二次函数型有关的恒成立与有解问题学生版

二次函数型的恒成立与有解题型归纳一、知识点形如g(Q=a[fG)[2+bfG)+c的函数称为二次型函数，与二次型函数有关的恒成立或有解问题一般利用二次函数的性质求解.二、例题赏析(一)一元二次不等式在R上的恒成立或有解问题对于二次函数f(x)=ax2+bx+c>0(a丰0)有：f(x)>0在xeR上恒成立oa>0且A<0； 2,f(x)<0在xeR上恒成立oa<0且A<0.基本题型：【例】(2020・贵州高三期末(理))若不等式2让2+让-；<0对一切实数%都成立，则实数上的取值范围为A.(-3,0) B.(-3,0]C.(—oo,0] D.(—oo,—3)U[0,+8)【变式训练】(2019•上海市高一期中)若关于【变式训练】(2019•上海市高一期中)若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+2

x2+x+1>0的解集为R范围为 3 【变式训练】若一兀二次不等式2kx2+kx—3<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()8A.(—3,0] B.[—3,0)C.[—3,0] D.(—3,0)【变式训练】若函数y=log2(kx2-2kx+8)的定义域为一切实数，则实数k的取值范围为(二)一元二次不等式在给定区间上的恒成立或有解问题设f(x)=ax2+bx+c(a丰0).(1)当(1)当a>0时，f(x)>0在xe[a,p]上恒成立o<-b<a或<、f(a)>0人-2b邛或-A<0--->p,

2a八P)>0.f(x)<0在xe[a,p]上恒成立o|f(?<0，If(p)<0.(2)当a<(2)当a<0时，f(x)>0在xe[a,P]上恒成立of(a)>0,f(P)>0.f(x)<0在xe[a,P]上恒成立o-b--—<a2a 或-、f(a)>0b

a<-3<P.2a或-A<0一b>P，2a।f(P)<0.类型一：构造二次函数分类讨论【例】设函数f(x)=mx2—mx—1.若对于x£[1,3],f(x)<—m+5恒成立，求m的取值范围.【变式训练】已知不等式mx2—2x—m+1<0,是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.类型二：分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.利用分离参数法来确定不等式f(x,入)20(xeD,九为实参数)恒成立中参数九的取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，即化为g(九)2f(x)(或g(入)<f(x))恒成立的形式；(2)求f(x)在xeD上的最大(或最小)值；(3)解不等式gG)2/(x)(或gQ)4/G)),得九的取值范围.max min11【例】(2020•吉林吉化第一高级中学校高二期末)已知函数/G)=q%3—5m入2+4%-3在区间11,2]上是增函数，则实数机的取值范围为.【变式训练】(2019•江苏淮阴中学高一期中)已知/(%)=2x—2-尤，若不等式/(r2—以+〃)+/(3)＞。对任意实数无£12,3]恒成立，则实数。的取值范围是.类型三：主参换位~反客为主法【例】(2020•上海中学高一期中)已知二次函数/(x)=4%2—2(2—2)x—2p2—p+l,若在区间[—1,1]内至少存在一个实数％使/(幻＞°，则实数〃的取值范围是.【变式训练】已知函数/(%)=乂2+祖％―1,若对于任意l6[m,机+1],都有/(x)＜。成立，则实数机的取值范围是 .【变式训练】对任意加□[—1,1]，函数＜x)=x2+(加一4)x+4—2加的值恒大于零，求x的取值范围.(三)«[/G)2+bfG)+c＞0恒成立问题形如a[/G)[2+"(x)+c＞0的不等式恒成立问题，可设，=/(%),转化为一元二次不等式，但要注意♦=/(%)的范围.2x—m 【例】(2019•湖南茶陵三中高一期中)函数f(x)=- 是R上的奇函数，m、n是常数.2x+1+n(1)求m,n的值；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)不等式fQ・3x)+f(3x-9x-2)<0对任意xeR恒成立，求实数k的取值范围.【变式训练】若关于x的不等式cos2x+sinx+a<0恒成立，则实数a的取值范围是 .【变式训练】设bGR，若函数f(%)=4久-2久i b在［-1,1］上的最大值是3,则其在［-1,1］上的最小值是()A.2 B.1 C.0D.-1(四)、其它类型：对于二次函数f(x)=ax2+bx+c>0(a中0)有：(1)a>fQ)恒成立=a>fQ)；maxa<fQ)恒成立=a<fQ)；minf(x)>0恒成立Of(x)min>0(注：若f(x)的最小值不存在，则f(x)>0恒成立of(x)的下界大于0)；f(x)<0恒成立Of(x)max<0(注：若f(x)的最大值不存在，则f(x)<0恒成立Of(x)的上界小于0).【例】(2019•河北高一期中)不等式x2-2x+5>a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为【例】(2019•甘肃高二期末(理))若关于1的不等式x2—4x>m对任意％e[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是.【变式训练】【2019天津市和平区高三第二次质量调查】若不等式-%2+2%+342i-3a对任意实数%都成立,则实数。的最大值为三、跟踪训练1、(2020•福建厦门高二月考(理))已知函数f(x)=1x3—1mx2+4x—3在区间11,2]上是增函数，实数m的取值范围为( )A.4<m<5B.2<m<4 C.m<4 d.m<42.己知f(%)=%2+2%+1+a,V%CR,f(/(%))20恒成立，则实数a的取值范围为( )A.[^5-1,+rn] B.[q3,+8] C.[-1,+8) D.[0,+8)223、若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(1,+s)上为增函数，则实数m的取值范围是((—s,1](—s,1](fl)C.(f2]D.(f2)4、已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a£R,b£R),对任意实数x都有f(1~x)=f(1+x)成立，当x引一1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是()A.-1<b<0 B.b>2C.b<-1或b>2 D.不能确定.已知/(%)=6(％—2m)(%+m+3),g(%)=4久—2,若对任意％CR,f(%)<0或g(%)<0,则m的取值范围是( )A.(-7,+8) B.(-8,1) C.(-；,0) D.(0,；).【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】已知平面向量优b满足同=1,⑶=2,|@-b|=V7,若 对于任意实数k,不等式生五十班|>1恒成立，则实数t的取值范围是( )A.(-8,-73)U(V3,+8) B.(-8,-g)U(：,+8) C.(V3,+8)D.(g,+8).【江西省宜丰中学2019届高三第二次月考】在R上定义运算⑤:％0y=x(1-y),若不等式。-a)⑤(%+a)<1对任意实数久恒成立，则实数a的取值范围为()A.-1<a<1B.」<a<3 C.-3<a<】D.0<a<2.【山东省滨州市2019届高三期中】若对于任意的x>0,不等式mx<x2+2x+4恒成立，则实数m的取值范围为( )A.(…，4] B.(-孙6] C. [-2,6] D. [6, +(»).【宁夏银川一中2018届高三第二次模拟】已知不等式孙<a%2+2y2对于％G[1,2],yG[2,3]恒成立，则a的取值范围是A.[1,+8)B.[-1,4)C.[-1,+8) D.[-1,6]10、若关于x的二次不等式ax2+(a—1)x+a—1<0恒成立，则实数a的取值范围是..【安徽省黄山市2019届高三11月“八校联考”】不等式(acos2%-3)sin%>-3对V%GR恒成立，则实数a的取值范围是..【江西省临川第一中学2019届高三10月月考】若不等式k%+3k>|%2-4%-5|对第6[-1,5]恒成立,则实数k的取值范围为.13、(2019•河南高二月考(文))设函数f(x)=mx2-mx-2(1)若对于一切实数f(