第八章无穷级数-2常数敛法

常数项级数的判一、正项级数及其判敛

如果级数un中各项均有un这种级数称为正项级数定理：正项级数un收敛的充分必要条是它的部分和数列Sn有上界即un(un0)M0,使得SnM证必要性:若级数un收敛

则limSn存在充分性如果数列Sn有上界,因为un是正项级数所以un0(n1则Sn单调不减S1S2S3Sn由单调增加且有上界的数列必有极限可知,limSn

存在

正项级数un收敛注：正项级数un发散的充分必要条件它的部分和Sn满足limSn比较判别

设un和vn均为正项级数， 且unvn(n12,)，若vn收敛，则un收敛 反之，若un发散，则vn发散. 证明(1)设vn unvn且Snu1u2unv1v2vn即部分和数列有上界

un收敛(2)设Sn (n则nSnvn发散.

且unvn推论若un收敛，且vn(nN,k0)，则vn收敛 推论2：若un发散，且kun(nN,k0)，则vn发散 3 判别2 3

解2n

0,

n

n

2nsin

22 2

(n

3 32q

级数3

收敛 n由比较判别法知级数2

3n例2讨论P级数(P1111 1的敛散性 解设0P

P级数发散yyx(Po1 4n设P1,由图可

n1xPn 1nP

1 2

1 x

n1x1

n x

1

P

(1

nP

)1

P即Sn有上界,则P级数收敛P级 n1nP

当P时,收敛当P时,发散重要参考级何级数,P和级数 当

时 收敛aq

当

时

P级数

当P时

收敛n1

当P时 发散调和级

11

111n1

例3判别级 的敛散性 n(nn(nn(n

n1而级数

发散nn(nn(n

发散比较判别法的极限形 设un与vn都是正项级数，若

n 当l0时，若vn收敛，则un收敛 当l时，若vn发散，则un发散 证明(1)由lim nN,当nN时

对于l2ll2ll ll 即l 3l (nN 由比较判别法的推论,得证limunn0,N0,nN,有

0,nun ,un

vn vn收敛,un收敛 自已思考证明例 判定下列级数的敛散性 sin (2)

sin

解

1 故原级数发散nn n

1解(2)lim3n

n

n1且

1收敛 故原级数收敛 比值判敛法(达朗贝尔D’Alembert 设un是正项级数，如果 (为数或

；证明当为数时 对N,当nN时, 即

(nN当时,取1, 使r即 (nN), r

uN

N1

N3

N2

NuN uN1,而级数

rm1u收敛N收敛 uNm un收敛 当时,取

un收敛使r

un单调增加

发注1.1时比值审敛法失效 数发散n1

(级 n1

2.条件充分而非必要例5判别下列级数的收敛性n1

1

(2n1) (n 解

n1

0(n),

n

n1

收敛 解un1

(n1)!

n

(n), 故级

发散 (2n1)解lim

(2n1)

n(2n1)(2n 1 (2n1)

且级数

n2收敛

2n(2n

收敛 2例 判别级数un

1

的敛散性n为偶解

22(2(1)n

n为奇limun1不存在

(比值审敛法un

2(1)n3

且

收敛 2(

n12级数un 2

根值审敛法(柯西判别)nn

u是正项级数，如果nn

(为数或则时级数收敛；时级数发散；时失效例如级 1n1nn1 nn1n

0(n

级数收敛例 讨论下列级数的敛散性 n1

(an n n1解

nn a

级数

n1

收敛 a

级数

n1

发散 a时,级数为

n1 lim lim

n1

1nn

nn1

n11 n n 不满足级数收敛的必要条件 a时级数

n1

发散n1 b

,其中

a(nanabn1 nnn

且annban

b b

n b 即ab时a

收敛n1 nb b 即ab时a

发散.n1 n例 判断级数敛散性

(1)

n 解un

1nn 1

n1(n 1(n n

(1 1lim(11)nlim[(11)n2

e0 1

1lim limxxe0 limun1 n不满足级数收敛的必要条件原级数发散ncos2 3 解

ncos2

n

令 n

n

limn1

n1

,

1

1e01nnln(n annln(n当011即a时 原级数收敛a当11即0a时 原级数发散aln(n当a时

原级数n1(1

1n

ln(n2)

原级数发散n(11n二、交错级数及其审敛定义:正、负项相间的级数称为交错级数 1)n1u或

(其中un

(1)n1

满足条件limun

un (n1,2, 且其和Su1, rnun1.证明un1un且S2n(u1u2(u3u4(u2n1u2n数列S2n单调增加S2nu1(u2u3)(u2n2u2n1)数列S2n有上界limu2n1nlimS2n1lim(S2n

limS2nSnu2n1)S,级数收敛于和S,且S余项r(1)n

(1)n1 (1)n2 (1)n

n

rnun1un2满足收敛的两个条件,

un1例 判别级数

(1)n1

1111

的敛散性,并估计误解(1) n解(1) n为交错级数lim lim1 1

n

n

(1n11满足莱布尼兹收敛定理条件n原级数收敛 且

un1

nnn例10判别级数

n

的敛散性

n nnnxxx

)

(1

0(x x(x故函数 x单调递减 x(xx 原级数收敛三、绝对收敛与条件收定义:正项和负项任意出现的级数称为.定理若

un收敛，则un收敛

n证明令vn2(un )(n1,2,),n显然vn 且vn

un

vn收敛,又un

un

un 定义：若un收敛，则称un为绝对收敛 若un发散，而un收敛，则称un条件收 收敛,则un绝对收敛

若收敛,则

条件收敛

发散

un发散

例11判别级数

的敛散性解

1

n1

收敛例12判别级数

是否收敛？若收敛n是条件收敛还是绝对收敛(n (n n

而

发散n

((n

n

发散即原级数非绝对收敛 (

是交错级数 由莱布尼茨定理

n lim

nn

n1n又limlnnlimlnxlim1 x1

nn

n1n令f(x)x (xf(x)110(xxf(x)xl