考研数学公式手册随身看

一、高等数 (一)函数、极限、连 (二)一元函数微分 (四)向量代数和空间解析几 二、线性代 (一)行列 (三)向 三、概率论与数理统 (二)随量及其概率分 (三)随量及其分 (四)随量的数字特 经常用到的初等数学公 平面几 一、高等数(一)函数、极限、连考试内公式、定理、概函数：设有两个变量xy，变量x的定义域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一yxyf基本初基本初等函数包括五类函数1幂函数:yxRyaxa0a1对数函数:ylogax(a0a1三角函数:ysinxycosxytanx等C和基本初等函数经过有限次四则运算表示的函数，称为初等函数函数的质及其形，初函数，数关系建立limf(x)Af(x)f(x) limf(xAf(x0Aa(x其中lima(x3(保号定理及其性质，函与右极设limf(xA又A0(或A0),则一个0当x(x0x0),且xx0时，f(x0(或f(x小的比设lim（x0lim(x))若lim(xc(c0),则(x)与（x是同阶无穷)记为(x)若lim(x)c(c0k0,则(x)是（x)的kksin arcsinx 1cos tan arctanx (1x)n ex limf(xAlimg(xB.lim(f(x)g(x))ABlimf(x)g(x)ABlimf(x)A(B 和且lim(xlim(xA,则limf(x2单调有界定理：单调有界的数列必3sin (2)lim(1x)x a0,naxnaxn1 ax 重要公式：lim n0,nxbxmbxm1 x 4limnn limarctanx limarctan limarccotx limarccotx limex limex limxx (连续函数的有界性)设函数fx在a,b上连续,则fx在a,b上有界,即常数M0，对任意的xa,b,恒fxM(最值定理)设函数fx在a,b上连续,则在a,bfx至少取得最大值与最小值各一次,即,使得fmaxfx,a,bfminfx,a,b(介值定理)若函数fx在a,b上连续,是介于fa与fb(Mm)之间的任一实数,则在a,b上至少一个,f.ab(零点定理或根的存在性定理)设函数fx在a,b上续,fafb0,则在a,b内至少一个,使f0.a(二)一元函数微分考试内对应公式、定理、概物理意1导数定义f'(xlimf(x0xf(x0 f'(x)limf(x)f(x0 xx02f(xx0处的左、右导数分别定义为：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0),(xx x 右导数：f(x)limf(x0xf(x0)limf(xf(x0 xTh1:f(xx0处可微f(xx0Th2:yf(xx0yf(xx0处Th3:f(x0存在f(x0f(x0设函数f(x)在xx0处可导，则f(x)在M(x0y0)切线方程：yy0f'(x0)(xx0法线方程:y-y (xx),f'(x) f'(x 0分的四运算，四则运算法则:设函数uu(x)vv(xx(uv)u d(uv)du(uv)uv d(uv)udv(3)(u)vuuv(v0) d(u)vduudv yc（常数 y dyyx(为实数 yx dyxy yaxln dyaxln特 (ex) d(ex)y dy xlna xlna特例ylnx (lnx)1 d(lnx)1dx ysin ycos d(sinx)cos ysin d(cosx)sinytan y sec2 d(tanx)sec2cos2ycot y csc2 d(cotx)csc2sin2ysec ysecxtan d(secx)secxtanycsc ycscxcot d(cscx)cscxcot y d(arcsinx) 1 1 y d(arccosx) 1 1 y d(arctanx) 1 1yarccot y d(arccotx) 1 1y yy yd(shx)d(chx)1反函数的运算法则:yf(xx的某邻域内单调连xf(x0xydy 2复合函数的运算法则:(xx可导,yf()((x)可导,yf((xx可导,yf((x)3dyx的复合函数.1y2lnyeyx的复合函数yx求导应按复合函数连锁法则做公式法.F(xy)0知dyFx(x,y),F(xy F(x, yFy(xy)F(xyxy(ax)(n)axlnna(a(sinkx)(n)knsin(kxn2(coskx)(n)kncos(kxn2(ex)(n)e（4）(xm)(n)m(m- (m-n+1)xm-（5）(lnx)(n)(1)(n1)(n（6）莱布尼兹公式：若u(x,v(xnn(uv)(n)ciu(iv(n-i)，其中u(0)=uv(0)n泰勒公Th1(费马定理)f(xf(xx0f(xf(x0f(xf(x0f(xx0处可导,则有f(x0Th2(罗尔定理)f(x在闭区间[ab在(a,b)内可导，则在(a,b)内一个， f()Th3(拉格朗日中值定理)f(x在[ab上连续；(2)在(ab内可导；则在(ab内， f(b)f(a)f(bTh4(柯西中值定理)f(xg(x在[ab上连续；(2)在(abf(x，g(x)且g(x)0则在(a,b)内一个， f(b)f(a)f(g(b) g(法则Ⅰ0型)fxgx0limfx0limgx0;fxgxx0(x处可除外)gx0limfx存在(或). xxgfx fx lim xxgx xxgx法则I0型)fxgx0limfx0limgx0X0,x 时,fxgx可导,gx0;limfx存在(或).xxgfx fx lim xxgx xxgx法则Ⅱ型)fxgxlimfxlimgx fxgxx0导(x处可除外)gx0limfx存在(或). xxglimfxlimfx同理法则II型)仿法则Ixxg xxg 泰勒公式:f(xx0n1阶导x0xx0x之间至少一个f(x)f(x)f(x)(xx)1f(x)(xx)2 f(n)(x 0(x x)n R(x) 其 f(n1)( n1称为f(x)在点x处的Rn(x)(n1)!(xx0 n阶泰勒余项.x00nf(x)f(0)f(0)x1f(0)x2 (0)xnR 其 f(n1)()n1，在0与x之间.(1)式称为麦Rn(x)(n1)!x00 e1x x x (n或1x1x2 1xno(xn 13 n1sinxx x sin( (n 或 1 nx x o(x) n1cosx1 x cos( (n 1 1 x o(x) 1 1 n1 (1)nln(1x)x x x n x1x21x3 (1)n1xo(xn (1x)m1mxm(m1)x2 m(m (mn1) m(m (mn1xn1(1)mn1(n(1x)m1mxm(m1)x2m(m (mn1)xno(xn1Th1f(x在(ab区间内可导，如果对x(a,b)，都f'(x)0（f'(x)0f(x在(ab内是单调增Th2（取极值的必要条件）f(xx0x0f'(x00Th3（取极值的第一充分条件）f(xx0的某一邻f'(x0)0（f(xx0f'(x0不xx0f'(x由“+”变“-f(x0为极大”变“+(3)f'(xxx0f(x0不是极值Th4(取极值的第二充分条件)f(xx0f''(x0，f'(x0)0f''(x0)0f(x0)为极大值；f''(x0)0f(x0为极小值.注：如果f''(x0＝0，此方法失效.2水平渐近 若limf(x)b，或limf(x)b，则y yf(x的水平渐近线铅直渐近 若limf(x)或limf(x)则x yf(x的铅直渐近线斜渐近 若alimf(x),blim[f(x)ax]，x yaxbyf(x3Th1凹凸性的判别定理）If''(x0（f''(x0则f(x)I上是凸的（或凹的）.Th21)x0f''(x0（f''(x不存在xx0f''(x变号，则(x0,f(x0为拐点Th32)f(xx0f''(x)0f'''(x)0，则(x0,f(x01.1.dS1y'22.yf(x在点(xyky(1y'2.对于参数方程x(t)k,y['(t)'22.1k考试内对应公式、定理、概kf(x)dxkf （k0为常数[f1(x)f2(x) fk(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx fk求导：[f(x)dx]'f 或微分：df(x)dxf4F'(x)dxF(xC或dF(xF(xC（C是任意常数xkdx1xk1Ck11dx1C （k1dx2xC1dxlnxC

adx

(a0,a edxecosxdxsinx sinxdxcosx1cos211sin21

dxsec2xdxtanxCdxcsc2xdxcotxC 1dxcscxdxlncscxcotx sin 1dxsecxdxlnsecxtanx secxtanxdxsecxtanxdxlncosx

cscxcotxdxcscxcotxdxlnsinx1a21

1arctanxC

1

arctanxa2 arcsina2aaa

arcsinxC

1

1ln1xa2

1

1x2x2 x2x2重要公 lf(x)dx0[f(x)f f ff f(x)dx0f(x)dxTf22 a2x2dx1a n1n 1 2sinnxdx2cosnxdx n 2 n1n n ,n cosnxcosmxdx2cosnxcosmxdx0,n 0,n1．定积分的基 af(x)dxaf(t)dtaf(u)du af(x)dxbfbadxb a[f(x)g(x)]dxaf(x)dxa则 akf(x)dxkaf(x)dx(k为常数 af(x)dxaf(x)dxcf 比较定理：设f(x)g(xx[ab],则af(x)dxab推论：1.当f(x0,x[ab]时，af(x)dx 2.|af(x)dx|a|f(x)估值定理：设mf(xMx[ab其中mMbm(ba)af(x)dxM(b积分中值定理：设f(x)在[ab]上连续，则在[ab]上至少一个b使af(x)dx(baf(f()1bf(x)dxbafx且有F'(x)dF(x)d(xf(t)dt)f(x) (推论1设 f(t)dt,则F'(x)f[(x)]( 推论2(x)f(t)dt)xf[(x)]'(xf[(x( (推论3 f(t)g(x)dt)' f (g f(t)dtg(x)f[(x)]xf(x)dt是f(x)在[a,b]上的一个原函a是f(x的原函数，则bf(x)dxF(x|bF(b 部积分1分部积分法：udvuvvdu选择u，dv的原则：积分容易者选作dv，求导简单者选为u换元积分法设f(u)duF(u则f[(x)]'(x)dxf设u(x)f(u)duF(uCF[(x2定积f af(x)dxf[(t)]分部积分公uv u(x)v'(x)dxu(x)v(x)|av(x)u 3．定积分不等式证明中常用的不等(1)a2b2 (2)a0,a1a(f(x)g(x)dx)2f2(x)dxg2(x)dx, f），（）1．三角函数代f(xa2xasina2xatanx2xa有理函数积AdxAln|xa|Cxa dxA C(n1)(xa)n n1(xa)n1p (x2px p 4q (u2a2[(x)2 4 x dx (a (x2px 2(n1)(x2px (x2px（p24q04广义积（1）无穷限的广义积分（无穷积分 f f(x)dx=limaf -f(x)dx=limaf f(x)dxf(x)dx f（2）函数的广义积分（瑕积分 f(x)dxlim f(x)dx,(当xb时，f(x 0 f(x)dxlim f 0 ３.af(x)dxlim f(x)dxlimcf f(四)向量代数和空间解析几考试内对应公式、定理、概a的大小.aaxiyjzk{xyz，则ax2y24 设有矢量a{x1,y1,z1}，b{x2,y2,z2}，则ab{x1x2,y1y2,z1z2}.Ⅱ.数乘运 数乘运算矢量a与一数量之积aa 0,即与aa =0,即为零矢 设a{x,y,z}， 11aa00,即与aa{x1,y1,1矢量的数积（点积，内积a与bababcosabax1y1z1}b{x2y2z2}，则abx1x2y1y2z1z22矢量的向量积（叉积，外积a与b，若ccabsin(a,b)cacbcab（3）a，b，c成右手系.则称矢量ca与b的矢量积，记cab.ax1y1z1}b{x2y2z2 jabxy y1z1ix1z1jx1y11 x xx 3abcab的叉积ab，c作点积(abca，b，的混合积，记为(abc)，即(a,bc)abc.ax1,y1z1}b{x2y2z2c{x3y3z3x1y1则(abc)x2y2x3y31ax1y1z1}b{x2y2z2cx3y3（1）abab0x1x2y1y2z1z20（2）a//bab0x1y1z1 0ab不共线不全为零的数使ab0矢量a与bcos(ab) x1x2y1y2z1 x2y2z2x2y2z abc共面不全为零的数,vabvc0或者(a,bc)21的向量.向量aa0a0a , , x2y2z2 x2y2z2 x2y2z2 3cos ,cos ,cos x2y2 x2y2 x2y2其中,a与各坐标轴正向的夹角4a0coscoscoscos2cos2cos2线的距1AxCzD0y轴平面的点法式方程A(xx0Byy0C(zz0M(x0,y0z0n{AB,Cxx1yy1z三点式方程x2x1y2y1z2x3x1y3y1z3M1(x1y1z1)M2(x2y2z2M3(x3y3z3)截距式方 xyz1，a,b,c分别为平面上坐标轴 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,2 ：AxByCxD0平面 平面1与平面2n1{A1 jn2A2B2,C2}sn1n2A1B1A2B2xx0yy0z M(xyz 0s{lmn两点式方 xx1yy1zx2 y2 z2M1(x1y1z1)M2(x2y2z2xx0参数式方程yy M(x,y,z)为直线上已 0zz s{lmn1：A1xB1yC1zD10平面2平面//平面A1B1 平面1平面2A1A2B1B2C1C2平面1与平面2的夹角cos A2B2C2A2B2C 直线L:xx0yy0z 平面1A1xB1yC1zD1L// BmCnLAB L与的夹角sin

AlBmA2A2B2C2l2L:xx1yy1z1

:xx2yy2zz2

l1m1n1 L1L2l1l2m1m2n1n2L1L2的夹角l1l2l1l2m1m2l2m2n2l2m2 6M(x0y0z0AxByCzD0A2A2B2Ax0By0Cz07M(x0y0z01L:xx1yy1zz11 x0x1y0y1z0z1M1M0M1P d l2m2准线为fx,y0,母线z轴的柱面方程 fx,y0准线为: ,母线//y轴的柱面方程 x,z0 y,z0fx,y,z准线为: ,母线的方向矢量为l,m,gx,y,z首先,在准线上任取一点x,y,z,则过点x,y,z的母线方程XxYyZz 其中X,YZ为母线上任一点的流动坐标消去方程组fx,y,zgx,y,zX Y Z xyz常用的次曲面程及其x2y2形，空2y1曲线的数方程一般程，空2y1曲线在标面上投影曲方程xzyx22py,p标准二次方程及其图x yx2y2z2 a,bc均为正数x2y2z2 a,bc均为正数 xyz a,bc均为正数x2y2 2面a,b,p为正数x2y2 2a,b,p均为正数x2y2z2 a,bc为正数z x(五)多元函数微分考试内对应公式、定理、概多元函zf(x,y（两偏导存在可导可微zf'(x,y)xf'(x, 的概念二元函的几何义，二函数的限和连的概念有界闭基本原Th1(求偏导与次序无关定理设zf(xy)的两个混合偏导数fxy),f''(x 在区域D内连续,则有fxyfx Th2(可微与偏导存在的关系定理)若zf(x,y)在P(x,点处可微,则在该点处zz必存在,且有dzzdxzx 域上多连续函的性质多元函偏导数全微分全微分在的必条件和分条件若zf(xy)zz在P(xx上的某领域内存在,且在P(x,y)则zf(xy)在P(xy)1zzuz设zf(u,v),u(x,y),v(x,y),则 u v z z u v设zf(uvu(xv则dzzduzdv称之为zdxu v设zf(xuvu(xyv(xzffuf则 u v f f 0 u v1，2，3……表示更简洁.2隐函数微分设F(xy)0,则dyF'x(x F'y(x,F(xyz)0,则zF'x(xyzzF'y(xy F'z(x,y,z) F'z(x,y,设由方程组F(x,y,z)=0确定的隐函数yy(xzdydzdydzdx dxF'F'dyF'dz F'dyF'dzF' y z y z G'G'dyG'dz G'dyG'dzG y z y z Th1zf(xy)M0(x0y0)处可微，则f(xy)在点M0(x0,y0)沿任意方向l(coscos)f(x0,y0)f(x0,y0)cosf(x0,y0)cos 在平面上ll(cos,sin)是l的极角，[02此时相应的方向导数的计算公式为f(x0y0)f(x0y0cosf(x0y0sin Th2设三元函数uf(xyzM0(x0y0z0uf(x,yzM0(x0,y0z0lcoscoscos)f(x0,y0,z0)f(x0,y0,z0)cosf(x0,y0,z0)cos f(x0,y0,z0)coszf(xy)M0f(x0,y0)(f(x0,y0),f(x0,y0))(cos,cos grad(f(x0,y0))lgradf(x0,y0)cosgrad(f(x0,y0gradf(xy)(f(x0y0f(x0y0)) zf(xy)M0的梯度(向量f(x0y0随llgradf(x0y0)即沿梯度方向时， grad(f(x0,y0gradf(x0y01．曲线的切线及法平面方x曲线yy(t)在(xyz)t 0 z处的切线方程xx0yy0z：x'(t0 y'(t0 z'(t0法平面方程：x'(t0)(xx0y'(t0yy0z'(t0)(zz0)G(x,y,z)（x0切线方程：x yy0 z(F, (F, (F,(y, (z, (x, 法线方程(F,G)（xx)(F,G)(yy)(F,G)(zz)(y, (z, (x, 2．空间曲面在其上某点处的切平面和切平面方程z(xxzyyzz) x y法线方程xx0yy0z： x p切平面方程：F'x(xx0Fyyy0Fz(zz0 法线方程xx0yy0z：F'x F'y F'z简单应1多元函数的极值设函数zf(xy)在P(x0y0的某邻域内有定义若对于该邻内异P(x0y0)点Q(xy)f(xyf(x0y0)(或f(x0y0)1设zf(xy)在P(x0y0)点的一阶偏导数存在f'(x,y)P(x,y)是zf(x,y)的极值点，则 fy(x0,y0)T2函数取极值的充分条件设zf(x,y)在P(x0,y0)点的某邻域内连续的二阶偏导数,且f'x(x0y0)0,f'y(x0y0)[f"(x,y)]2f"2(x,y)f"2(x,y)xy 则P(x0y0)是zf(xy)的一个极值若f2xy0(或f"2xy0),则P(xy) 若f2xy0(或f"2xy0),则P(xy) 2无条件极值求出zf(xy)的驻点（x0y0用Th2判别(x0y0)则f(x0y0)为zf(x,y)的极值。3条件极值（拉格朗日乘数法解题程序令F(x,y)=f(x,f'x(x,y)'x(x,y)解方程组f'(x,y)'(x,y) 求驻点(x,y (x,y)f(x0y0)即为f(xy)的极值（存在的话由条件(x,y,z)=0,求uf(xyz)的极值。解题程序：f'x(x,y，z)'x(x,y,z)f'(x,y,z)'(x,y,z)解方程组 f'(x,y,z)'(x,y,z) 若（x0,y0z0)为其解f(x0,y0z0)即为f(xyz)的极值（若存在的话由条件xyz)0.2(xyz)0求函数uf(xyz)的极值以下1）2）(六)多元函数积分考试内对应公式、定理、概分的概1nI=f(x,y)d=limf(i,i)i,其中dmaxdid i 几何意义nnI=F(xyz)dvlimf(i,i,i)vi其中dmaxdid i di为vi的直径（i12,物理意义三重积分I表示体密度为f(x,yz)的空间形体的质性质(只叙述二重积分的性质，三重积分类似f [f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x, nf(xy)df(xy)d其中DiD i1 ,D(5)（比较定理若在D上恒有f(x,y)g(x,y),则f(x,y)dg(x, D则在D上至少一点（，），使f(xy)d=f(,D(8)二重积分的对称性原如果积分域D关于x轴对称，f(x,y)为y的奇偶函数，则二重积分f(x,y)dD0,f关于y为奇函数，即f(xy)f(x2f(xy)d,f关于y为偶函数，即f(xy)f(x,则二重积分f(xD0,f关于x的奇函数，即f(xy)f(x2f(xy)d,f关于x为偶函数，即f(xy)f(xD2为D在右半平面部则二重积分f(xD0,f关于x,y的奇函数，即f(xy)f(x2f(xy)d,f关于x，y为偶函数，即f(xyf(x4）如果D关于直线yx对称，则f(xy)df(x 注：注意到二重积分积分域Df(x,y)要特别注意的是仅当积分域Df(x,y)平面曲线积分与路径无关的四个等P(xy),Q(xyD上具有一阶连续偏导数，则LPdxQdy与路径无关QP,(x,y) LPdxQdy0L存在函数u(x,y),(x,yDdu(x,y)PdxQdy(x,u(x,y)(x,y)PdxDP(x,y),Q(x,yD(QP)dxdyPdxD 或者(Q或者(QP)dxdyPdxD 公式1高斯(Gauss)设SP(xyz),Q(x,yzR(x,yz)在由连续的一阶偏(PQR)dVPdydzQdzdxRdxdy (PQR)dV（PcosQcosRcos 这里S()，cos,cos,cosS上点(x,yz)处的外法向量的方向余弦.2斯托克斯公式设为分段光滑的又向闭曲线，S是以为边界的分块光滑有向曲面的正向与S的侧(即法向量的指向)符合右手法P(xyz),Q(xyzR(xyzS的一个空间区(RQ)dydz(PR)dzdx(QP)dxdyPdxS dzdx( PdxQdyRdzS (RQ)cos(PR)cos(QP)cosS PdxQdy1P(xyzdivAPQ 2AP(xyz)iQ(xyzjR(xyz)k，其P,QRrotA分的应ijkPQRrotA(七)无穷级rotA考试内对应公式、定理、概1级数un的性质 (1)设c0的常数，则un与cun 若unsvn,则(unvns 若unvn均发散则(unvn)敛散性不定 注：添加或去消有限项不影响一个级数的敛散性设级数un正项级数un（un0）的判敛比较判敛法：设0unvn un收敛，则vn收 un发散，则vn发 比较法的极限形式：设un及vn 且limunA(vn n 若0A,且vn收敛，则un 若0A,且vn发散，则un 两个常用的 a,|r|等比级数arn1 | 收敛，p1p级数np 发散，p1(3)比值判别法（达朗贝尔准则（适用于通项un中含有n的若干连乘积形式 对于un来 时，n n若limun11时，方法失n 收敛与件收敛1错级数(1)n1uu0 莱布尼兹准若交错级数(1)n1uu0)满足条件 );(2)limunSu1其n项余和的绝对值|Rn|敛域级数的1幂级数：aaxax2 axn a 收敛半径，若liman1,则R1n 2．函数项级数un(x)收敛域的求lim|un1(x|(x)(或limn|u(x|n|u(x)| 函数) a() 1 设axnf(xbxng(x),其收敛半径分别 ), axnbxn(ab)xnf(xg(x（- (axn)(bxn)(abab abab)xn 0n 1n1 n11 n0 f设b00,则在x0f(x)aax axn 0 CxC C bbx bxn Ca0Ca1b0a0b1 2nfn axn可逐项微分，且f=(axn)' (axn)'naxn1 axn可逐项积分，且xft）dt=xatn)dt (xatndt)an0 n 3ff(n)(x f"(x 0(xx)nf(x)f'(x)(xx) 0(xx)2 f(n)(x 0(xx 称为fx）在xx0处的泰勒级数f(n)(0) f xf(0)f'(0)x 2!x (0)xnTh设f(x)在xx0f(n)(x 0(xx 收敛于f(x)的充分条件limRn(x其中R(x) f(n1)[x(xx)](xx)n1,0 (n 411uu2 un un,(1,1)1u 11uu2 (1)nun (1)nun,(1,1)1u e1u ,(, n0 n nsinuu (1) (1) (2n1)! (2n1)! n ncosu12!4! (1)(2n)! (1)(2n),(, n nln(1u)u , n n(1u)a1aua(a1)u2 a(a (an1) (a的不同而不同，但在(-1，1)总有意义在[la=1f(x)cosnxdx12f(x)cosnxdx,(n0,1,2,n b1f(x)sinnxdx12f(x)sinnxdx,(n1,2, 称为f(x)的傅立叶系2f(x)的傅立叶系数为系数的三角级数1a(acosnxbsin2 0 a (acosnxbsina1lf(x)cosnxdx,(n0,1,2 l b1lf(x)sinnxdx,(n0,1,2 l 2 为系数的三角级数a (a xb 20 a (a xb 3f(x)在[-,]只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数在[-，f(xx为f(x)的连续点 0(acosxbsinnxf(x0f(x0x为fx）的第一类间断点 n 函数在[0l]f(x)为[0lf(x),0x F(x)f(xlx0f(x~2ancoslx（余弦 数，其中a2lf(xcosnxdx l f(x)为[0lF(x)f(x0x F(x)除x=0外在区间[,f(x),lxf(x~bsinnx（正弦级数 b2lf(x)sinnxdx l (八)常微分方考试内对应公式、定理、概常微分常微分方程含有自变量、未知函数及未知函数的某些导f1(x)g1y)dxf2(x)g2y)dygyf(x)0，得f1(x)dxg2ydy f g( f1(x)dxg2(y)dyCf2(x) g1(y)程的基概念，量可分的微分程奇次微齐次方程yfyx解法：令uyyuxyuxdu uxduf(u)du dxdu lnxC f(u)u f(u)u可化为齐次型的方程dyfa1xb1yc1 axbyc 2解法：(1)当c1c20abydyfa1xb1yf 1xgy)属于 axby y 2 a2 x(2)a1b10a1b1 方程，阶线性分方程伯努利程，全分方程dyf(a2xb2y)c1g(axby) axbyc 2axbyu，则duabf(u属于 (3)．a1b10,c,c不全为 解方程组a1xb1yc1 1 axbyc 求交点(xXyY则原方程dyX)属于 3y'p(xyy'p(xy0yCepyC(x)epp( p(C q(x)C(x) 原方程通 y[q(x)ep(x)dxdxC]ep(贝努里方程y'p(xyq(xyn，其中n解法：令Zy1n，则方程 1dzp(x)zq(x)1ndz1np(x)z(1n)q(x属于M(x,y)dxN(x,y)dy0MN.通解为xM(xy)dxyN(xy)dy yp(xyq(xyf (8.1)其中p(xq(x),f(x)均为连f(x0时，称为二阶线性齐次方程，否解的性质与结构(以下性质可推广到任意高阶的线性方程1y1(xy2(xyp(xyq(xy0(8.2)的两y(xy(x线性无关(y1(x)(常数，则(8.2) y2y(x)C1y1(xC2y22y1(xy2(x为非线性方程(8.1)y1(xy2(x为相应齐次方程(8.2)3yx)为非齐次方程(8.1)y(x)(8.2)yxy(x)为(8.1)的解，特别地，y1(x),y2(x为(8.2)两个线性无关的特解，则(8.1)的通解为y(xyxCy(xCy(x，其中CC为任意常数1 2 数奇次性微分1二阶常系数线性齐次方程y''py'qy (1)其中p,微分方2pq当12为相异的特征根时，方程(1)y(x)CexCe 当y(x)(CC 当i（复根）y(x)ex(CcosxCsin 2n阶常系数齐次线性方程y(n)pyn1)pyn2) py0(＊)，其 pi(i1 nnp(n1)p(n2) p 若1,2 ,n是个n相异实根，则方程(＊)的通解y(x)CexCex C 若0为特征方程的k(kn)重实根，则(＊)的通解中含有：(CCx Cxk1)ex 若ik(2kn)的通ex[(CCxCxk1)cosx(DDxDxk1)sin 1二阶常系数线性非齐次方程y''py'qyf(x)(2)其中pq(1)．求对应齐次方程的通解Y(x)(2)．求出(2)y*(x)(3)．方程(2)yY(xy方程(2)y*x)待定系数法2形如xny(n)axn1y(n1) axyay0的方程成为 拉方程二、线性代(一)行列考试内对应公式、定理、概行列式按行（列）设A(a ,则aAaA aAA,iij i1 i2j in 0,i或aAaA aAA,i1i1 2i2 ni 0,i AA*A*AAE,其 A n1A* A(A)(A n2 A nnAB为n阶方阵，则ABABBAABAB不一定成|kA|kn|A|A为nA A A |A||B|，A,B为方阵， (6)范德蒙行列式D (xx 1jin xn1 设A是n阶方阵，i(i1, ,n)是A的n个特征值，n|A|i(二)矩考试内对应公式、定理、概的乘法 a1n 2n a mnA,或(aij)mn.若mAn阶方阵1A(aijB(bijmnm矩阵C(cij)aijbijABAB2A(aijmnkmn矩阵(kaij)kAkA3Aaijmn矩阵，Bbij)nsms矩阵C(cij)ncijai1b1jai2b2j k积，记为C1)(AT)TA,(AB)TBTAT,(kA)TkAT,(AB)TAT2A1)1AAB)1B1A1kA)11A1kAB)1A1B13)(A*)*|A|n2A(n3)，(AB)*B*(kA)*kn1A*(n2).但AB)*A*B*4)(A1)T(AT)1,(A1)*(A*)1,(A*)T(AT)*2A*AA*A*A|A||A*||A|n1(n2),(kA)*kn1A*,(A*)*|A|n2A(nAA*|A|A1A*)*1|An,r(A)AnrA*),rA)n0,r(A)n3A1的结A可逆ABE|A|0rAA可以表示为初等矩阵的乘积及其运12）r(Amn)min(mn);3）A0r(A)14）r(AB)r(A)rAr(Bnr(AB)min(rAr(B)),ABrAr(B)若A1存在r(AB) 若B1存r(AB)r(rAmnnr(ABrAmsnrABrr(AmsnAx0只有零2分块求逆公AO O B B1 AC A1CB1OB AO O B1 A B1BO O A，B (三)向考试内对应公式、定理、概1有关向量组的线性表1,2, ,s线性相关至少有一个向量可以用其余向若1,2 ,s线性无关，1,2 ,s，线性相关可以由1,2 ,s惟一线性表示可以由1,2 ,s线性表r(1,2 ,s)r(1,2 ,s,2有关向量组的线性相关部分相关，整体相关；整体无关，部分无关n个n n线性无关|[1，2，，n|n个n维向量1 n线性相|[1,2 ,n]|n+1个n维向量线性相关③若1 S线性无关，则添加分量后仍线性无关1有关向量组的线性表1,2, ,s线性相关至少有一个向量可以用其余向若1,2 ,s线性无关，1,2 ,s，线性相关可以由1,2 ,s惟一线性表示可以由 ,s线性表 ,s)r(1,2 ,s,1rAmnrArAA的行列向量组的线性rAmnrmA的行向量组线性无关rAmnrmA的行向量组线性相关rAmnrnA的列向量组线性无关rAmnrnAn维向量标变换过渡矩1若1,2, ,n与1,2, ,n是向量空间V的两组基，则基c11 c1n c(,,,)(,,,) 2n(,,,1 1 n 1 c nn其中C是可逆矩阵，称为由基1,2 ,n到基1,2 ,2若向量在基1,2 ,n与基1,2 ,n的坐标分别X(xx x)TYyy y)T1 1 x11x22 xnny11y22 ynn变换公式为XCY或YC1X其中C是从基1,2 ,n到基1,2 ,n的过渡矩内积：(,)abab abT1 2 nSidt正交若1,2, ,s线性无关，则可构造1,2, ,s使其两两正交，且i仅是1,2 ,i的线性组合(i1, ,n)，再把单位化，记i，则, ,是规范正交向量组.其 1 i11(2,1) (,)1 3,1(3,2) ( ) (, (s,1) (,)1性1(四)线性方程考试内对应公式、定理、概1 a1nxnaxax ax线性方程组21 22 2n 2，如果系数行列 annxnDA0xD1xD2 xDnDDj 成方程组右端的常数列所得的行列式 nA可逆Ax0只有零解bAxb总有唯r(AmnnAx0只有零解非奇次1A为mnrAmn)mAxbrA)rAb)mAxb有解2设x1,x2 xs为Axb的解，则k1x1k2x2 ksxsk1k2 ks1时仍为Axb的解但当k1k2 ksAx0的解.x1x2Axb的解；2xxx Ax0的解3非齐次线性方程组Axb无解r(A)1r(A)b不能由A的列向量1,2, ,n线性表示.性方程有解的分必要件，线方程组的性质解的结奇次线1Ax0恒有解(必有零解).当有非零解时，由于Ax0空间，解空间的维数是nr(A)，解空间的一组基称为齐次21,2 ,tAx0 ,tAx0 ,tAx0的任一解都可以由1,2 ,t线性表出k11k22 ktt是Ax0的通解，其中k1,k2, ,kt是任意方程组基础解和通解解空间非奇次性方程的通解(五)矩阵的特征值和特征向考试内对应公式、定理、概1设AkAaAbE,A2Am,fA),AT,A1,A*kab2m,f(1|A|且对应特征向量相同（例外 2若1,2 ,n为A的n个特征值则iaii,i|Ai i i从而|A|0A没有特征值3设1,2 ,s为A的s个特征值，对应特征向量1,2 ,sk11k22 kssAnkAnkAn kAnknkn k 11 22 ss1AB BT, B1, B i i|EA||EB|对AnA可对角化kiinr(iEAA可对角化，则由P1AP,APP1，从而AnPn3若 B, D，则AO BOOC 若AB，则f f(B),f f(B)，其中f(A)为nA的多项式计算)＝秩(A)1ABnPBP1APA与BAB2AB似对角 ( Bk(k为正整数(4)EAEB,从而AB(六)二次考试内对应公式、定理、概二次型1n个变量x1,x2 ,xn的二次齐次函nf(x1,x2 ,xn)aijxiyj其中aijaji(i,j1, ,n)i1jn元二次型，简称二次型.x1 a1nx ax2A 2nf x an nn向量形式fxTAx其中A称为二次型矩阵，因为aijaji(i,j1 n)A的秩称为二次型的二次型f(x,x ,x)xTAx经过合同变换xCy化1 rfxTAxyTCTACydy2iif(rn)的标准形.在一般的数域内，二次型的标准形不是rA的秩唯一确定3任一实二次型f都可经过合同变换化为规范形fz2z2 z2z2 z2r为Ap rp为负惯性指数，且规范型唯一1A正定kA(k0)ATA1A*|A|0A可逆aii0，且|Aii|2A，B正定A+BAB，BA3A正定f(xxTAx0xAAAPAPT 存在正交矩阵Q，使QTAQQ1AQ , n其中0,i1, ,n.正定kA(k0),AT,A1,A*正定i|A|0,Aaii0，且|Aii|三、概率论与数理统(一)随机事件和概考试内对应概念、定理、公全事件1(1)ABAB发生.(2)相等事件：A=BABBA(3)和事件：A A+B，A(4)差事件：A-B，A发生但B不发生. AB，A(6)互斥事件（互不相容：A B=.：AB,且AB,记AB或B2交换律：AB A，AB 结合律：（AB）CA（B（AB）CA（B3德摩根律：AB BA 4完全事件组: n件，即 Aj，i 念，概的基本1概率：事件发生的可能性大小的度量，其严格定义如下：（为定义在事件集合上的满足下面3个条件的函数：何型概 ,若AiAj(ij),则P(Ai)i i2P(A)1P(P(AB)P(A)P(P BPAP(BPAB特别BA时PABPAP(BP(BPAP(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P( Ai)(P(Ai 古典型概率:PA事件A几何型概率:样本空间为欧氏空间中的一个区域，1概率的基本公式条件概率（B（A），（） Bii iBayes公式：P(B|A)P(A|Bj)P(Bj),j1, , P(A|Bi)P(Bii 2AB相互独立PAB)PA，B，CP(AB)P(A)P(B);P(BC)P(B)P(C);P(AC)P(A)P(C);A，B，CP(AB)P( P(BC)P(AC)P( P(ABC)P(3独立重复试验:n次，若每次实验中事Apn次试验中Ak次的概率为：P(Xk)Ckpk(1p)nk.4P(A)1P(P(AB)P(A)P(B)P(P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB),P(A)P(AB)P(P(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(AB)P(P|B满足概率的所有性质，例如：.PA1|B)1PA1|B) A2|B)P(A1|B)P(A2|B)P(A1A2|B)P(A1A2|B)P(A1|B)P(A2|A1B) ,An相互独立，则 Ai)P(Aii i Ai)(1P(Aii iAB互逆AB互斥，但反之不成立，AB互斥（或互逆）且均非零概率事件AB不独立. ,Bn相互独立则f(A1,A2 g(B1B2 Bnf(),g()的事件与任何事件相互独立(二)随量及其概率分考试内对应公式、概念、定随量及概率分布:取值带有随机性的变量，严格地说定义F(xP(Xxx性质：(1)0F(x) (2)F(x)单调不(3)右连续F(x0) (4)F()0,F()离散型密度性离散型随量的概率分P(Xxi)pi,i1, , pi0,piif(x非负可积，且f(x)f(x)dxxx为f(x)的连续点，则f(x)F'(x)分布函数F(x)f随函数的10-1PXkpk(1p)1kkB(n,p率分P(Xk)Ckpk(1p)nk,k ,nPoissonp(kP(Xk) e,0,k0,1,k1,axU（a，bN(,2 (x(x) e2,0,xE():f(x)几何分布G(p):P(Xk)(1p)k1p,0p1,k1, CkCnH(N,M,n):P(Xk)MNM,k ,min(n,M2随量函数的概率分离散型P(Xx1pi,Yg(XP(Yyj)P(Xxig(x)连续型X~fX(x),Yg(xFy(y)P(Yy)P(g(X)y) fx(x)dxg(x)fY(y)F'Y(3X~N(0,1)(0) 1,(0)1 (a)P(Xa)1X~N(,2X~N(0,1)且PXa)a X~E()P(Xst|Xs)P(XX~G(p)P(Xmk|Xm)P(X数存在既非离散也非连续型随量(三)随量及其分考试内对应公式、概念、定随二维随量及其联合分（X，YF(x,y)PXx,Yy) P{Xxi,Yyj}pij;i,j1,2,边缘分布 pipij,i1,jpjpij,j1,iP{Xx|Yy} jP{Yy|Xx} i二维连1f(xyf(x,y)f(x,y)dxdy 2分布函数F(xyf(u3 fX(x)f(x, fY(y)f(x,4条件概率密度 (x|y)f(x, (y|x)f(x,X f( f 性量的概密度、缘概率度和条密随1常见二维随量的联合分1,(x,y)(xy)U(D),f(xy) f(x,y) 11 (x (x)(y (y)2 12 2 22(12 1 的独立和不相性，常二维随变量的布2随量的独立性和相关XY的相互独立F(xy)FX(x)FYypijpipj(离散型）f(xyfX(xfYy)(连续型XYXY0XY不相关，XY相关个以上1两个随量简单函数的概率分PXxi,Yyi)pijZgX,Y)（Z P(Xxi,Yyjg(x,y)(X,Y) f(x,yZg(X,Y)Fz(z)Pg(X,Y)z f(x,y)dxdy，fz(z)F'zg(x,y)2 fX(x)f(x, fY(y)f(x,P(X,Y)Df(x,D若（X，Y）N(,2,2) ①X~N(,2),Y~N(,2 ②XY相互独立0XY不相关③CXCY~N(CC,C22C222CC 1 2 1 2 121④XY=yN(1(y),2(12 2⑤YX=xN(2(x),2(12 1XYN(,2),N(,2 则X,Y~N(,2,2 CXCY~N(CC,C22C22 1 2 1 2XYf(x)和g(x为连续函数，则fX)与g(Y)也相互独立.(四)随量的数字特考试内对应概念、定义、定理、公随（及其性1PXxipiE(X)xipiiX~f(x),E(X)xfE(C)C,E[E(X)]E(XXYE(XY)E(X)E(YE(XY)2E(X2)E(Y22DX)EXEX)2EX2EX标准差：DX)DX)xEX)2 i 5DXxEX)fD(C)0,D[E(X)]0,D[D(X)]XYDXY)DXD(YD(CXC)C2D(X D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)D(X)D(Y)2D(X)D(X)E(XC)2,CE(XD(X)0PXC随1随量函数的数学期(1)对于函数YXP{XxipiE(Y)g(xipiXi型X~f(xE(Y)g(xf字特(2)Zg(X,Y);(X,Y)~P{Xxi,Yyj}pijE(Z)g(xi,yj) (X,Y)~f(x,y);E(Z)g(x,y)f(x,协方差Cov(X,YE(XE(X)(Y相关系数 Cov(X,Y ,k阶原点矩E(Xk) D(X)D(Yk阶中心矩EXEX)]kCov(X,Y)Cov(Y,XCov(aX,bY)abCov(Y,XCov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y(X,Y)X,Y)1P(YaXb1其中aX,Y)1P(YaXb)1其中a4（1）D(X)E(X2)E2(XCov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y(X,Y)1X,Y)1P(YaXb1其中aX,Y)1P(Ya