2015-2017三年高考分析极坐标与参数方程

2015-2017三年高考分析极坐标与参数方程坐标系与参数方程一.考纲（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.（4）了解参数方程，了解参数的意义.（5）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程二、坐标系与参数方程命题分析解答题坐标系与参数方程命题的概率是1.0，都位于解答题的第六题，虽然是倒数第一题，但不是压轴题，是选考题，二选一共10分，属于解答题中的容易或比较容易的试题。内容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、普通方程关系，求曲线的轨迹方程、求曲线的交点，极坐标与直角坐标的转化等知识与方法。从多年命题情况分析，总体是比较容易解决的。三、考点（一）方程互化问题互化条件：极点与原点重合，极轴与X轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：F二pcos6或J2=、2+y2 （0的象限由[y=psin6 |tan6=y（x中0）1x点（x,y）所在的象限确定）名师点睛：“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想，解题时应熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线、圆、椭圆的参数方程形式，直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加

以应用,往往可以化繁为简,化难为易.1、极坐标方程与直角坐标方程的互化考题1（直角坐标方程化为极坐标方程）（2016全国卷2）在直角坐标系。中，圆「的方xoy c程为（x+6）2+y2=25・（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；答案：（I）p答案：（I）p2+12pcosO+11=0考点：圆的极坐标方程与普通方程互化命题意图：重点考查了转化与化归能力试题解析：（I）由x二pcosO,y=psinO可得C的极坐标方程P2+12pcosO+11=0.总结升华：极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.强化训练1.（2015新课标1,23）在直角坐标系xoy中。直线C系xoy中。直线C1：坐标原点为极点，x二一2，C2：(x-1>+(y-2>=1,以X轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求C,C的极坐标方程;1 2

解：（I）因为x=pcos0,j=psin0， （^方程为pcos0__2，C的极坐标।方程为2p2—2pcos0—4psin0+4=0考题2（极坐标方程化为直角坐标方程）（2015新课标2,23）在直角坐标系xOy中，曲线C：1X二tcosa（t为参数，t曲线C：1j=tsinaWa<n,在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：2e，C：3e。2p=2sin0 3p=2t3cos0（1）求C与C交点的直角坐标；2 3答案：（0,0）和号g）考点：直角坐标及极坐标方程的互化试题解析：（I）曲线C的直角坐标方程为X2+J2一X2+J2一2J=0，曲线,的直角坐标方程为X2+J2联立3X2+J2—2J=0,X2+J2-2,3X=0解得x=0,J=0,-2v；3x=0•或X=%〈3卜=2.所以C与C交点的直角坐标为（。0）和（品3）C2 C3 O0） （T，2）总结提升:1.运用互化公式:p2=x2+j2,j=psin0,x=pcos0将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐

标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行.边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关3.若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关P系，常化为直角坐标方程，再解决.强化训练1.（2016全国卷3,23）在直角坐标系xOy中，曲线「的参数方程为1曲线「的参数方程为1；：:「。（0为参数），以坐标原点为（I）写出,的普通方程和，的直角坐标方程;答案：。（I）写出,的普通方程和，的直角坐标方程;答案：。的普通方程为X2.，2JC的直角坐标方程+y2 1c3 2极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为。所、25.C psin（0+—）:2\22 42、参数方程普通方程的互化考题1（参数方程化为普通方程）（2017课标3,22）在直角坐标系xOy中，直线’的参数方程为’的参数方程为1;：k：,（t为参数），直线,的参数/ 2X：-2+m,方程为y：k（m为参数）.设L与L的交点为P，当k

方程为变化时，P的轨迹为曲线C(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l：P(cose+sinB)-=0,M为l与C的交点，3求M的极径.72 3答案：⑴……;(2)x2—y2—4(y/o) 、5试题解析：(1)直线/的普通方程为y—k(x—2)，直^1线,的普通方程为x——2+ky，2消去k得x2—y2—4…00,"0即C的普通方程为x2—y2—4(y中0)•(2)l化为直角坐标方程为x+y八23 )3<2联立x+联立x+y—22x2—y2—42,姮y——了18p18p2—x2+y2— 1—44・•・l与C的交点M的极径为、5.考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程总结升华：(1)消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。消参过程要注意谁是参数以及等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x,y的范围，在这过程中，实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。（2）利用将极坐标方程化直角坐x=Pcos0,y=pSin0,p2=x2+y2标方程强化训练1.（2017课标1,22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为a3cos0,（0为参数），直线l〈y=Sin0,的参数方程为卜二a"s关数）.（1）若，一，求C与< （t为参数） a——1y—1—t,l的交点坐标；答案：（1） , 2124（3,0） （-25,25试题解析：（1）曲线°的普通方程为时，直线,的普通方程为x+4y—3—0解得x2x+4y—3—0解得x2—+y2—1924y— 25标为，z2124.（3,0） （—25,25）2.（2016高考新课标23）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为!x-acost（t为参数a>[y—1+asint0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的

极坐标系中，曲线c：p=…。・2 4cosu（I）说明C是哪一种曲线，并将C的方程化为1极坐标方程；（II）直线C的极坐标方程为6"其中a满足, 0 0tana=2,若曲线C与C的公共点都在C上，求a.a0 1 2 3答案：（I）II,°(II)1答案：（I）Ip2-2psin0+1—。2-0试题解析：⑴%=acosty=l+asint（均为参数），工t①为以(、q (0,1)X2+y2-2y+1-a2-0为圆心，为半径的圆.方程为D试题解析：⑴%=acosty=l+asint（均为参数），工t①为以(、q (0,1)X2+y2-2y+1-a2-0为圆心，为半径的圆.方程为D「°，,。2。ei。即为°的极坐标X2+y2=p2,y-psinup2—2psmH+1-Q2=0 C方程⑵C：p-4cos0，两边同乘得2即%2+产=4x' (%-2)+产=4p2=4pCOS0p2=X2+ ,pcosO=X:化为普通方程为程所在直线即为2,由题意：°和°的公共方y=2x CC1 2①一②得:A-X—2y+1—〃2=0，即为C3考题2（普通方程化为参数方程化）已知曲线a'一1,直线i：（t为参数）.4 9（1）写出曲线C的参数方程，直线1的普通

方程;分析：在第（1）问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解解：（1）曲线C的参数方程为n如日n如日为2x+y-6=0（。为参数）故直线l的普通方程名师点睛：本题考查参数方程与普通方程的转化（二）弦长问题考题1.1（2016江苏21）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为[1X=1+—t23V[1X=1+—t23V=Ttx=cos0,V=2sin0（t为参数），椭圆C的参数方程为（0为参数）.设直线l与椭圆C相交于A,B两点，求线段AB的长解：椭圆°的普通方程为―〜，将直线」的参X2+ l4x=1+1t2，代入V=TtV2TX2+——=143、得（1+2t）2+亨=1，即7t2+161=0，解得/0，AB=11—t1=—.考点:参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.直线与圆相交的弦长问题总结升华：1“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想，解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式，以及直线、圆、椭的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数2、计算直线与圆锥曲线相交得到的弦长,般考虑三种方法：（1）将直线与圆锥曲线联立方程组，得到关于X的网八1+k2[L2'=，"9+x2）2-4xix2计算。其中，k为直线的斜率，x1、x2为方程的两根;（这个方法的前提的直线的斜率必须存在）（2）利用直线的参数方程来解；（3）转化为极坐标方程来计算，极坐标方程中P的几何意义就表示距离。

变式训练1（2015新课标2,23）在直角坐标系.中，曲xOyk,cosa,（t为参数，且”0），其中ova（兀，[y=/sina,在以0为极点,X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c：p=2sinO,C:p=2j3cos0.3（I）求c与。交点的直角坐标；3（H）若°与°相交于点A,。与。相交于点B,求(ID4.陆目最大值•答案：（I）(ID4.试题解析：解：（I）曲线0的直角坐标方程为线C试题解析：解：（I）曲线0的直角坐标方程为线C的直角坐标方程为3曲%2+y2—2y=0’皿x"一底二0,联立两方程,因此点A的极坐标为以强.）,点B的极坐0<OL<71标为（氐―），所以(71,因此点A的极坐标为以强.）,点B的极坐0<OL<71标为（氐―），所以(71\AB\=2sina-2^3cosa=4sina--，当5兀

a=——6时㈣取得最大值，最大值为今解得'邛，所以C与C交点的直角坐标解得2 3y=~2（0,0），修（H）曲线c极坐标方程为〃a（peR,p,。）,其中2.（2016全国卷2）在直角坐标系心中，圆。的方程为（X+6"+>2=25・（I）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求°的极坐标方程；（II）直线/的参数方程是卜二，cosa（，为参数），,=tsmaJJC A,B）、"，iabi=>/To>J答案：（I）p2+12pcosO+11=0,（H）土野试题解析：（I）由x=pcos0,y=psin0可得c的极坐标方p2+12pcos0+11=0.（n）在（i）中建立的极坐标系中，直线,的极坐标方程为e=a（p"由42所对应的极径分别为pp将1的极坐标方程A,D P,P, /1 2代入。的极坐标方程得p2+12pcosa+ll=0.于是J"^p+p=—12cosa,pp=11,TOC\o"1-5"\h\zIAB1=1p-p1=J(p+p)2-4pp=ql44cos2OL-44,1 2 ” 1 2 12IAB1=<10得cos2a=?,tana二98 3所以」的斜率为厉或屈.3 3（三）距离问题考题2[2016高考新课标3,23]在直角坐标系°xOy%7"(0为参数)，以坐标原%7"(0为参数)，以坐标原y=sina1点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标%系，曲线c的极坐标方程为兀--.c2 psin(e+―)=2v2(I)写出c的普通方程和c的直角坐标方C程;(II)设点P在C上，点。在c上，求।PQ।的最C1 Q2小值及此时P的直角坐标.答案：(I)c的普通方程为%2+,一，’的直角坐c +y2—1c1 3 2标方程为%+y_4=0；(n)封.试题分析：利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程为普通方程，利用公式|x=Pcose求C2的极坐标方程即可；利[y=psine用参数方程表示出P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立PQ=d(a)的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点P坐标即可。

试题解析：(I)C的普通方程为x2+.1,C的直1 3y 2角坐标方程为X+广4_0xiy-(II)由题意，可设点P的直角坐标为小cosa,sina)，因为C是直线，所以|因为C是直线，所以|PQ的最小值即为P到C的距国d(a)2的最小值，d(a);三3『2lf-21.当且仅当八2kY(keZ)时，d(a)取得最小值，最小6当且仅当值为收，此时P的直角坐标为(沾.考点：极坐标方程，参数方程化为普通方程；点到直线的距离问题；利用辅助角公式求最值命题方向：选做题命题意图：熟练掌握普通方程与参数方程的互化公式，点到直线距离公式，以及数学转化思想和方法，同时考查了学生的综合分析问题的能力和计算能力总结提高：一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐

标为（acosa,bcosa），将其转化为三角问题进行求解.强化训练1.12015高考北京，理11】在极坐标系中，点1.12015高考北京，理11】在极坐标系中，点2nl到直线0（9+*0）的距离为p，osb+\3sm6=6答案：1试题解析：先把点（2n）极坐标化为直角坐标（1各\乙，— 1,、3）再把直线的极坐标方程pQsO+△in。）=6化为直角坐标方程x标方程x+短—6=0，利用点到直线距离公式2.（2015高考陕西，23）在直角坐标版权法"吕，直线l的参数方程为x^oyx=3+2［为参数），以原点为极点，轴的正半轴〈L（t X、y=争为极轴建立极坐标系，℃的极坐标方程为°p=2<3sin6•（1）写出℃的直角坐标方程;°（II）P为直线l上一动点，当P到圆心°的距离P P °答案：（I）最小时，求点P的坐标.答案：（I）X2+(y-3))=3；(lI)(3,0)3.（2017全国卷1,22）在直角坐标系xOy中,

曲线C的参数方程为；：葬°,(0为参数)，直线l的参数方程为(1)若a=1,求C与l的交点坐标;(2)若C(2)若C上的点到l的距离的最大值为—,求<17解：(1)曲线°的普通方程为当a当a:一1时，直线,的普通方程为x：3,或x：3,或《y：021x：- 2524y:—25(2)直线,的普通方程为x+4y一a-4：0，故,上的点x+4y-3：°，解得x2, [—+y2：19从而,与1的交点坐标为(30)(_3驾° / (3,0),( , )2525(33e,sine)到,的距离为13cos0+4sin0-a一41^a^a“4时，d的最大值为a+9，由题设得a+9.万，所以，_8；————v1/ a—8<17当〃<4时，d的最大值为-a+1，由题设得a<—4 d<17

—。+1_而，所以 『>/1/ CL一,综上，q_8或16（四）面积问题考题1.（2015高考新课标1,23）在直角坐标系g中，直线c尤--2，0c-G-i>+G-2>-i,以坐" 1 2标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求cC的极坐标方程.1 2，设"2 3（II）若直线c的极坐标方程为0=（peR）的交点为〃,N，求A，设"2 3(II)1(II)12口•（I）pcos9=-2'p2-2pcos0-4psin9+4=0试题分析：（I）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得c,c的极坐标方程；(ID将将°」1 2 4代入°A4A4c即可求出|MN|,利用三角J'/p2-2pcos°-4Psm8+4=01 ＜」1 ' M形面积公式即可求出cw的面积.2试题解析：(I)因为。。D.e,x=pcosb,y=psinU・・・c的极坐标方程为0c°se2,C的极坐标方程为C pCOSU=-2C1 2p2-2pcos0-4psin0+4=0*(II) 0=— p2-2pcos