山东省济宁市宏志高级中学2021年高三数学理月考试卷含解析

山东省济宁市宏志高级中学2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数满足，对于任意的实数都满足，若，则函数的解析式为（

）

A.；

B.；

C.；

D.；参考答案：D2.函数是(

▲).

A.周期为的奇函数

B.周期为的偶函数

C.周期为的奇函数

D.周期为的偶函数参考答案：A略3.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，,(a>0，b>0)，若A，B，C三点共线，则的最小值是A．8

B．6

C．4

D．2参考答案：C4.若a,b,c均为单位向量，a·b，c=xa+yb，则的最大值是(

)A．

B.

C．

D.参考答案：A5.为虚数单位，复平面内表示复数的点在

(

)

A.第四象限

B.第三象限

C.第二象限

D.第一象限参考答案：B6.过点和的直线在轴上的截距为A.

B.

C.

D.参考答案：A7.若是偶函数，且当的解集是（

）

A．（－1，0）

B．（－∞，0）（1，2）

C．（1，2）

D．（0，2）参考答案：D根据函数的性质做出函数的图象如图.把函数向右平移1个单位，得到函数，如图，则不等式的解集为，选D.8.函数2f(x)＝log2x的定义域是[2，8]，则f(x)的反函数f－1(x)的定义域是A．[1，3]B．[2，8]C．[1，4]D．[2，4]参考答案：A略9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．48 B．32 C．16 D．参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，利用三视图的数据直接求解几何体的体积即可．解答：解：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，上底为3，下底长为5，高为2，棱柱的高为4．所以几何体的体积为：=32．故选：B．点评：本题考查三视图求几何体的体积，三视图复原的几何体的形状是解题的关键．10.已知集合则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，角所对的边分别为且，则的外接圆的半径

参考答案：12.在中，，则的面积为_________．参考答案：试题分析：∵，∴，即．∴．所以答案应填：．考点：正弦定理．13.若多项式，则

．参考答案：51014.已知函数，实数x，y满足，若点M(1，2)，N(x，y)，则当≤4时，的最大值为

(其中O为坐标原点)参考答案：12略15.点M(x，y)是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，使z＝y－2x的值取得最小的点为A(x0，y0)，则(O为坐标原点)的取值范围是________．参考答案：[0,6]16.现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张．从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张．不同取法的种数为

．参考答案：472

考点：排列组合.17.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数f(x)的最小值为－1，，数列{bn}满足，，记，表示不超过t的最大整数．证明：．参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为.1、当时，，即在上为增函数；2、当时，令得，即在上为增函数；同理可得在上为减函数.（Ⅱ）?有最小值为-1，?由（Ⅰ）知函数的最小值点为，即，则，令当时，，故在上是减函数所以当时∵，∴.（未证明，直接得出不扣分）则.由得，从而.∵，∴.猜想当时，.下面用数学归纳法证明猜想正确.1、当时，猜想正确.2、假设时，猜想正确.即时，.当时，有，由（Ⅰ）知是上的增函数，则，即，由得.综合1、2得：对一切，猜想正确.即时，.于是，，则.故

19.如图，在平面平直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，在顶点为A（﹣2，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；（3）若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的左顶点A（﹣2，0），则a=2，又e==，则c=，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的标准方程；（2）直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理，求得D点坐标，利用中点坐标公式即可求得P，由?=0，则向量数量积的坐标运算则（4m+2）k﹣n=0恒成立，即可求得Q的坐标；（3）由OM∥l，则OM的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得M点横坐标为x=±，==+≥2，即可求得的最小值．【解答】解：（1）由椭圆的左顶点A（﹣2，0），则a=2，又e==，则c=，又b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程为：；（2）由直线l的方程为y=k（x+2），由，整理得：（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4=0，由x=﹣2是方程的根，由韦达定理可知：x1x2=，则x2=，当x2=，y2=k（+2）=，∴D（，），由P为AD的中点，∴P点坐标（，），直线l的方程为y=k（x+2），令x=0，得E（0，2k），假设存在顶点Q（m，n），使得OP⊥EQ，则⊥，即?=0，=（，），=（m，n﹣2k），∴×m+×（n﹣2k）=0即（4m+2）k﹣n=0恒成立，∴，即，∴顶点Q的坐标为（﹣，0）；（3）由OM∥l，则OM的方程为y=kx，，则M点横坐标为x=±，OM∥l，可知=，=，=，=，=+≥2，当且仅当=，即k=±时，取等号，∴当k=±时，的最小值为2．20.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝，＝，且满足|＋|＝.(1)求角A的大小；(2)若||＋||＝||，试判断△ABC的形状．参考答案：解(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3， 即1＋1＋2＝3，

∴cosA＝.∵0<A<π，∴A＝.

…………..6分 (2)∵||＋||＝||，∴sinB＋sinC＝sinA， ∴sinB＋sin＝×，

即sinB＋cosB＝，∴sin＝. ∵0<B<，∴<B＋<，

∴B＋＝或，故B＝或.当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.

故△ABC是直角三角形

.…………..12分21.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．（Ⅰ）证明：AC⊥PB；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）由平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，可得PO⊥平面ABC，以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出平面PBC与平面PAC的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA=PC，∴PO⊥AC，又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∵AC=PC=2，∴P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，0，0），，，设平面PBC的一个法向量为，由，取y=﹣1，得，又是平面PAC的一个法向量，∴cos＜＞=．∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．22.如图（1），五边形ABCDE中，，，，.如图（2），将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P-ABCD.点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．（1）求证：BM∥平面PAD.（2）若直线PC与AB所成角的正切值为，设，求四棱锥P-ABCD的体积.参考答案：（1）证明：取的中点，连接，则，又，所以，…………2分则四边形为平行四边形，所以，…………3分又因