多元函数基本概念

多元函数基本概念第一页，共四十三页，2022年，8月28日（1）邻域一、多元函数的概念第二页，共四十三页，2022年，8月28日（2）区域例如，即为开集．第三页，共四十三页，2022年，8月28日第四页，共四十三页，2022年，8月28日连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，第五页，共四十三页，2022年，8月28日有界闭区域；无界开区域．例如，第六页，共四十三页，2022年，8月28日（3）n维空间n维空间的记号为说明：n维空间中两点间距离公式

设n为取定的一个自然数，我们称

n元数组),,,(21nxxxL的全体为n维空间，而每个

n元数组),,,(21nxxxL称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第

i个坐标.

第七页，共四十三页，2022年，8月28日n维空间中邻域、区域等概念特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域等概念也可定义．邻域：设两点为第八页，共四十三页，2022年，8月28日（4）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．二元函数的定义域第九页，共四十三页，2022年，8月28日例1求的定义域．解所求定义域为第十页，共四十三页，2022年，8月28日（５）二元函数的图形（如下页图）第十一页，共四十三页，2022年，8月28日二元函数的图形通常是一张曲面.第十二页，共四十三页，2022年，8月28日例如,图形如右图.例如,图型是球面.单值分支:第十三页，共四十三页，2022年，8月28日二、二元函数的极限第十四页，共四十三页，2022年，8月28日说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．注意：当P以不同的方式趋于P0点时，函数值趋于不同的值，则可断定P趋于P0时极限不存在。第十五页，共四十三页，2022年，8月28日确定极限不存在的方法：第十六页，共四十三页，2022年，8月28日例2求证证第十七页，共四十三页，2022年，8月28日二元函数与一元函数求极限的方法类似。第十八页，共四十三页，2022年，8月28日练习证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．第十九页，共四十三页，2022年，8月28日三、二元函数的连续性定义3第二十页，共四十三页，2022年，8月28日例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日二元函数在其定义域区域内也是连续函数。二元初等函数定义可以用一个式子表示的二元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算而成的。一切二元初等函数在其定义域区域内连续。定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日例8解第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日思考题第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日思考题解答不能.例取但是不存在.因为，取第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日练习题第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日第三十页，共四十三页，2022年，8月28日练习题答案第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日不存在.观察第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日观察不存在.第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日观察不存在.第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日观察不存在.第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日观察不存在.第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日观察不存在.第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日观察不存在.第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日观察不存在.第三十九页，共四十三页，2022年，8月28日观察不存在.