全国高考文科数学试题及全国卷

2013年一般高等学校招生全国一致考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1．设会合U1,2,3,4,5,会合A1,2,则euA（A）1,2（B）3,4,5（C）1,2,3,4,5（D）2．已知a是第二象限角，sina5,则cosa13（A）12（B）5（C）5（D）12131313133．已知向量m1,1,n2,2,若mnmn,则=（A）4（B）3（C）-2（D）-14．不等式x222的解集是（A）-1,1（B）-2,2（C）-1,00,1（D）-2,00,285．x2的张开式中x6的系数是（A）28（B）56（C）112（D）2246．函数fxlog211x0的反函数f-1x=x（A）1x0（B）1x0（C）2x1xR（D）2x1x02x12x17．已知数列an知足3an1an0,a24,则an的前10项和等于3（A）-101-10（C）-10-10-61-3（）1-331-3（）31+398．已知F11,0,F21,0是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交于A、B两点，且AB3，则C的方程为（A）x2y21（B）x2y21（C）x2y2x2y2123241（D）4359．若函数ysinx0的部分图像如图，则=（A）5（B）4（C）3（D）2110．已知曲线yx4ax21在点-1，a2处切线的斜率为8，a=（A）9（B）6（C）-9（D）-611．已知正四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AA12AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（A）2（B）3（C）2（D）1333312．已知抛物线C:y28x与点M2,2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若MAMB0，则k（A）1（B）2（C）2（D）222二、填空题：本大题共4小题，每题5分13．设fx是以2为周期的函数，且当x1,3时，fx=.14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）x0,15．若x、y知足拘束条件x3y4,则zxy的最小值为.3xy4,16．已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，3，且圆O与圆K所在的平面所成角为则球O的表面积等于.OK60，2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）等差数列an中，a74,a192a9,（I）求a的通项公式；n（II）设bn1,求数列bn的前n项和Sn.nan18．（本小题满分12分）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，(abc)(abc)ac。（I）求B231（II）若sinAsinC，求C。419．（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD,PAB与PAD2都是边长为的等边三角形.（I）证明：PBCD;（II）求点A到平面PCD的距离.20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，此中两人竞赛，另一人当裁判，每局竞赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中两方获胜的概率均为1,各局竞赛的结果都互相独立，第1局甲2当裁判.I）求第4局甲当裁判的概率；II）求前4局中乙恰巧当1次裁判概率.21．（本小题满分12分）已知函数fx=x33ax23x1.I）求a2时，讨论fx的单一性;；（II）若x2,时，fx0,求a的取值范围.22．（本小题满分12分）已知双曲线C:x2y21a0,b0的左、右焦点分别为F，F，离心率为3，直线a2b2122与C的两个交点间的距离为6.I）求a,b;；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别订交于A、B两点，且AF1BF1,证明：AF2、AB、BF2成等比数列3参照答案一、选择题1．B2.A3.B4.D5.C6.A7.C8.C9.B10.D11.A12.D13.-114.6015.016.1617．（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则ana1(n1)d因为a74a16d4.，因此a192a9a118d2(a18d)解得，a111,d.2因此{an}的通项公式为ann12.（Ⅱ）bn121)2n2，nann(nn1因此Sn(22)(22)(2n2)2n.1223n1n118.（Ⅰ）因为(abc)(abc)ac，因此a2c2b2ac.由余弦定理得，cosBa2c2b212ac，2因此，B1200.（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC600，因此cos(AC)cosAcosCsinAsinCcosAcosCsinAsinC2sinAsinCcos(AC)2sinAsinC131322，42故AC300或AC300，因此，C150或C450.（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.4连接OA，OB,OD,OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PA=PB=PD，因此OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OEBD，进而PBOE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，因此OE//CD.因此，PBCD.（Ⅱ）解：取PD的中点F，连接OF，则OF//PB.由（Ⅰ）知，PBCD，故OFCD.又OD1BD2，OPPD2OD22，2故POD为等腰三角形，因此，OFPD.又PDCDD，因此OF平面PCD.因为AE//CD，CD平面PCD，AE平面PCD，因此AE//平面PCD.因此，O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而11，OFPB2因此A至平面PCD的距离为1.（Ⅰ）记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加竞赛时，结果为甲负”，表示事件“第4局甲当裁判”.则A=A1A2.P(A)=P(A1A2)P(A1)P(A2)1.4（Ⅱ）记B1表示事件“第1局结果为乙胜”，B2表示事件“第2局乙参加竞赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第3局乙参加竞赛时，结果为乙胜”，B表示事件“前4局中恰巧当1次裁判”.则BBBBBBBB.1312312P(B)P(B1B3B1B2B3B1B2)P(B1B3)P(B1B2B3)P(B1B2)P(B1)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)P(B1)P(B2)51115.484821.（Ⅰ）当a-2时，fx=x3-32x23x1.f'(x)3x262x3.令f'(x)0，得，x121，x221.当x(,21)时，f'(x)0，f(x)在(,21)是增函数；当x(21,21)时，f'(x)0，f(x)在(21,21)是减函数；当x(21,)时，f'(x)0，f(x)在(21,)是增函数；（Ⅱ）由f(2)0得，a5.4当a5，x(2,)时，4f'(x)3(x22ax1)3(x25x1)3(x1)(x2)0，22因此f(x)在(2,)是增函数，于是当x[2,)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是[5,).422.（Ⅰ）由题设知c3，即a2b29，故b28a2.aa2因此C的方程为8x2y28a2.将y=2代入上式，求得，xa21.2由题设知，2a216，解得，a21.2因此a1,b22.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F1(3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2y28.①由题意可设l的方程为yk(x3)，|k|22，代入①并化简得，(k28)x26k2x9k280.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则6x11，x21，x1x26k2，x1x29k28.k28k28于是|AF1|(x13)2y12(x13)28x128(3x11)，|BF1|(x23)2y22(x23)28x2283x21由|AF1||BF1|得，(3x11)3x21，即x1x22.36k2224x219故28，解得