2015年全国中考数学试卷解析分类汇编第三期专题28直角三角形

线l:y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,∠OAB=30°,点P在x轴上,⊙P与l相切,当P段OA上运动时，使得⊙PP个数是(A) 解析 · ·PPD⊥AB0≤PD≤6要使得⊙PPD1、2、3、4、5、（2015•93）PQP，QR A．B．C．D．P，QR30°45°D符合．（2015•面上目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的仰角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（ 1200mB．1200mC．1200mD．-∠ABC=∠α=30°Rt△ABCACsin30°，求出飞机AB的距离为多少即可． AB2400m．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要读（2015•齐齐哈尔,第19题3分）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=，则CD的长为2 或2﹣ 或．1，∠A为钝角，AB=ACRt△ABD中，根据锐角三角函数的定义即可得2，∠A为锐角，AB=ACRt△ABD中根据锐角三角函数的定义即可得到结果，③如3，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义即可得到结果．1，∠A2，∠A 综上所述；CD的长为：2 或2﹣ 或2﹣ （2015•省黔东南州,第14题4分）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离考点：解直角三角形的应用-分析：过MN．由题易可得∠MAN=30°Rt△MAN中，根据锐角三角函数的定义求出AN的长即可．解答：解：如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N． 海里点评：本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角函数的定义，利用垂线段最短的性质3（2015•十堰，第15题3分）.如图，站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若的眼睛与地面的距离是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为8﹣5.5 （考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-分析：把ABCDBD到水面的距CH长度．CH﹣AE=EHAC长度．解答：解：过点BBE⊥ACEDGCAHRt△ABE =，AB=8Rt△CDH∴CA=8﹣5.5（米点评：此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难4（2015•ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC= 专题：分类讨论．分析：过点D、BDE⊥AC，BH⊥ACE、H，设AC=x，先求得AE（x的式子表示）和DEAD2，然后根据等腰三角形三线合一的性质可知：AH=，然后根据锐角三角函数的定义可求得HB（用含x的式子表示）AB2，然后根据AB=CD，列方程求解即可D、B分别作DE⊥AC，BH⊥ACE、HRt△CDE则AE=x﹣，∴∴解得 ，x2=当AC=时，AC＜DC，与图形不符舍去AH、BH的长度是解题的关键．5（2015•辽宁抚顺（16题，3分）如图，在ACD的顶端Dα向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，CD⊥AC，则建筑物CD的高度为7 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据∠DBC=45°BC=CDtanα=0.7和正切的概念列出算式，解出算式得到答案．解答：解：∵∠DBC=45°，CD=7．点评：本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，注意仰角和俯角6（2015•辽宁阜新（11题，3分）AB，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为10m（结果保留根．ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．解答：解：∵自楼的顶部AB30°， （米∴楼的高度AC为10米．（2015•省贵阳,第20题9分）为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行15°（（2）的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-分析：（1）Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20CD=BD•sin15°由图可知：AB=AF+DE+CDAF得出答案即（1）∴CD=5.2（m答：与地面的垂直距离CD的值是（2）Rt△AFE由（1）知，BC=BD•cos15°≈19.3（m∴AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1（m答：楼房AB点评：本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题，解题的关键是构造（2015•省贵阳,第23题9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．AC（分析：（1）OBAB，根据圆周角定理求出∠ACB，解直角三角求出AC即解答：（1）∵OF⊥AB，又∵AB为⊙O∴AO=6，即Rt△ACFRt△AOF D作DG⊥ ∴S△ACF+S△OFD=S△AOD= 点评：本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，能求出△AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键．-分析：延长AECD于点GCG=xm，在直角△CGExEG，然后在直角△ACG中，xAG，根据AE=AG﹣EGxCD的长．AECDG在直角△CGE中，∠CEG=45°，则EG=CG=xm．在直角△ACG中，AG== +1）≈15×2.72≈40.98（CD=40.98+1.5=42.48（mCD（2015•辽宁省朝阳,2210分）如图，在△ABCAB为直径的⊙O交ACD，过点DE⊥BCE判断DE与⊙O考点：切线的判定．分析：（1）连接DO，BD，如图，由于∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，则∠ADO=∠EDB，再根据圆周理可判断DE为⊙O的切线；腰三角形，所以AD=CD=AC=8，然后在Rt△ABD中利用正切定义可计算出BD=6，再根据勾股定理计AB，从而得到⊙O的半径．（1）DE∵AB为⊙O∴DE为⊙OBD⊥AC，∴△ABC∴⊙O点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了（2015•辽宁省盘锦,第22题8分）如图所示，家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度（ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题．CD=xmRt△BCD中，由于∠DBC=45°BC=CD=x，再在Rt△DAC中，利用正切定义得到x+2=x，解得x=+1，即BC=CD=+1，然后在Rt△FBE中FE=BE=BC+CE≈5.7．解答：Rt△BCDRt△DAC Rt△FBEEF点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是出时，要读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．点，上弦AB=AC，∠B=36°，求中柱AD和上弦AB的长（结果保留小数点后一位．分析：根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5Rt△ADC中，利用∠B解答：解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10∴DC=BD=5Rt△ADC 答：中柱AD（DBC的中点）3.65AB6.17点评：本题考查了解直角三角形的应用：在直角三角形中，已知一个锐角和它的邻边，可利用这个角（2015•青海，第23题8分）如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，在距离建筑物BC底部11.4米的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED=60°，∠BED=45°．的观测点与地面的距离EF1.6米．BC求旗杆AB的高度（0.1米参考数据 参考数据 考点：解直角三角形的应用-分析：（1）先过点EED⊥BC于DB45°BD=ED=FC=11.4，DC=EF=1.6BC；（2）E点观测到旗杆顶部A60°ADAB=AD﹣BD．解答：解：（1）E作ED⊥BC于D，CDEFB45°BC（2）已知由EA60°答：旗杆AB点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问（2015•在同一条直线上，在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D地面的距离DE1.56m，EC=21mABBC的高度（结果保留小数后一位．参考点：解直角三角形的应用-分析：根据题意分别在两个直角三角形中求得AFBFBC解答：解：根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90°，∠DEC=90°．D作DF⊥ACF．∵四边形DECF∴AF=DF•tan47°≈21×1.07=22.47（m∴BF=DF•tan42°≈21×0.90=18.90（mA=AF﹣=22.7﹣18.9=3.57≈36（BC=BF+FC=18.90+1.56=0.46≈20.5（m答：旗杆AB3.6mBC20.5米．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，（2015•2412）如图，AB处乘坐缆车先到达小观景平台DEE处继续乘坐缆车到达A处，返程时从AC处，已知：AC⊥BCC，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°AC（参-DFCGAG的长，求和得到解答：解：∵cos∠DBF=1300CBC500米，∠ACB=90°C点观测山峰顶点A的仰角∠AD（-仰角俯角问题．所有专题：计算题．ABC中，由ABBC的长，利用勾股定理求出ACRt△ABC中，BC=500米，AB=1300米，根据勾股定理得：AC==1200米，﹣仰角俯角问题，熟练掌握勾股定理及锐角三角函数定义是解本（2015•黄冈,第20题7分）如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西的公的A处朝方向撤退,红方在公的B处沿南偏西60°方向前进实施.红方行驶1000米到达C处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功蓝方.求点DB作ABC作AB的平行线，两线交于点E；C作ABD作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，点D处到公路的距DA=BE+CFRtBCEBE1BC1×1000=500RtCDF 222222

米，则

）BABCABECAB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，点D处到公路的距离DA=BE+CF．RtBCE∴BE=2

BC=2

×1000=500在Rt△ 2222

2∴DA=BE+CF=2

）故点D处到公路的距离是

）2212（2015•北偏东30°方向上，在CAC点的北偏45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC（（-分析：过点A作AD⊥BCDAD=xmxBD，CD．再根据AAD⊥BC于点D，设Rt△ABDRt△ACDABC﹣方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题12（2015•B到ACCD专题：应用题．角三角形CEB中，利用锐角三角函数定义BECE的长AE+CE求出AC的长，即可CDBBE⊥AC于点∴AE=60×=30Rt△CEB则 ）× 13（2015•处，它沿方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处PB-（1）BPC⊥ABCRt△PAC，得出PC=PA•sin∠PAC=80，再解Rt△PBC，得出PB=PC=1.41×80≈113；（2）由∠CBP=45°，PB≈113PB45°B113海里．（1）PC⊥ABC，Rt△PBCBP113∴PB45°B113﹣方向角问题，直角三角形，锐角三角函数的有关知识．解一般14（2015•是60米．站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°（人的身高忽略不计，求乙楼的高度CD（-CCE⊥ABABE，在直角△ADBABAEC中求得AECCE⊥AB交ABE，EBDC为矩形， ∵Rt△ADB则 （米∵Rt△ACE∴CD21﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结15（2015 24100ADi10.251.520天完成加固（tan310.60sin310.52JPβαCJPβαC MNE24题（1）（2）DDNAHNANAH20解答：Rt△PENRt△PEMME

tan

∴MNEMEN答：M、N之20⑵DDN⊥AH交直线AH由tan

，tanH7RT△DANAN

tan

24643RT△DHNHN

2442m7故

1AHDN4322故需要填筑的土石方共VSL432100xm3，43200天完成；增加机械设备后，现在平均每天填筑x10x(432001020)2xxxx864是原分式方程的解，且满足实际意义答：864m3的土石方点评：本题考查了仰角的定义以及坡度，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角16（10（2015•了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7， ≈1.4）30°的正切值即可求得AECE长．CEDECD的高度．解答：解：根据题意得：AB=18，DE=18，∠A=30°，∠EBC=60°，在Rt△ADE中，AE= 17（8（2015•米，∠CAB=30°，∠CBA=45°AB地之间铺设一条笔直的输电线路．专题：应用题．（1）CCD⊥ABAB于点D，在直角三角形ACDCD（2）BCDBC的长，由AC+CB﹣AB即可求出输电线路比原来缩（1）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=20×=10（千米，AD=AC•cos∠AD=20×=10 在Rt△BCD中，BD===10（千米，+1（+1（（则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+﹣）千米PA60B37°方向上，AP=30PMN的距离（PE的长AB20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判P（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）考点：解直角三角形的应用-分析：（1）90°P作ABRt△APEPERt△BPFBP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．（1）如图所示：Rt△PBE中，PE=15海里，∠PBE=53°，则BP==海里，A船需要的时间为 =1.5小时，B船需要的时间为：=1.25小时∴B点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的定义，能利用三角函数值计算有19.（2015，广西河池，21，10分）如图,AB为⊙O的直径,CO⊥ABO,D在⊙OBD,CD,延长CDABE,FBE上,FD=FE.求证:FD是⊙O的切线若AF=8,tan∠BDF=,求EF的长∵∠DFO为△EFD的外角,且FD=FE,∠ODC为△EOD的 角,∴FD是⊙O的切线∵AB为⊙O的直径∴=∴=20.（8分（2015•福建）如图，一条河的l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，去测量这条l1A，然后在河岸l2BABl2走到点C处，测得BC=60米，∠BCA=62°，请你帮算出河宽AB（结果精确到1米参考数据：考点：解直角三角形的应用．.专题：应用题．分析：在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可．解答：解：在Rt△ABC中，BC=60米，∠BCA=62°，，AB113米．21.（7分（2015•甘南州）C上测得两建筑物A、B30°60度．如CD90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．-仰角俯角问题．专题：计算题；压轴题．解答：解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB 答：建筑物A、B间的距离为120米CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出ADBD的长．22.（7分（2015