江苏省海门市东洲国际学校高三数学二轮复习：微专题14 多元变量问题的处理

微专题14多元变量问题的处理例1)若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．【思维引导】思路1：注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．本题中消去y较容易，所以消去y.思路2：由所求的结论为x2＋y2，想到将条件应用基本不等式构造出x2＋y2，然后将x2＋y2求解出来即可．变式若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________．例2当x>1>y时，有x2－2xy＋y2≥m[xy－(x＋y)＋1]恒成立，则实数m的取值范围为________．多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考的热点．解决多元变量最值问题的常见求解方法有：1.基本不等式法：形如y＝eq\f(dx,ax2＋bx＋c)(a，d≠0)的函数一般可以运用基本不等式求最值或值域．此类问题虽也能用导数求解，但运用基本不等式能快速求解，而且不易出错．类似的函数还有形如y＝eq\f(dx＋f,ax2＋bx＋c)(a，d≠0)，y＝eq\f(dx2＋ex＋f,ax2＋bx＋c)(a，d≠0)．2.换元法：换元法即变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，使隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来．3.消元法：多元变量最值问题的难点很多时候在于变量的个数，在研究条件等式时，会发现很多情况下可以对变量做个减法，三元变二元，二元变一元，就可以化归为我们熟悉的问题了．此外，运用极端化思想法去掉某些变量后求解也不失为一种好方法．1.已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是________．2.若不等式a2＋3b2≥λb(a＋b)对任意a，b∈R恒成立，则实数λ的最大值为________．3.若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000，则eq\f(x,y)＋eq\f(z,t)的最小值为________．4.若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则eq\f(x2＋y2,x－y)的最小值为________．5.已知m，n，s，t∈(0，＋∞)，m＋n＝2，eq\f(m,s)＋eq\f(n,t)＝9，其中m，n是常数，且s＋t的最小值是eq\f(4,9)，满足条件的点(m，n)是圆(x－2)2＋(y－2)2＝4中一弦的中点，那么此弦所在直线的方程为________．6.已知关于x的一元二次不等式ax2＋2x＋b>0的解集为{x|x≠c}，则eq\f(a2＋b2＋2,a＋c)(a＋c≠0)的取值范围是________．7.已知a，b为正实数，且a＋b＝1，那么eq\f(a2＋2,a)＋eq\f(b2,b＋1)的最小值为________．8.已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．9.若x，y均为正实数，且x＋2y＝4，则eq\f(x2,x＋2)＋eq\f(2y2,y＋1)的最小值是________．10.若a2－ab＋b2＝1，a，b是实数，则a＋b的最大值是________．11.已知正实数x，y满足x＋eq\f(2,x)＋3y＋eq\f(4,y)＝10，那