd

4e2r/a0r2(r)

a3a0a34e2r/a0r2a3d(r)

4(2a3 a3

re2r/令d(r)

r1

r2

r3d2(r)dr

4(28ra3a3

2ar20ar2

2r/dd

a30a3

e2∴ra0(4)Tˆ

ˆ

2221(r2)r21 sin(sin) sin22 2

r/ r/ 3T3

0

0

sindrd2

0

2

r/a01 2

r/ 0200

0a3

2r2 2

sindrd4

r/00 00

0(2r a0a402a0c(p)c(p)(r)(r,p

a(24

a0)4

02a0c(p)

3/2

r/a0r2

ipre

sind1 1330

ipr(2)3/(2)3/230

r

r/a0 e0i

d(cos r2er/a0dreprcos0(20

i

0i(2)3/2(2)3/230

r/a0(e

e

0xneaxdx

30(2)3/30

ip(

i

(1i

2a33

p20 a0(a220 a40 0002a3300

(a2p22)2(2a)3/2 0(a2p220(p)c(p)

020#

p22JJ

Jeee

22 JeeJe2(nmnmnmnm

1 errreersin 式中er、e、e

1

1 nm(errreersin)nmie

1 2[er(nmrnmnmrnm)e(nmr

1

)

nmr

nm

nm

nm中的r和

2

2 Je2rsin(im

imnm

rsinnm2JerJe2

#

(SIMM

(SI z

解：(1)dMiAJedS

（iA为圆周所围面积

2

2

(dSrdrdM dM

em

0em

0

2

2

0

(SI在CGS

MMzM

(SIMz

一刚性转子转动惯量为I它的能量的经典表示式是H L为角动量解：(1)ZZL2Z 1

2d

H2I

2Id其本征方程 ˆ22 2( E2Id d2()2IE令m22IE2

d

d2()d()

m2()m可正可负可为零(2)()eim(2) ei2m∴m=m2转子的定态能量为Em

(m=可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱 定态波函数m mA12*dA22dA21 m 1A11m

m=0ˆ

1ˆ2ˆˆ2Y(式中Y(,ˆE为其本征值ˆ2Y令2IE2ˆ2Yˆ2L22( (0,1,其波函数为球谐函数

(,)N

Pm(cosE 可见，能量是分立的，且是(21#t=02(x)A[sin2kx1cos22解：(x)A[sin2kx1cosk2A[11(ei2kxei2kx) A2[ei0x1e2pn的可能值为

p动能n的可能值为

2k

2k22 ( ( AA2A41n4n A1

2 4 ) pppnn22k2

pp ppnT nn n0

2k

128

k2

185k2#Axex(x)

当x其中0

当x1(x)2dxA2x2e 1∴A23/(x)23/2xe(x)

(x

(xc(p) eikx(x)dx(1)1/223/2

xe(ik)x((

)1/2

e(ik)x

e(ik)x

ik(

)1/

(

)1/

(

p(p)c(p)

)p2)

23

(22p2p*(x)pˆ(x)dxi43xexd(ex i43

x(1x)ei43(xx2)e#

1)3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函(x)Ax(a描写，A2a2a(

sinnx,

0xax0,

xEn

n222a

(nn动量的几率分布函数为ECnC*(x)(x)dx

asin

x(

先把x001(x)2dxaA2x2(ax)dxA2ax2(a22axx200A2a(a2x22ax3x405A2(53

a2

a5

a)A2 a∴aa∴a

sinaa

xx(a2a215[aaxsinnxdxax2sin2a

a 22 [ xcosnx 22

3sinnx3

x2cosna2a

0xsinnx0

n2 a an2

n3415[1(1)nn3∴(E)

2

[1(1)n n6

，nn6

0，n

4,6, ˆE(x)H(x)dx0(x)2(2a30x(xa)[2

x(x0a

2dx302ax(xa)dx302(a3a3a 5a

a 3.9.(r,,)1

(r

(,)

32

(r

(,Z分量的可能值，这些可能值出现的几率e eE s s (n 22n2 8L2(1)2ZLZ10LZ2

(1 L1033 3.10U(r)

ra;ra解：据题意，在ra的区域，U(r)，所以粒子不可能运动到这一区 (ra由于在raU(r)0。只求角动量为零的情况，即0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度、向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与、无关。设为(r，则粒21 2

)2r 令U(r)rE

k22E2

ddr

k2uu(r)AcoskrBsin(r)AcoskrBsinrA=

(0)∴(r)Bsinr(a)0

Bsinkaa∵B

∴kakan22

(n En

2a(r)Bsinn B010

da(r)2r2sin004aB2sin2nrdr2aB00 1212 12sinn12sinn#3.11.求第3.6题中粒子位置和动量的测关系(x)2(p)2解 pp22

5k24x

A2x[sin2kx1coskx]2dx0x2

A2x2[sin2kx1coskx]2dx2(x)2(p)2(x2x2)(p2p2)(x)

)1/2exp[

p0x

x式中为常量。当粒子的动量平均值，并计算测关系(x)2(p)2解：①先把xx

x111

22dx

(22)d(x∴2

1

( /

22)1/

(x)

exp[p0x

x2

0 ii

0

p0

x)ex20 ex2dxi0

xex2 (x)2(p)2x*xdxxex2

（奇被积函数x2x2ex2dx

xex2

ex2010

2 d

ipxx2d

ipxxp2

dx e

e p2p2(0)i2p0

xex2dx22

x2ex2 02(0)0(220

( 2p2)(x)2x2x2(p)2p2p2(2p2)p2 (x)2(p)2121 #利用测关系估计氢原子的基态能量r由 关

4

4Rpp又 (p)2p2p所 p

4R

p22R2P e2

E

s 则 E

2R

REE

sR得E

sRsE

2

Tˆˆ

100

(

3/2

ra/

e s0 02Tˆ 1[2

(r

) 22

) 2r2 e

sin2Ur 21

2T1002r2r

1(

)3/2r

(r

er/a0 0 0

13/

r/

0 0常数

a2 ar

002a 00

eser

ˆ

e 而(TU

100

)3/2

aar aar

r/a0sr

21

2

202a0

a0

a0

2102a0

可见，100是(TˆUˆ的本征函数L

6，L的氢原子中的电子，在

45和1352解：Wm(,)d ∴ (,) L 6，L的电子，其2,mY21(,) (,)

sincosesincose (,) 215 当 和5W21

为最大值。即在45，135在其它方向发现电子的几率密度均在0

15试证明：处于1s，2p和3da04a0和9a0的球壳内被发现的几率最大a0为第一玻尔轨道半径)1sn

(1)3/2ea0W(r)r2R2(r)(1)34r2e2r/

(1)34(2r

2r2)e2r/ 令W10

r2

r3易见，当r10,r2时，W100

(a0)

4e21sr00

2p态的电子n

(0 0

(r)r2

(1

r)3 00W21

00

r3(4

r)er/令W21

r

r

r 易见r10,r2时，W210为最小值 r

00

r2(128r

ra220a22

r/ ∴r4a0为几率最大位置，即在r4a0的球壳内发现球态的电子的几率最3d

n

R3222 22令W32

W32

r2

r3易见，当r10,r2时，W320 r

081215a0

(15r2a∴r9a0为几率最大位置，即在r9a0的球壳内发现球态的电子的几率最U(x)U0

xx

(在金属外部其中U00，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。解：设电场强度为，方向沿χ轴负向，则总势能为V(x)e (x0)V（x）U0e

（xDexp[2

exEx10x2p∴

2(U0ex2(U0ex令xU0Esin2x12x

xE)dx0

U0E2sin2d2(U02(U0E

cos32

2(U

E 30322U0 2(UE0Dexp[

U0

E)]①4x

d

nn ③Kd解：①4x2 是线性算4x

dx2(c1u1c2u2)4

dx2(c1u1)4

ddx2(c2u22c142

dx2u1c24

ddx22不是线性算[cucu]2c2u22ccu

c2u21 2 c[u]2

122[u22

121 2nn③K

c1u1c2u2c1u1c2u2c1u1c2K

K

K

K

Kd id

d4dx解：*ddx*

d*

- 当x，0， *ddxd*dx(d)*

(d)* d不是厄米算符*

ddx

*

ii

d*

d

-dx

id

(*)id

d

d

d*

* dx4

-4 dx

d*ddx4d*4

222 *dx(4

)*dx d

4dx2是厄米算符d7dx2①x2 ②ex ③sinx ④3cosx

ddx2

(x2)d xdx2d②

exe d edx21d③dx

(sinx)

d(cosx)sinxd sinxdx2的本征函数，其对应的本征值为－1d④dx

(3cosx)

d(3sinx)3cosx(3cosx) 3cos

ddx2的本征函数，其对应的本征值为－1d⑤dx

(sinxcosx)

d(cosxsinx）sinxcosx(sinxcos∴sinxcosx

ddx

的本征函数，其对应的本征值为－18、试求算符

d ieixd

diFeixdxd

d)d(Feixd lnFeix

lnceFeix（ˆ是F的本征值解 U(x)

x2x2方程（分区域Ⅰ(xa2

U(x)

I(x)

∴

(x)

(xa22dⅡ： II2dxd II

2E k2d IIk dx

Asin(kx

(a) a

(a)aII

Asin(kx) A sin(kx) ka0 2

k2

(x)Asink(xa2∴ka

Asinkasinkaka

(n1,2,Asinn(xa

x

(x)

x22E2

k

n22k

(n1,2,3,

1(x)2dA2a/2sin2n(xa a/ A2a/

a/2 A2aA2a/2cos2n(xa a/ aA2A2

sin2n(xa)2a2

222a∴A2a 2a sinn(xa2a

x(x)

x2别为a04a09a0的球壳处的几率最（a0为第一玻尔轨道半径。1s

(r

dr

2r(1)34e2r/a0r2dr

(r)(1)34r2e2r/a

4(1)3(2r

r2)e2r/8(1)3(1

r)re2r/ d100，则d

r111

r11 dr

)3[(1

r)

(1

2r/a08(

)3(1

2ra2a0

)e2r/a0dd d

∴

0 dr

∴r11

2p

21(r)dr

2r

1

)3

r03a0

er/

0r

(r)

)3

r03a0

er/

024a0

(4a22a22

r)r3er/d 21dr d210，则

00

(18r

r）r2e

r/a0d

r21

r22 dr

r22

r224a0当0r4a0d 10

r03d

(r)

2 2

00

r

d d320，

00

(5

)r

r31 r32

r310r329a0212解：1x

2xe2

21(x)1( x

4

(x

2x

4

(1

2x

dd dx令d10

4

d

x10，

1

dxd

x1

0

x101 dx

x0 0

0

x2

306．设氢原子处在(r,,30求re②势能 的平均值r

era0的态（a为第一玻尔轨道半径r1r3e2radrsind2000a 0 1321(a0)3(a0)0 032e

0②se20re

a

a

rea0aas4(0)(0a12

0eU1

当xUU2U

当0x当xEU1U22Uka2U（其中2dⅠ： IU

(x2dx 1 2dⅡ： II

(0x2dx 2dⅢ： IIIU

(x dx

2

令

2(U1E)2

k 2E2

2(U2E)2dⅠ： I dx dⅡ： IIk dx d

III

III CexDe

Asin(kx CexDe x—

I

0,D1x

0,C2

C11

Asin(kx22

DeI(0)II(0)C1①② (a) (a)Asin(kx)De (a)(a)kAcos(kx)De tg⑤tg(ka)⑥而tg(ka)tgka1tgka把⑤、⑥代入，得tgkatg1tgka k

tgka kk令tg

tg(nka) 1kktg(nka) tg()1k nkakan1tg21tg2

22k

1(k21(k2k2Uk1k1(k

kan

2U13、设波函数x)sinx，求[(d)x]22U

d]ddddddd)x][sinxxx][x][xcos(sinxxx)x(cosxcosxx)x(xsinx2xcos14ˆˆˆˆ)1证 1

*(ˆˆ

2d

*ˆ

2d

*

112(ˆ1)*d2(Bˆ1)*112[(ˆˆ)1]* ˆˆ15ˆˆ

②1(ˆˆ

xˆ)

*(ˆ

x

2d

ˆ(

11ˆˆ11因 ˆˆ ˆ

②*1ˆˆ ˆ

d1*(ˆˆ)d

ˆ1[2(

2

2 1(2

d

(ˆ

1ˆˆ ˆxˆ))]*[2( 1ˆˆˆ

)]*[2(px

1(ˆˆ

xˆ)是厄米算符 证

17

ˆxˆxˆxˆxˆˆxˆxˆˆzˆxˆxˆzˆˆxˆxˆˆˆzˆˆy)ˆˆxˆˆzˆˆyˆˆzˆxˆˆyˆxˆxˆˆzˆxˆˆyˆˆzˆxˆˆyˆxˆˆzˆxˆˆyˆx=ˆˆxˆxˆ(ˆˆxˆˆz)ˆˆx(ˆˆxˆˆzˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ z ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ z ˆˆxˆxˆ)ˆzˆzˆxˆxˆzˆˆyˆˆx)ˆˆxˆˆyˆˆxxxxˆˆyxxx

ˆ

ˆˆ

ˆˆy

ˆ

ˆˆxxxˆˆxxx

ˆ

ˆˆ

ˆˆy

ˆˆ18

ˆˆxˆxˆ)ˆyˆxˆˆˆxˆˆˆˆˆzˆˆˆzˆˆˆˆˆˆzˆˆy)ˆˆˆˆzˆˆyˆˆzˆˆˆyˆˆˆˆzˆˆˆyˆˆzˆˆˆyˆˆˆzˆˆˆy=ˆˆˆˆ(ˆˆˆz)ˆ(ˆˆxˆˆzˆˆxˆˆˆzˆˆˆˆxˆˆzˆ(ˆˆˆˆxˆzˆˆˆzˆˆyˆˆx)ˆˆˆˆyˆˆx ˆ2ˆˆˆˆˆ2ˆ ˆ(ˆˆxˆxˆ4.1.LL2

)

(1

ipe yˆp

iy)e (11

ipe (pi

iy)e

i3(2)e3

pz (i)(z

yzy

py

)e

i(i)(

z

py

（pp3e 3i(

yy

zyz(Lx)pp(Lx)pp(x)Lx

z

( p(11

ipe yˆpyiy

i)2epr

i3(2)3

p yˆ

yˆ

y)e (1)3

ip yˆ

zyz

ypzy

ip)e p(i)(

zyz

ypzy

)(1

ipe yˆp

iy)e

i2(

y

pz

)2

（pp3e 3z2(

)2

zyz#

yzy

( pun(x)

sinnx2a222aEn

2a

a2xsin2mxdx 0 m

2a(sinmx)x(sinnucosnudu1cosnuucosnudu1cosnuusinnunn1axcos(mn)xcos(mn)a

1 a

(mn)x

(m a (m

(m

(m a[(mn)22

x(mn)

x] 0a(1)mn

(m(1)mn

(mn)22(m2n2

*(x)ˆu

(x)dx

a2sinmx

sinn

0

i

asinmxcosna i

asin(mn)xsin(mn)ain

a

cos(mn)x

acos(mn)aa2(m

(m 0ina (1)mna2(m (mn)

(m2n2sinmucosnuducos(mn)ucos(mn)u2(m2(m#22122

d

C(p,t)

pC(p,t)EC(p,t)2即2

2

122

d

C(p,t)(E

p)C(p,t)0 1

ddp

C(p,t)(

p

)C(p,t)令

p 1111d

C(p,t)(

)C(p,t)2En(n1212 iEnC(p,t)Nne Hn(p)enNnN( )1/ 1/22n#4.4.ˆ

ˆ

1

2

2

1

2x2 2 H*

1

i

2

i2

(2x

2x2)e 2( (

p)21

i(pp)e

dx

121

i(pp)x2e 2

2

2

(pp)

121

(

i(pp)e e

2

1

22i(pp)

(pp)

2(

2 p2

(p

p)122

(ppp (pp)

22 #

( ˆ L

2L 2 2

0i2 2001 001

00i 00i Lx和LyLx222002 22

3ˆxˆx

10，2，3a1 a1 1a2a2a1

3

a3a其中

xZˆˆ2xZ

3当10 0a1 21 1a22

0a

3 aa0aa2 3 2 1 1 ∴0 a 1 1 (a*,0,

2a

a1) a12取a112

1 0 0

ˆ0 12 2 当2 a1 a1

a2a20 2 22 2 1 1

0a30a

a3aa∴

2a1

1 1 1(a*

2a*,a*)2a4a1取a11

1 1 a a∴归一化的

1ˆ的本征值 2 2 2 当2时， a1 a1 1a2a23 03

a3a

1 a1

a22 2

a3a2a22 2

a3 a1 1 ∴

2a1

1 1 1(a*

2a*,a*) 2a41取a11

1 1a a

1ˆ的本征值2 2 ˆ2和ˆˆ 22S

122 22111 111 222 222x x

SL

22 221 122 22

22

2 12222211

2 221 222202 02

0 02 2020 020

0 0ˆˆy1

2

2 2

2 i2

i 1

2 1 2 2 2 2 2 ˆ2ˆ 11 11 10122 22

S

12 2 22 1 1 222222 222222 ˆy 0

S

yS 0y00 00# J

J J

(2**2 (*TT解：这种分布只对rr0的区域有影响，对rr0ˆU(r)U0其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，

U(r为考虑这种效应后的势能分布，在rr0U(r)

在rr0U(rU(r)er

Ze4r3

(rr4r

4r

4r E

04r0

0(rr0U(r)er0Edre

04r30

rdr

2 020 0

0(rr00

8r3(r0

)

8r3(3r0r ˆU(r)

(r)8r3(3r0r)4

(rr0 000ˆ ˆ 2

(rr0由于r0HZ

Z

10一级修正为（基态0)10

)1/2ea0E(1)(0)*Hˆ(0) 3Z3

00

2Z0 00a02Z

8r

(3r2r2)

]e

∴r

，故e 1

Z4

2

Z4e2 ∴

2a3r3

(3r0rr)dra3

00 Z4

r(r50)

0Z4r2a3r 2a300 0 Z4 10a302Z4e2 sr0 0# 解：取Z

1H D

DHˆ(0)

ˆˆ(0)E(())

1(1)

(0)

,) 0ˆ(0E（0）00H0E(2)0

E(0)E H

Y*(Dcos

sind

1Y1Y*(cos)sindDY

sind

33

Y*

sind03D3H

D22 E(2)' '

2

D22 E(0)E

#设一体系未受微扰作用时有两个能级：E01及E02ˆH12H21a，H11H22b；a、b都是实数。用微扰公式求能量E(1)H HE(2)' E(0)E E(1)H

E(1)H H

aE(2)' E E H

aE(2)' EE

EE1E01bE

a2EE2E02bE#

a2电场可以近似地表示为sint，及均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。

e4 e4 s 22

13.61.6

3.31015t03030

er/在t

m

i)3/2ep 微

r(eiteit

rr在tk a(tk a(t)1tH

eimkt i Fmkt(ei(mk)tei(mk)t F

ei(mk)t

ei(mk)t1mk

mk

mk ei(mk)t a(t) mWk

(t)2F2(eF2(ei(mk)t1)(ei(mk)t

)24 2 )2

i 其中 *Fˆ

)3/

(e

)er/a0

z（p3030 取、p所在平面为xoz面，则 rxrx

y

z

(sin)(rsincos)(cos)(rcos rsinsincoscosrcosFmk

)3/

e

ipr11

(rsinsincosrcoscos

r/a030F30

)3/ 1302i130e

(rsinsincosrcoscos)er/a0r2sindrd00

2ipr )3/2 e

(cosr3cossin

r/a0drd302i030 e

ipr )3/2

r

r/a0dr[e

cossine

30 ip

ip

2 ip

ip 0ri2i20

r/a0

(e

e

)p2r2

e

ecos16 00

ia0 a(2a(0

p2))16pecos(a)7/ 08(a2p2204 k

2

)2128p2e22cos2a75sin21 02(a2p220#

)2

et/

当t当t0(为大于零的参数2p2p1m可取0,1

氢原子处在2p态的几率也就是从100跃迁到210211、211的几率之和 a(t)1tH

eimkt i H *Hˆ

(ˆ RY*e(t)rcosRY 取Z轴方向 21

10

2 (t)0

e(t)

2Y

13)Ysind1300 1313 e(t)1381fR*(r)R(r)r3dr81

0 3(

)3/2

)3/0

r

2a06a06a0

8113a 8113a H

ˆ d

e(t)

36e(t)25636

2eH e

r

2 (t)0

2 *

=

3

(t)0

=

3由上述结果可知，W1002110

W100211 1t 1t

i t2 t2

212

128

(ea00

i21t

t

it222 it22当t

2

0 2(128)2e2a2 1s2

2

0 其中

1

s

14

3

23 30#4e2 解

mk

1，知2s1s故只需计算2p1s

E2

3)

82

2p

210

z

zr

R*

(r)r3dr*cosY

13fY Y13

210,100

1311313(z)211,1000(z)211,1000x

xrsincosrsin(eiei2

1R*

(r)r3dr

Y*sin(eiei)Y

2

1f 2Y*(Y

316 f16

m1

m1

3sin 3sin1 (x)210,100

211,100 1616211,100 1616y

yrsinsin

1rsin(eiei)( 1R*1

2if

2 1i f1i

m1

m1(y)210,1006i(y)211,100 6i

(y)211,100 6if f 6i

(26

2

fR*(r)R(r)r3dr 81 81(1

32/ (1

r

81 81f2

2a0a4e23 212

3

s s)3 a 8

s

se2s 6

5.231010s0.52109 2p1s态时所发出的光谱线强度。J2p1sN2pA2p1s2128

3 s

2p

c36 2N2p

8

N2

0c34a02 22 1092

J21 解 Amk

x*x*

2 2由

1

2k

k2

k2mnk2mn

dx

1

2m,k

m,k1mk1

xmk

mmk 1 一维无限深势阱(0xa)中的粒子受到微2 (0xaH(x) 2a解：基态波函数（零级近似）2a

2(1

x21(0)1

sinx

(0x1(0)1

(x

x E(1)

(0)*H(0)2a/22xsin2

xdx2a2(1x)sin2

aa a

aa/ 2[a/2x(1cos

x)dx

(1cos

a aa/a

x(1cosa

a/ a

[(1x2

xsina

ax4

sina

x)a/

0a(x0 asin2

(a/ (

x2

xsina

ax4

cosa

]a/]a

[1a28

a2

a2

(8

a2

a222a(a

a

)(2

22、具有电荷为q)135(2n135(2n a0

2q2 s

2I()②仅当m1时，xmk0择定则是m1

1q0

(e∴km

442q32042q

I(mk2 2 s

I xi

**

342q s

2I(

(xx 1/2 1/22n∴

n(x)222