不等式与不等式组知识点

不等式与不等式组知识点归纳一、不等式的概念不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。用数轴表示不等式的解集。二、不等式的基本性质不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。例：已知不等式3x-a<0的正整数解恰是1,2,3,则a的取值范围是xa0TOC\o"1-5"\h\z已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是。52x\o"CurrentDocument"2x40不等式组1的整数解为x202如果关于x的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，贝Ua的值为。x4x1已知关于x的不等式组32的解集为x2,那么a的取值范围是xa0当x时，代数式2x5的值不大于零7•若x<1,贝y2x20（用“〉”“=”或“”号填空）8•不等式72x>1,的正整数解是9.不等式x>a10的解集为x<3,贝Uaxa..,亠十10・若a>b>c,则不等式组xbXX若不等式组2xa若avb,用“〉”号或“v”号填空:的解集是一1<若avb,用“〉”号或“v”号填空:x2b3有解集2<x<3的不等式组是(写出一个即可)一罐饮料净重约为300g,罐上注有“蛋白质含量0・6”其中蛋白质的含量为g若不等式组xa的解集为x>3,则a的取值范围是x3一元1一元1,且1.2•解一元一次不等式的一般步骤:2•解一元一次不等式的一般步骤:(2)去括号(2)去括号(3)移项⑸将x项的系数化为1(4)合并同类项不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式例：一、判断题(每题1分，共6分)1、2、a>b,得a+m>b+m3由a>3,得a>一3、x=2是不等式x+3>43、4、1由—>一1，得->—a5、如果a>b,cvO，贝Uac>bc6、如果avbv0,则三v11、a—5b—1、a—5b—5;b；—1+2a—1+2b;6—a6—b;2、x与3的和不小于一6,用不等式表示为3、时，代数式2x—3的值是正数；4、代数式1+2x的不大于8一-的值，那么x3、正整数解是45、如果5、如果x—7V—5,贝Ux；如果>0,那么x6、不等式ax>b的解集是xv一，则a的取值范围是；a7、一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为&点A（—5’）、B（—2,y2）都在直线y=一2x上，则y】与y2的关系是9、如果一次函数y二（2一m）x+m的图象经过第一、二、四象限，那么m的取值范围四、一元一次不等式组（难点）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。例:、选择题A.3<x<5B.—3<x<5C.—5<x<3D.—5<x<—3x20,的解集是（)5.不等式组30)x4.在平面直角坐标系中，点UP（2x—6/x—5）在第四象限，贝x的取值氾围是（B.x<3C.2<x<3D.无解20,x2,0,A20,x2,0,A.x302.x3,的解集5<x<3A.不等式组2,的解集是x2223.不等式组3J的最小整数解为32x1.F列说不等法正式组确的中，是是（元一次不等式组的是3x13x20,xC.(x2)(x3)02,的解集是一3<x<—23,的解集是是＜”33、填空题6•若不等式组6•若不等式组？如果实际每天比计划多用'有解，则m的取值范围是xm已知三角形三边的长分别为2,3和a,贝Ua的取值范围是&将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；？如果每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有个儿童,分个橘子.a2,9•若不等式组X的解集是一i<x<i，则(a+b)2006=b2x0三、解答题2(x2)x4,⑴10•解不等式组xm111•若不等式组'无解，求m的取值范围.x2m112•为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划.22度电，那么本那么学校每天计划度电，那么本学期用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约了学期用电量将会不超过2200度.若本学期的在校时间按110天计算用电量在什么范围内？易错点分析:易错点1:误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分.x—1>0,①例1解不等式组X+2v0.②错解：由①，得x>1,由②，得XV—2，所以不等式组的解集为一2vxv1.错因剖析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分•此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）•实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分•此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1vxv—2或一2vx>1等，这些都是错误的.正解：由①，得x>1.由②，得xv—2，所以此不等式组无解.易错点2：误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”例2解不等式组5x+12>6—3x,①4+x2(1+x)—3.②x3.②x>5.由于x>—-的范围较大，所以不等式3不等式组的解集为x>-3.错因剖析：本例错解中,由于对不等式组的解集理解得不深刻,在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识.其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设avb),x>a,由于对不等式组的解集理解得不深刻,在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识.其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设avb),x>a,xva,x>a,①②③④x>b,x>b,xvb,xvax>b.利用数可确定它们的解集分别为®x>b，②xva，③avxvb,④空集.也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）正解：解不等式①，得X>—3.解不等式②，得x>5.4所以不等式组的解集为x>5.易错点3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法.例3解不等式组3x—+2(x+3)w3.②错解：由①+②，得2X14，即xw7所以不等式组的解集为xw7.错因剖析：本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中.产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，(1)解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；(2)由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集.334正解：由不等式①，得|x>-17，即x>-即由不等式②，得|xw-3,即xw—6所以原不等式组的解集为一TAWxw一7.易错点4:在去分母时，漏乘常数项.2x—3v1,①例4解不等式组x一1—+2>——x.②错解：由①，得xv2・在x—21+2>—x的两边同乘2,得x—1+2>—2x.于是有x11>—3所以原不等式组的解集为2>x>—3.最后找出它们的公共本例的解答过程中没还要注意在表示“大小小错因剖析：解一元一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最后找出它们的公共本例的解答过程中没还要注意在表示“大小小部分.对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错.有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项.此外，

大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“V”连接.x—1正解：由①，得XV2.在一2—+2》一x的两边冋乘2,得X—1+4》一2x.于是有X》—1—1,所以原不等式组的解集为—1wxV2.55易错点5:忽视不等式两边同乘(或除以)的数的符号，导致不等式方向出错.1例5解关于x的不等式(-—a)x>1—2a.错解：去分母，得(1—2a)x>2(1—2a).将不等式两边同时除以(1—2a),得x>2.错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘(或除以)的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号•本例中不等式两边同乘(或除以)的(1—2a),在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错.正解：将不等式变形，得(1—2a)x>2(1—2a).1当1—2a>0时，即av时，x>2;当1—2a=0时，即a二扌时，不等式无解；1当1—2av0时，即a>时，xv2.例6如果关于x的不等式(2a—b)x+a—5b>0的解集是x号，则关于x的不等式ax>b的解集是错解：因为不等式(2a—b)x+a—5b>0的解集是xv严，所以型—a二孕，则有72a—b72a—b=7,5b—a=10,TOC\o"1-5"\h\za=5,3解得从而知ax>b的解集是x>3.b=3.5错因剖析：本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；—是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围，所以2a—b=7,a=5,3在解题时错误得出解得从而错误得到ax>b的解集是x>3.2a—bv正解：由不等式(2a2a—bv正解：由不等式(2a—b)x+a—5b>0的解集是5b—a=10,b=3.xv号，得5ba=10解得av0,b_3所a=2a—b=75.3以ax>b的解集是xv-.易错点6：寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况.例7例7若关于X的不等式组5—2x>—1,无解，则a的取值范围是x—a>2错解：由5—2x>—x得x<3，又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a>3.x—a>0/x>a.错因剖析：由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式x>x>3,而此时不等式组也是无解的.因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围a=a=3,有xw3及的特殊情况．TOC\o"1-5"\h\z5—2x》一1,xw3,正解：由得又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a>3.x－a>0x>a．x_ao例8已知关于x的不等式组_-，的整数解共有5个，则a的取值范围是3_2x>_1错解：由_-，解得-，又因为原不等式组的整数解共有5个，所以awxv2,3_2x>_1xv2.这5个整数解为一3,_2,_1,0,1,从而有aw_3（或a=_3）.错因剖析：本题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解.上述解法错在忽视awxV2中有5个整数解时，a虽不唯一，但也有一定的限制，a的取值范围在一3与一4之间，其中包括—3,但不应包括一4,所以错解在确定a的取值范围时扩大了解的范围.x_a-0,x-a,正解：由解得又因为原不等式组的整数解共有5个，所以awxv3_2x>_1xv2.2.又知这5个整数解为一3,_2,—1,0,1.故a的取值范围是一4Vaw_3.总之对于解一元一次不等或组）问题，我们要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这6个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊.11的解集是【2x1x不等式1.（2012山东滨州3分）x84xA.x3B.x2【答案】AOC.2x3D.空集【考点】解一兀一次不等式组。【分析】解一兀次不等式组，先求出不等式组中每一-个不等式的解集，再利用口诀求出这中考考点解读:此,（2012山东滨州3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟.他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟.他y分钟，列出的方程是【。因y分钟，列出的方程是【。因x,果他骑1得不等式组4魏解得X31得不等式组4魏解得X3。按同集的公解共部分：4同大取大X是：x3.古故选%80y2900同小取小xy15，大小小大中间找，大大小小解不了80x250y2900无解）C.4xyD.1580x250x80y290080x250y2900答D考由实际冋题抽象出—兀,次方程组。分李明同学骑车和步行的时间分别为x,y分钟，由题意得:所以得方程：x,y分钟，由题意得:所以得方程：x+y=150李明同学到学校共用时15分钟,李明同学骑自行车的平均速度是家离学校的距离是2900米.如李明同学骑自行车的平均速度是250米/分钟，x分钟骑了250x米；步行的平均速度是80米/分钟，y分钟走了80y米。他家离学校的距离是2900米，所以得方程:250x+80y=2900。故选Doa+2b=43.（2012山东德州3分）已知/贝Ua+b等于【3a+2b=88A.3B.-C.2D.13【答案】A0考点】解二元一次方程组。【分析】两式相加即可得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案：a+b=3。故选A。4.(2012山东东营3分)方程k1X2【】.A.k>1B.kw1C11kx+—=O有两个实数根，则k的取值范围是4k>1D.k<1【答案】Do考点】一元二次方程的意义和根的判别式【分析】当k=1时，原方程不成立，故kz1,当kzi时，方程k1X21kx+—=0为一元二次方程。4•••此方程有两个实数根，二b24ac(1k)24(k1)41k(k1)22k0,解得：kw1。综上k的取值范围是kV1。故选Dox=25.（2012山东荷泽3分）已知是二元y=1次方程组mX+ny=8的解，则2mnxmy=1n的算平方根为【】A.土2B.2C.2D.4【答案】Co考点】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根。—■x=2口一，—【分析】•/是二兀一次方程组mx+ny=8y的解，•••2m+n=8”+m=3，解得y=1nxmy=12nm=1n=2•2mn二232=4=2。即2mn的算术平方根为2。故选C。11.若2®(2x—1)=（2012山东莱芜3分）对于非零的实数a、b.若2®(2x—1)=ba1则x=[】AA.5531【答案】【考点】新定义，解分式方程。【分析】"411■/a®b=u,2®(2x—1)=1,•2【答案】【考点】新定义，解分式方程。【分析】"411■/a®b=u,2®(2x—1)=1,•2®(2x—1)2x1—1=332x1=26x2x123=26x=5x=5o6检验，合适。古攵选A。（2012山东莱芜3分）已知mn是方程x+2:2x+1=0的两根，则代数式,诵+n2+3mn的值为【A.9.土3【答案】Co【考点】一元二次&求代数式的值。【分析】m22+n+3mn=■/mn是方程x2+2:2x+1=0的两根,•••mAn=22【分析】m22+n+3mn=m+n2+mn=212+1=8+1=9=3。故选C。（2012山东临沂3分）用配方法解兀二次方程x24x5时，此方程可变形为A.x21BA.x21B.x2C.229D.【答案】【考点】配方法解一元二次方程。【分析】X24x5X24x+45+42=9。故选Do【考点】配方法解一元二次方程。【分析】X24x5X24x+45+42=9。故选Do9.（2012山东临沂3分）不等式组A.C.2x3x的解集在数轴上表示正确的是【B.D.-10【答案】A【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。33再利用口诀求出这分析】解一元一次不等式组,先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大,同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此,些解集的公共部分：同大取大,同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此,x31x3。ox12xx31x3。ox13x11x2不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>,》向右画；V,w向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个。在表示解集时““W”要用实心圆点表示；要用空心圆点表示。因此，在数轴上表示为：'0故选A。10.（201210.（2012山东临沂3分）关于X、y的方程组3xym的解是X1ntxmyn值是【A.5B.3C.2D.1【答案】【考点】A.5B.3C.2D.1【答案】【考点】【分析】Do二兀一次方程组的解和解二兀一次方程组，求代数式的值。一3xym•••万程组xmyn冃x1的解是y1=23二1。故选D。22（2012山东日照4分）已知关于x的一元二次方程（k一2）x+（2k+1）x+仁0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【4口44口4口(A)k>且kz2(B)k>且kz2(C)k>33口且「2(D)k>43口且k工24【答案】Co考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义。【分析】•“方程为一元二次方程,k—2z0,即kz2。…方程有两个不相等的实数根,•••△>0,2222•••（2k+1）一4（k一2）>0,即（2k+1—2k+4）（2k+1+2k—4）>0,35（4k—3）>0,k>。4k的取值范围是k>3且k丰2。故选Co4（2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人・如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒贝U这个敬老院的老人最少有【】（A）29人（B）30人（C）31人（D）32人【答案】Bo【考点】一元一次不等式组的应用。【分析】设这个敬老院的老人有x人，则有牛奶（4x+28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组：4x285x1<4，解得：29vxw32o4x285x1Tx为整数Tx为整数，「.x最少为300故选（2012山东泰安3分）将不等式组B04x1的解集在数轴上表示出来，正确的16是【C.「01234是【C.「0123451【答【考解-元在数轴上表示不等式的解集。［分解一