1平面与平面垂直设计2

平面与平面垂直教学设计教学目标1．理解掌握面面垂直的判定定理和性质定理的内容和证明过程；2．熟练应用面面垂直判定定理和性质定理解决问题；3．学会数学建模的思想，发现生活中面面垂直的应用．教学重点面面垂直判定定理和性质定理的推导过程．教学难点面面垂直判定定理和性质定理的应用过程．教学课时第二课时教学过程：一、课题导入如果两个平面

α与

β所成角的大小为

90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β．画图：我们由所学知识知道平面与平面垂直的定义证明两个平面垂直的方法，（1）构造二面角的平面角；（2）证明这个平面角为90度；（3）由平面与平面垂直的定义可得到两个平面垂直．但是当利用二面角来判断两个平面是否互相垂直有时候是不方便的，那么有没有其他的判断面面垂直的办法呢？【设计思路】由已知引出新知．二、讲授新课思考：如图所示，建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面与水平面垂直，通常会用铅锤等先构造出一条与水平面垂直的线，然后紧贴线来砌墙．(1)你知道为什么此时墙面就一定会与水平面垂直吗？(2)从数学的角度，这一现象能概括出什么结论？试分别用自然语言与符号语言描述．结论：平面与平面垂直的判定定理（面面垂直的判定定理）：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．符号表示：如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β．证明：因为l⊂α，l⊥β所以α，β一定相交．设α∩β=m，l∩β=O．过O在平面β内作与m垂直的直线OA，则有l⊥OA，所以α，β所成的二面角大小为90°，所以α⊥β．思考：在受到前面学习过的线线垂直和线面垂直互推关系的启发，如果平面α与平面β互相垂直，能得出一些什么性质呢？平面与平面垂直的性质定理（面面垂直的性质定理）：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号表示：如果α⊥β，α∩β=m，AO⊂α，AO⊥m，则AO⊥β．证明：如图所示，设AO∩β=O，过O在平面β内作与m垂直的直线OB，∠AOB为二面角A-m-B的平面角，因为α⊥β，所以∠AOB=，因此AO⊥OB．又因为AO⊥m，m∩OB=O，m⊂β且OB⊂β，所以AO⊥β．三、例题讲授例1：如图所示，已知α⊥β，在α，β的交线上取线段AB=，且AC，BD分别在α，β内，它们都垂直于交线AB，并且AC=1，BD=2．（1）求CD长；（2）求证：平面CBD⊥平面ABC．解析：连接BC，因为α⊥β，α∩β=AB，BD⊂β，BD⊥AB，所以BD⊥α．又因为所以因此△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC=；在Rt△CBD中，CD=．（2）由（1）知BD⊥BC，BD⊥AB，所以BD⊥平面ABC，又因为BD⊂平面BCD，所以平面CBD平面ABC．例2：如图（1）所示，已知

Rt△ABC

中，AB

=

AC

=

a，AD

是斜边

BC

上的高．如图（2）所示，以

AD

为折痕将

△ABC

折起，使∠BDC为直角．在图（2）中，求证：（1）面ABD⊥面BDC，面ACD⊥面BDC；（2）∠BAC=60°．（1）（2）解析：（1）由已知有AD⊥BD，AD⊥DC，因此在图（2）中，有AD⊥面BDC．又因为AD面ABD，所以面ABD

⊥

面

BDC．同理，面ACD⊥面BDC．（2）因为AB=AC=a，所以在图（2）中，有BC=，从而BD

=

DC=

．因此图（2）中△BDC是等腰直角三角形，所以．从而AB=AC=BC，所以∠BAC=60°．四、课堂总结1．平面与平面垂直的判定定理（面面垂直的判定定理）：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．符号表示：如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β．2．平面与平面垂直的性质定理（面面垂直的性质定理）：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号表示：如果α⊥β，α∩β=m，AO⊂α，AO⊥m，则AO⊥β