《圆锥曲线》知识梳理

《圆锥曲线》知识梳理圆锥曲线第第一二定定义义圆锥曲线第第一二定定义义标准方程的关系椭圆性质对称性焦点顶点离心率准线焦半径直线与椭圆的位置关系相交相切相离第第一二定定义义标准方程的关系双曲线性质对称性焦点顶点离心率准线焦半径直线与双曲线的位置关系相交相切相离渐近线抛物线定义标准方程性质对称性焦点顶点离心率准线焦半径直线与抛物线的位置关系相交相切相离3．1椭圆【考点透视】一、考纲指要1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力.二、命题落点圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力.【典例精析】例1：（2022·全国1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值．解析:（1）设椭圆方程为,则直线AB的方程代入,化简得．令,则．由与共线,得,又，．即,所以，，故离心率．（2）由（1）知,所以椭圆可化为设,由已知得，在椭圆上,，即①由（1）知，又代入①，得．故为定值,定值为1．例2：（2022·上海）如图，点、分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．解析:（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）设点P的坐标是，由已知得由于（2）直线AP的方程是设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是，于是椭圆上的点到点M的距离d，有由于例3：（2022·福建）已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.（1）求椭圆C的方程；OOE（2）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.解析:（1）直线，①过原点垂直的直线方程为，②解①②得∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.故椭圆C的方程为③（2）设M（），N（）.当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得OEOEMNOEMN点O到直线MN的距离．即即整理得当直线m垂直x轴时，也满足.故直线m的方程为或或经检验上述直线均满足.所以所求直线方程为或或【常见误区】解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点.【基础演练】1．(2022·广东)若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m＝（）A．B．C．D．2．(2022·福建)设的最小值是（）A．B．C．－3D．3．(2022·全国3)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．4．(2022·江苏)点在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（2022·重庆）已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为.6．如图所示,底面直径为的圆柱被与底面成的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长，短轴长，离心率为．ＱＱyxOP7．(2022·辽宁)已知椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且满足．（1）设为点Ｐ的横坐标，证明；（2）求点Ｔ的轨迹C的方程；（3）试问：在点Ｔ的轨迹C上，是否存在点Ｍ，使△的面积．若存在，求∠的正切值；若不存在，请说明理由．8．(2022·湖南)．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.（1）证明：λ＝1－e2；（2）若，△PF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程；（3）确定λ的值，使得△PF1F29．(2022·湖北)设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（2）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.参考答案1.B2.C3.D4.A5.6.7.ＱＱyxOP（1）设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以（2）设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是③④（3）C上存在点M（）使S＝的充要条件是③④由④得上式代入③得于是，当时，存在点M，使S＝；当时，不存在满足条件的点M.当时，记，由知，所以8.（1）因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别.所以点M的坐标是（）.由即（2）当时，，所以由△MF1F2的周长为6，得所以椭圆方程为（3）因为PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|，即设点F1到l的距离为d，由得所以即当△PF1F2为等腰三角形.9.（1）依题意，可设直线AB的方程为，整理得①设①的两个不同的根，②是线段AB的中点，得解得k＝-1，代入②得，＞12，即的取值范围是（12，＋）.于是，直线AB的方程为（2）代入椭圆方程