山东省济宁市北湖中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析

山东省济宁市北湖中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜参考答案：A【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】要找m的取值使f（x）+9≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，使最小值大于等于﹣9即可求出m的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）=x4﹣2x3+3m，所以f′（x）=2x3﹣6x2．令f′（x）=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）=3m﹣．不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥﹣9恒成立，所以3m﹣≥﹣9，解得m≥．故答案选A．2.5位同学报名参加两个小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共(

）种A．10种 B．20种

C．25种

D．32种

参考答案：D略3.已知，则下列不等式成立的是

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石参考答案：B【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．5.为了解某校高三学生的视力状况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力状况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频率成等比数列，设视力在到之间的学生数为，最大频率为，则的值分别为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知复数z满足|z－i－1|+|z+i－1|=2,则z在复平面内对应的点的轨迹是（

）A．线段 B．圆 C．椭圆 D．抛物线参考答案：A7.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e参考答案：B【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；8.△ABC的外接圆的圆心为O，，，则等于（

）A. B. C. D.参考答案：C【详解】，选C9.若，则下列不等式①；②③；④中，正确的不等式有（

）．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：C略10.若曲线在点处的切线平行于轴,则A． B．0

C．1

D．2

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设：关于的不等式的解集为，：函数的定义域为，如果和有且仅有一个正确，则的取值区间是

.参考答案：12.已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,则ax+by+cz的最大值为

参考答案：313.质点M按规律作匀加速直线运动,则质点M在时的瞬时速度为

,参考答案：814.抛物线顶点为，焦点为，是抛物线上的动点，则的最大值为

．参考答案：略15.若球O的球面上共有三点A、B、C，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的，经过A、B、C这三点的小圆周长为4π，则球O的体积为

．参考答案：288π【考点】球的体积和表面积．【分析】由条件：“经过A、B、C这三点的小圆周长为4π，”得出正三角形ABC的外接圆半径r=2，再结合球的性质知：三角形ABC的外接圆半径r、球的半径、球心与三角形ABC的外接圆的圆心的连线构成直角三角形，再利用直角三角形的勾股定理，解出球半径R，即可求出球O的体积．【解答】解：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=3，D是BC的中点．在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R．在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+27，所以R=6则球O的体积为：V==288π．故答案为：288π．16.不等式的解集是____________．参考答案：试题分析：由题意得，原不等式可化为，即，所以不等式的解集为．考点：解一元二次不等式．17.(坐标系与参数方程选做题）极坐标方程化为直角坐标方程是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，(1）求的最大值和最小值；(2）若，求k的取值范围。参考答案：（1）

(2）由19.（本题满分12分）已知等差数列{}，(Ⅰ）求{}的通项公式；(Ⅱ）令，求数列的前n项和Sn.参考答案：（Ⅰ）设数列的公差为d，依题意得方程组

解得

所以的通项公式为(Ⅱ）由所以是首项，公式的等比数列.于是得的前n项和

20.（本小题12分）如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100m．求该河段的宽度．参考答案：21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．（1）求证：；（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．（3）在（2）中，我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子，这样的例子还有不少．下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试着将勾股定理推广到空间去．勾股定理的类比三角形ABC四面体O-ABC条件AB⊥ACOA、OB、OC两两垂直结论AB2+AC2=BC2？请在答题纸上完成上表中的类比结论，并给出证明．参考答案：（1）证：；（4分）（2）解：在斜三棱柱中，有其中为平面与平面所组成的二面角.

（7分）上述的二面角为，在中，?，由于，有.

（10分）（3）空间勾股定理的猜想：已知四面体O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，则有

（14分）证法一：作OD⊥AB，垂足为D，连结CD

（18分）证法二：作OH⊥平面ABC，垂足为H，易得H为△ABC的垂心。连结CH并延长交AB于E，连结OE，则有OE⊥AB。在△OAB中，在Rt△EOC中，同理，，于是

（18分）22.（原创）如右图