期权的定价基本理论及特性

第十三章期权的定价

第一节

期权价格的特性

一、

内在价值和时间价值期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。（一）期权的内在价值期权的内在价值（）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。欧式看涨期权的内在价值为()的现值。无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于(),而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于()。无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格,其内在价值也就等于()。有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于()。无收益资产欧式看跌期权的内在价值为X()，有收益资产欧式看跌期权的内在价值为X()。无收益资产美式期权的内在价值等于，有收益资产美式期权的内在价值等于。当然，当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应大于等于0。（二）期权的时间价值期权的时间价值（）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，当()时，期权的时间价值最大。当()的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图13.1所示。二、

期权价格的影响因素（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格（二）期权的有效期

（三）标的资产价格的波动率（四）无风险利率（五）标的资产的收益三、期权价格的上、下限（一）期权价格的上限1．看涨期权价格的上限在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。因此，对于对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：

（13.1）其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。2．看跌期权价格的上限由于美式看跌期权多头执行期权的最高价值为协议价格（X），因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：

（13.2）

由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值：

（13.3）其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。（二）期权价格的下限1．欧式看涨期权价格的下限（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金；组合B：一单位标的资产T时刻，组合A的价值为：

而组合B的价值为。由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:()≥S所以c≥()

由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为（13.4）（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限我们只要将上述组合A的现金改为，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：

（13.5）

2．欧式看跌期权价格的下限（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为的现金在T时刻，组合C的价值为：（，X）假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：

由于期权价值值一定为正，，因此无收益益资产欧式看看跌期权价格格下限为：（13.6））（2）有收益益资产欧式看看跌期权价格格的下限我们只要将上上述组合D的的现金改为就可得到有收收益资产欧式式看跌期权价价格的下限为为：（13.7））从以上分析可可以看出，欧欧式期权的下下限实际上就就是其内在价价值。四、提前执行行美式期权的的合理性（一）提前执执行无收益资资产美式期权权的合理性1．看涨期权权由于现金会产产生收益，而而提前执行看看涨期权得到到的标的资产产无收益，再再加上美式期期权的时间价价值总是为正正的，因此我我们可以直观观地判断提前前执行是不明明智的。为了精确地推推导这个结论论，我们考虑虑如下两个组组合：组合A：一份份美式看涨期期权加上金额额为的的现金组合B：一单单位标的资产产T时刻组合A的价值为（（，X），而而组合B的价价值为，可见见组合A在T时刻的价值值一定大于等等于组合B。。即如果不提提前执行，组组合A的价值值一定大于等等于组合B。。若在时时刻提前执执行，则此时时组合A的价价值为：，而组合B的的价值为。。由于因因此此即：若提前执执行美式期权权，组合A的的价值将小于于组合B。比较两种情况况可得：提前前执行无收益益资产美式看看涨期权是不不明智的。因因此，同一种种无收益标的的资产的美式式看涨期权和和欧式看涨期期权的价值是是相同的，即即：（13.8））根据（13.4），我们们可以得到无无收益资产美美式看涨期权权价格的下限限：（13.9））2．看跌期权权为考察提前执执行无收益资资产美式看跌跌期权是否合合理，我们考考察如下两种种组合：组合A：一份份美式看跌期期权加上一单单位标的资产产组合B：金额额为的的现现金若不提前执行行，则到T时时刻，组合A的价值为（（X，），组组合B的价值值为X，组合合A的价值大大于等于组合合B。若在t时刻提提前执行，则则组合A的价价值为X，组组合B的价值值为(τ)，，因此组合A的价值也高高于组合B。。故：是否提前前执行无收益益资产的美式式看跌期权，，主要取决于于期权的实值值额（）、无无风险利率水水平等因素。。一般来说，，只有当S相相对于X来说说较低，或者者r较高时，，提前执行无无收益资产美美式看跌期权权才可能是有有利的。由于美式期权权可提前执行行，因此其下下限比（13.6）更严严格：（13.10）（二）提前前执行有收益益资产美式期期权的合理性性1．看涨期权权由于在无收益益的情况下，，不应提前执执行美式看涨涨期权，据此此可知：在有有收益情况下下，只有在除除权前的瞬时时时刻提前执执行美式看涨涨期权方有可可能是最优的的。我们先来考察察在最后一个个除权日（））提前执行的的条件。如果果在时刻提前前执行，则期期权多方获得得的收益。若若不提前执行行，则标的资资产价格将由由于除权降到到。根据式（13.5），在在时刻期权的的价值（）因此，如果：：即：（13.11）则在提前执行行是不明智的的。相反，如果（13.12）则在提前执行行有可能是合合理的。实际际上，只有当当时刻标的资资产价格足够够大时，提前前执行美式看看涨期权才是是合理的。同样，在时刻刻不能提前执执行有收益资资产的美式看看涨期权条件件是：（13.13）由于存在提前前执行更有利利的可能性，，有收益资产产的美式看涨涨期权价值大大于等于欧式式看涨期权，，其下限为：：（13.14）2．看跌期期权由于提前执执行有收益益资产的美美式期权意意味着自己己放弃收益益权，因此此收益使美美式看跌期期权提前执执行的可能能性变小，，但还不能能排除提前前执行的可可能性。通过同样的的分析，我我们可以得得出美式看看跌期权不不能提前执执行的条件件是：由于美式看看跌期权有有提前执行行的可能性性，因此其其下限为：：（13.15）五、期权价价格曲线的的形状（一）看涨涨期权价格格曲线无收益资产产看涨期权权价格曲线线如图13-2所示示。有收益资产产看涨期权权价格曲线线与图13.2类似似，只是把把X()换成X()。（二）看跌跌期权价格格曲线1．欧式看看跌期权价价格曲线无收益资产产欧式看跌跌期权价格格曲线如图图13-3所示。图13.3无收收益资产欧欧式看跌期期权价格曲曲线有收益资产产期权价格格曲线与图图13.3相似，只只是把换为2．美式看看跌期权价价格曲线无收益资产产美式看跌跌期权价格格曲线如图图13-4所示。有收益美式式看跌期权权价格曲线线与图13.4相似似，只是把把X换成。。六、看涨期期权与看跌跌期权之间间的平价关关系（一）欧式式看涨期权权与看跌期期权之间的的平价关系系1．无收益益资产的欧欧式期权考虑如下两两个组合：：组合A：一一份欧式看看涨期权加加上金额为为的的现金组合B：一一份有效期期和协议价价格与看涨涨期权相同同的欧式看看跌期权加加上一单位位标的资产产在期权到期期时，两个个组合的价价值均为()。由于于欧式期权权不能提前前执行，因因此两组合合在时刻t必须具有有相等的价价值，即：：（13.16）这就是无收收益资产欧欧式看涨期期权与看跌跌期权之间间的平价关关系。它表表明欧式看看涨期权的的价值可根根据相同协协议价格和和到期日的的欧式看跌跌期权的价价值推导出出来，反之之亦然。如果式（13.16）不成立立，则存在在无风险套套利机会。。套利活动动将最终促促使式（13.16）成立。。2．有收益益资产欧式式期权在标的资产产有收益的的情况下，，我们只要要把前面的的组合A中中的现金改改为，，我们就就可推导有有收益资产产欧式看涨涨期权和看看跌期权的的平价关系系：（13.17）（二）美式式看涨期权权和看跌期期权之间的的关系1．无收益益资产美式式期权。由于P>p,从式（（13.16）中我我们可得：：对于无收益益资产看涨涨期权来说说，由于，，因此：（13.18）为了推出C和P更严严密的关系系，我们考考虑以下两两个组合：：组合A：一一份欧式看看涨期权加加上金额为为X的现金金组合B：一一份美式看看跌期权加加上一单位位标的资产产如果美式期期权没有提提前执行，，则在T时时刻组合B的价值为为()，而而此时组合合A的价值值为。因此此组合A的的价值大于于组合B。。如果美式期期权在τ时时刻提前执执行，则在在τ时刻，，组合B的的价值为X，而此时时组合A的的价值大于于等于X。。因此组合合A的价值值也大于组组合B。这就是说，，无论美式式组合是否否提前执行行，组合A的价值都都高于组合合B，因此此在t时刻刻，组合A的价值也也应高于组组合B，即即：>由于，因此此，>>结合式（13.18），我们们可得：（13.19）由于美式期期权可能提提前执行，，因此我们们得不到美美式看涨期期权和看跌跌期权的精精确平价关关系，但我我们可以得得出结论：：无收益美美式期权必必须符合式式（13.19）的的不等式。。2．有收益益资产美式式期权同样，我们们只要把组组合A的现现金改为，，就可得到到有收益资资产美式期期权必须遵遵守的不等等式：（）（（13.20）第二节期期权组合的的盈亏分布布期权交易的的精妙之处处在于可以以通过不同同的期权品品种构成众众多具有不不同盈亏分分布特征的的组合。投资者可以以根据各自自对未来标标的资产现现货价格概概率分布的的预期，以以及各自的的风险收益益偏好，选选择最适合合自己的期期权组合。。在以下的分分析中同组组合中的期期权标的资资产均相同同。一、标的资资产与期权权组合通过组建标标的资产与与各种期权权头寸的组组合，我们们可以得到到与各种期期权头寸本本身的盈亏亏图形状相相似但位置置不同的盈盈亏图，如如图13.5表示。。图13.5（a）反反映了标的的资产多头头与看涨期期权空头组组合的盈亏亏图，该组组合称为有有担保的看看涨期权（（）空头头。标的资资产空头与与看涨期权权多头组合合的盈亏图图，与有担担保的看涨涨期权空头头刚好相反反。图13.5（b）反反映了标的的资产多头头与看跌期期权多头组组合的盈亏亏图，标的的资产空头头与看跌期期权空头组组合的盈亏亏图刚好相相反。从图图13.5可以看出出,组合合的盈亏曲曲线可以直直接由构成成这个组合合的各种资资产的盈亏亏曲线叠加加而来。二、差价价组合差价（）组组合是指持持有相同期期限、不同同协议价格格的两个或或多个同种种期权头寸寸组合（即即同是看涨涨期权，或或者同是看看跌期权）），其主要要类型有牛牛市差价组组合、熊市市差价组合合、蝶式差差价组合等等。1．牛市市差价（））组合。。牛市差价组组合是由一一份看涨期期权多头与与一份同一一期限较高高协议价格格的看涨期期权空头组组成。由于于协议价格格越高，期期权价格越越低，因此此构建这个个组合需要要初始投资资。牛市差价组组合牛市差价组组合在不同同情况下的的盈亏可用用表13.2表示。。表13.2牛牛市差价价期权的盈盈亏状况表13.2结果可用用图13.6表示，，从图可看看出，到期期日现货价价格升高对对组合持有有者较有利利，故称牛牛市差价组组合。标的资产价格范围看涨期权多头的盈亏看涨期权空头的盈亏总盈亏X2―X1―c1X2―2X2―X12―c1X1<<X2―X1―c1c2―X12―c1X11c2c2―c1通过比较标标的资产现现价与协议议价格的关关系，我们们可以把牛牛市差价期期权分为三三类：两两虚值期权权组合，指指两个协议议价格均比比现货价格格高；多多头实值期期权加空头头虚值期权权组合，指指多头期权权的协议价价格比现货货价格低，，而空头期期权的协议议价格比现现货价格高高；两实实值期权组组合，指两两个协议价价格均比现现货价格低低。此外，一份份看跌期权权多头与一一份同一期期限、较高高协议价格格的看跌期期权空头组组合也是牛牛市差价组组合，如图图13.7所示。比较看涨期期权的牛市市差价与看看跌期权的的牛市差价价组合可以以看，前者者期初现金金流为负，，后者为正正，但前者者的最终收收益可能大大于后者。。2．熊市市差价组合合熊市差价（（）组合合刚好跟牛牛市差价组组合相反，，它可以由由一份看涨涨期权多头头和一份相相同期限、、协议价格格较低的看看涨期权空空头组成（（如图13.8所示示）也可以以由一份看看跌期权多多头和一份份相同期限限、协议价价格较低的的看跌期权权空头组成成（如图13.9所所示）。看涨期权的的熊市差价价组合和看看跌期权的的熊市差价价组合的差差别在于，，前者在期期初有正的的现金流，，后者在期期初则有负负的现金流流，但后者者的最终收收益可能大大于前者。。通过比较牛牛市和熊市市差价组合合可以看出出，对于同同类期权而而言，凡““买低卖高高”的即为为牛市差价价策略，而而“买高卖卖低”的即即为熊市差差价策略，，这里的““低”和““高”是指指协议价格格。两者的的图形刚好好与X轴对对称。3．蝶式式差价组合合蝶式差价（（）组合合是由四份份具有相同同期限、不不同协议价价格的同种种期权头寸寸组成。若X1<X2<X3，且X2=（X13）/2，则蝶蝶式差价组组合有如下下四种：看涨期权权的正向蝶蝶式差价组组合，它由由协议价格格分别为X1和X3的看涨期期权多头和和两份协议议价格为X2的看涨涨期权空头头组成，其其盈亏分布布图如图13.10所示；看涨期权权的反向蝶蝶式差价组组合，它由由协议价格格分别为X1和X3的看涨期期权空头和和两份协议议价格为X2的看涨涨期权多头头组成，其其盈亏图刚刚好与图13.10相反；；看跌期权权的正向蝶蝶式差价组组合，它由由协议价格格分别为X1和X3的看跌期期权多头和和两份协议议价格为X2的看跌跌期权空头头组成，其其盈亏图如如图13.11所示示。看跌期权权的反向蝶蝶式差价组组合，它由由协议价格格分别为X1和X3的看跌期期权空头和和两份协议议价格为X2的看跌跌期权多头头组成，其其盈亏图与与图13.11刚好好相反。图13.10看涨涨期权的正正向蝶式差差价组合图图13.11看看跌期权的的正向蝶式式差价组合合三、差期期组合差期（））组合是由由两份相同同协议价格格、不同期期限的同种种期权的不不同头寸组组成的组合合。它有四四种类型：：一份看涨涨期权多头头与一份期期限较短的的看涨期权权空头的组组合，称看看涨期权的的正向差期期组合。一份看涨涨期权多头头与一份期期限较长的的看涨期权权空头的组组合，称看看涨期权的的反向差期期组合。一份看跌跌期权多头头与一份期期限较短的的看跌期权权空头的组组合，称看看跌期权的的正向差期期组合。一份看跌跌期权多头头与一份期期限较长的的看跌期权权空头的组组合，称看看跌期权的的反向差期期组合。看涨期权的的正向差期期组合的盈盈亏分布情情况见表13.3。。表13.3看涨期权权的正向差差期组合的的盈亏状况况根据表13.3，我我们可以画画出看涨期期权正向差差期组合的的盈亏分布布图如图13.12所示。的范围看涨期权多头的盈亏看涨期权空头的盈亏总盈亏趋近―X―c1X―2趋近c2―c1c1T―c1c2c2―c11T0趋近1c2趋近c2―c1用同样的分分析法我们们可以画出出看跌期权权正向差期期组合的盈盈亏分布图图如图13.13所所示。看跌跌期权反向向差期组合合的盈亏分分布图正好好与图13.13相相反，也从从略。四、对角组组合对角组合（（）是指指由两份协协议价格不不同（X1和X2，，且X1<X2）、、期限也不不同（T和和T*，且且T<T*）的同种种期权的不不同头寸组组成。它有有八种类型型：1．看涨涨期权的（（X1，T*）多头头加（X2，T）空空头组合。。表13.4看涨涨期权的正正向差价和和差期组合合根据表13.4，我我们可以画画出看涨期期权的正向向差价和差差期组合的的盈亏分布布图如图13.14所示。2.看涨期期权的（X1，T*）空头加加（X2，，T）多头头组合。其其盈亏图与与图13.14刚好好相反的范围(X1,T*)多头的盈亏(X2,T)空头的盈亏总盈亏趋近于―X1―c1X2―2趋近X2―X12－c12X2―X11T―c1c2X2―X12―c11T0趋近1c2趋近c2―c13.看看涨期权的的（X2，，T*）多多头加（X1，T））空头组合合。4.看看涨期权的的（X2，，T*）空空头加（X1，T））多头组合合，其盈亏亏分布图与与图13.15刚好好相反。5.看看跌期权的的（X1，，T*）多多头加（X2，T））空头组合合，其盈亏亏图如图13.16所示。6.看看跌期权权的（X1，T*））空头加（（X2，T）多头组组合，其盈盈亏图与图图13.16刚好相相反。7.看跌跌期权的（（X2，T*）多头头加（X1，T）空空头组合，，其盈亏图图如图13.17所所示。8.看看跌跌期期权权的的（（X2，，T*））空空头头加加（（X1，，T））多多头头组组合合，，其其盈盈亏亏图图与与图图13.17刚刚好好相相反反。。五、、混混合合期期权权1．．跨跨式式组组合合（（））：：由由具具有有相相同同协协议议价价格格、、相相同同期期限限的的一一份份看看涨涨期期权权和和一一份份看看跌跌期期权权组组成成。。跨跨式式组组合合分分为为两两种种：：底底部部跨跨式式组组合合和和顶顶部部跨跨式式组组合合。。前前者者由由两两份份多多头头组组成成，，后后者者由由两两份份空空头头组组成成。。底部部跨跨式式组组合合的的盈盈亏亏图图如如图图13.18所所示示，，顶顶部部跨跨式式组组合合的的盈盈亏亏图图与与图图13.18刚刚好好相相反反。。2．．条条式式组组合合和和带带式式组组合合条式式组组合合（（））由由具具有有相相同同协协议议价价格格、、相相同同期期限限的的一一份份看看涨涨期期权权和和两两份份看看跌跌期期权权组组成成。。条条式式组组合合也也分分底底部部和和顶顶部部两两种种，，前前者者由由多多头头构构成成，，后后者者由由空空头头构构成成。。底部条式组合合的盈亏图如如图13.19所示，顶顶部条式组合合的盈亏图刚刚好相反。带式组合（））由具有相同同协议价格、、相同期限的的资产的两份份看涨期权和和一份看跌期期权组成，带带式组合也分分底部和预部部两种，前者者由多头构成成，后者由空空头构成。底部带式组合合的盈亏图如如图13.20所示，顶顶部带式组合合的盈亏图刚刚好相反。3．宽跨式式组合。宽跨式组合（（）由相同到到期日但协议议价格不同的的一份看涨期期权和一份看看跌期权组成成，其中看涨涨期权的协议议价格高于看看跌期权。宽宽跨式组合也也分底部和顶顶部，前者由由多头组成，，后者由空头头组成。前者者的盈亏图如如图13.21所示。后后者的盈亏图图刚好相反。。第三节期期权定价的的理论基础一、弱式效率率市场假说与与马尔可夫过过程1965年，，法玛（EF）提出出了著名的效效率市场假说说。该假说认认为，投资者者都力图利用用可获得的信信息获得更高高的报酬；证证券价格对新新的市场信息息的反应是迅迅速而准确的的，证券价格格能完全反映映全部信息；；市场竞争使使证券价格从从一个均衡水水平过渡到另另一个均衡水水平，而与新新信息相应的的价格变动是是相互独立的的，或称随机机的，因此效效率市场假说说又称随机漫漫步理论。效率市场假说说可分为三类类：弱式、半半强式和强式式。弱式效率市场场假说认为，，证券价格变变动的历史不不包含任何对对预测证券价价格未来变动动有用的信息息，也就是说说不能通过技技术分析获得得超过平均收收益率的收益益。半强式效率市市场假说认为为，证券价格格会迅速、准准确地根据可可获得的所有有公开信息调调整，因此以以往的价格格和成交量等等技术面信息息以及已公布布的基本面信信息都无助于于挑选出价格格被高估或低低估的证券。。强式效率市场场假说认为，，不仅是已公公布的信息，，而且是可能能获得的有关关信息都已反反映在股价中中，因此任何何信息（包括括“内幕信息息”）对挑选选证券都没有有用处。效率市场假说说提出后，许许多学者运用用各种数据对对此进行了实实证分析。结结果发现，发发达国家的证证券市场大体体符合弱式效效率市场假说说。弱式效率市场场假说可用马马尔可夫随机机过程（））来表述。。所谓随机过程程是指某变量量的值以某种种不确定的方方式随时间变变化的过程。。根据时间是是否连续，随随机过程可分分为离散时间间随机过程和和连续时间随随机过程，前前者是指变量量只能在某些些分离的时间间点上变化的的过程，后者者指变量可以以在连续的时时间段变化的的过程。根据据变量取值范范围是否连续续划分，随机机过程可分为为离散变量随随机过程和连连续变量随机机过程，前者者指变量只能能取某些离散散值，而后者者指变量可以以在某一范围围内取任意值值。马尔可夫过程程是一种特殊殊类型的随机机过程。在这这个过程中，，只有变量的的当前值才与与未来的预测测有关，变量量过去的历史史和变量从过过去到现在的的演变方式与与未来的预测测无关。（一）标准布布朗运动设代代表一个个小的时间间间隔长度，代代表变量z在在时间内的变化化，遵循标准准布朗运动的的具有两种特特征：特征1：和和的的关系满满足＝（（13.21）特征2：对于于任何两个不不同时间间隔隔，，的值相互独立立。从特征1可知知，本身身也具有正态态分布特征，，其均值为0，标准差为为，，方差差为。。从特征2可知知，标准布朗朗运动符合马马尔可夫过程程，因此是马马尔可夫过程程的一种特殊殊形式。现在我们来考考察遵循标准准布朗运动的的变量z在一一段较长时间间T中的变化化情形。我们们用z（T））－z(0)表示变量z在T中的变变化量，它可可被看作是在在N个长度为为的小小时间间隔中中z的变化总总量，其中，，因此，（13.22）其中(1，2，……N））是标准正态态分布的随机机抽样值。从从特征2可知知，是相互独独立的，因此此z（T）（（0）也具有有正态分布特特征，其均值值为0，方差差为N，标标准差为。。由此我们可以以发现两个特特征：在任任意长度的时时间间隔T中中，遵循标准准布朗运动的的变量的变化化值具有均值值为0，标准准差为的正态态分布。对对于相互独立立的正态分布布，方差具有有可加性，而而标准差不具具有可加性。。当0时，我我们就可以得得到极限的标标准布朗运动动：（13.23）（二）普通布布朗运动为了得到普通通的布朗运动动，我们必须须引入两个概概念：漂移率率和方差率。。漂移率（））是指单位位时间内变量量z均值的变变化值。方差差率（）是是指单位时间间的方差。标准布朗运动动的漂移率为为0，方差率率为1.0。。漂移率为0意味着在未未来任意时刻刻z的均值都都等于它的当当前值。方差差率为1.0意味着在一一段长度为T的时间段后后，z的方差差为1.0T。我们令令漂移率的期期望值为a,方差率的期期望值为b2，就可得到到变量x的的普通布朗运运动：从式（13.21）和（（13.24）可知，在在短时间后，，x值的变化化值为：因此，Δx也也具有正态分分布特征，其其均值为，，标准准差为，，方差为。。同同样，在任意意时间长度T后x值的变变化也具有正正态分布特征征，其均值为为，标准差为为，，方差为为b2T。三、证券价格格的变化过程程

证券价价格的变化过过程可以用普普遍布朗运动动来描述。但但由于投资者者关心的是证证券价格的变变动幅度而不不是变动的绝绝对值，因此此我们可以用用证券价格比比例的方式来来定义证券价价格的布朗运运动：（13.25）其中S表示证证券价格，μμ表示证券在在单位时间内内以连续复利利计算的期望望收益率（又又称预期收益益率），表表示证券券收益率单位位时间的方差差，表表示证券收益益率单位时间间的标准差，，简称证券价价格的波动率率（），遵循循标准布朗运运动。从（13.21）和上式式可知，在短短时间后，，证证券价格比率率的变化值为为：则可得（（13.26）我们将在下文文证明，衍生生证券的定价价与标的资产产的预期收益益率是无关的的。相反，证证券价格的波波动率对于衍衍生证券的定定价则是相当当重要的。应该注意的是是，由于比例例变化不具有有可加性，，因此我们并并不能象以前前一样推导出出在任意时间间长度T后证证券价格比例例变化的标准准差为。。四、伊藤过程程和伊藤引理理普通布朗运动动假定漂移率率和方差率为为常数，若把把变量x的漂漂移率和方差差率当作变量量x和时间t的函数，我我们可以从公公式（13.24）得到到伊藤过程（（）：（（13.27）其中，是一个个标准布朗运运动，a、b是变量x和和t的函数，，变量x的漂漂移率为a，，方差率为b2。在伊藤过程的的基础上，伊伊藤进一步推推导出：若变变量x遵循伊伊藤过程，则则变量x和t的函数G将将遵循如下过过程：（13.28）公式（13.28）就是是著名的伊藤藤引理。从式（13.25）中，，我们可得：：（13.29）我们知道，衍衍生证券的价价格是标的证证券价格S和和时间t的函函数。根据伊伊藤引理，衍衍生证券的价价格G应遵循循如下过程：：（13.30）比较式（13.29）和和(13.30)可看出出，衍生证券券价格G和标标的证券价格格S都受同一一个基本的不不确定性来源源的影响，这这点对于以后后推导衍生证证券的定价公公式很重要。。五、证券价格格自然对数变变化过程我们可用伊藤藤引理来推导导证券价格自自然对数变化化所遵循的随随机过程。令我们就可得出出证券价格对对数G所遵循循的随机过程程为：令t时刻G的的值为，T时时刻G的值为为，其中S表表示t时刻（（当前时刻））的证券价格格，表示T时时刻（将来时时刻）的证券券价格，则在在T－t期间间G的变化为为：这意味着：（（13.31）根据正态分布布的特性，从从式（13.31）可以以得到：（13.32）这表明服从对对数正态分布布。的标准差差与成比例，，这说明证券券价格对数的的不确定性（（用标准差表表示）与我们们考虑的未来来时间的长度度的平方根成成正比。这就就解决了前面面所说的证券券价格比例变变化的标准差差与时间不成成正比的问题题。根据式（13.32）和和对数正态分分布的特性,可知的期望望值E()为为：这与作为预期期收益率的定定义相符。的的方差()为为:第四节布布莱克——舒舒尔斯期权定定价模型一、布莱克———舒尔斯微微分方程推导布莱克———舒尔斯微微分方程需要要用到如下假假设：证券价格遵循循几何布朗过过程，即和为为常数；允许卖空标的的证券；没有交易费用用和税收，所所有证券都是是完全可分的的；在衍生证券有有效期内标的的证券没有现现金收益支付付；不存在无风险险套利机会；；证券交易是连连续的，价格格变动也是连连续的；在衍生证券有有效期内，无无风险利率r为常数。实际上，有些些假设条件我我们可以放松松，如、和r可以是t的的函数。（一）布莱克克——舒尔斯斯微分方程的的推导（13.35）（13.36）我们可以构建建一个包括一一单位衍生证证券空头和单单位标标的证券多头头的组合。令代表该投投资组合的价价值，则：（13.37）在时间后，该该投资组合的的价值变化为为：在没有套利机机会的条件下下：我们代入和和，，则可得著著名的布莱克克——舒尔斯斯微分分程：：布莱克——舒舒尔斯微分分分程适用于其其价格取决于于标的证券价价格S的所有有衍生证券的的定价。应该注意的是是，当S和t变化时，的的值也也会变化，因因此上述投资资组合的价值值并不是永远远无风险的，，它只是在一一个很短的时时间间隔中才才是无风险的的。在一个较较长时间中，，要保持该投投资组合无风风险，必须根根据的的变化而相应应调整标的证证券的数量。。当然，推导导布莱克———舒尔斯微分分方程并不要要求调整标的的证券的数量量，因为它只只关心中中的变化。。（二）风险中中性定价原理理从上可以看出出受制于主观观的风险收益益偏好的标的的证券预期收收益率并未包包括在衍生证证券的价值决决定公式中。。这意味着，无无论风险收益益偏好状态如如何，都不会会对f的值产产生影响。于是，我们就就可以利用布布莱克——舒舒尔斯微分方方程所揭示的的这一特性，，作出一个可可以大大简化化我们工作的的简单假设：：在对衍生证券券定价时，所所有投资者都都是风险中性性的。这就是是风险中性定定价原理。为了更好地理理解风险中性性定价原理，，我们可以举举一个简单的的例子来说明明。（见书书）二、布莱克———舒尔斯期期权定价公式式在风险中性的的条件下，欧欧式看涨期权权到期时（T时刻）的期期望值为：根据风险中性性定价原理，，欧式看涨期期权的价格c等于将此期期望值按无风风险利率进行行贴现后的现现值，即：（13.41）对式（13.41）右边边求值是一种种积分过程，，结果为：其中，由于欧式看涨涨期权和看跌跌期权之间存存在平价关系系,可得(d1)是的的价值(d2)是X份看涨期权权空头的价值值。N(d2)是是在风险中性性世界中期权权被执行的概概率，或者说说大于X的概概率，(d2)是X的的风险中性期期望值的现值值。(d1)是得到的的风险中性期期望值的现值值。是复制交易策策略中股票的的数量，（d1)就是股股票的市值,(d2)则是复制交交易策略中负负债的价值。。三、有收益资资产的期权定定价公式（一）有收益益资产欧式期期权的定价公公式在收益已知情情况下，我们们可以把标的的证券价格分分解成两部分分：期权有效效期内已知现现金收益的现现值部分和一一个有风险部部分。当标的证券已已知收益的现现值为I时，，我们只要用用（S－I））代替S即可可求出固定收收益证券欧式式看涨和看跌跌期权的价格格。当标的的证券券的收收益为为按连连续复复利计计算的的固定定收益益率q（单单位为为年））时，，我们们只要要将代代替S就可可求出出支付付连续续复利利收益益率证证券的的欧式式看涨涨和看看跌期期权的的价格格，从从而使使布莱莱克———舒舒尔斯斯的欧欧式期期权定定价公公式适适用欧欧式货货币期期权和和股价价指数数期权权的定定价。。对于欧欧式期期货期期权，，布莱莱克教教授也也给出出了定定价公公式：：其中，，例子见见书.（二））有收收益资资产美美式期期权的的定价价1．美美式看看涨期期权当标的的资产产有收收益时时，美美式看看涨期期权就就有提提前执执行的的可能能，因因此有有收益益资产产美式式期权权的定定价较较为复复杂，，布莱莱克提提出了了一种种近似似处理理方法法。该该方法法是先先确定定提前前执行行美式式看涨涨期权权是否否合理理，其其方法法我们们在本本章第第一节节已论论述过过。若若不合合理，，则按按欧式式期权权处理理；若若在提提前执执行有有可能能是合合理的的，则则要分分别计计算在在T时时刻和和时刻刻到期期的欧欧式看看涨期期权的的价格格，然然后将将二者者之中中的较较大者者作为为美式式期权权的价价格。。在大大多数数情况况下，，这种种近似似效果果都不不错。。2．美美式看看跌期期权由于收收益虽虽然使使美式式看跌跌期权权提前前执行行的可可能性性减小小，但但仍不不排除除提前前执行行的可可能性性，因因此有有收益益美式式看跌跌期权权的价价值仍仍不同同于欧欧式看看跌期期权，，它也也只能能通过过较复复杂的的数值值方法法来求求出。。第五节节二二叉叉树期期权定定价摸摸型由于美美式看看跌期期权无无法用用布莱莱克———舒舒尔斯斯期权权定价价公式式进行行精确确定价价，因因此要要用其其它替替代方方法，，如二二叉树树期权权定价价模型型，该该模型型是由由科克克斯（（）、、罗斯斯()和鲁鲁宾斯斯坦()于于1979年首首先提提出的的。一、无无收益益资产产期权权的定定价二叉树树模型型首先先把期期权的的有效效期分分为很很多很很小的的时间间间隔隔，并并假设设在每每一个个时间间间隔隔内证证券价价格从从开始始的S运动动到两两个新新值和和中的的一个个，如如图13.22所示示。其其中，，u>1，，d<1，，且1图13.22T时时间内内证券券价格格的变变动为了对对期权权进行行定价价，二二叉树树模型型也应应用风风险中中性定定价原原理并并假定定：（1））所有有可交交易证证券的的期望望收益益都是是无风风险利利率；；（2））未来来现金金流可可以用用其期期望值值按无无风险险利率率贴现现来计计算现现值。。S0u

ƒuS0d

ƒdS0

ƒp(1

–p)（一））参数数p、、u和和d的的确定定参数p、u和d的值值必须须满足足这个个要求求，即即：根据本本章第第2节节的讨讨论，，在一一个小小时间间段内内证券券价格格变化化的方方差是是。。根根据方方差的的定义义，变变量X的方方差等等于X2的的期望望值与与X期期望值值平方方之差差，因因此：：由上可可得，，（二））证券券价格格的树树型结结构应用二二叉树树模型型来表表示证证券价价格变变化的的完整整树型型结构构如图图13.23所所示。。图13.23证证券价价格的的树型型结构构当时间间为0时，，证券券价格格为S。时时间间为t时时，证证券价价格要要么上上涨到到，要要么下下降到到；时时间为为2t时，，证券券价格格就有有三种种可能能：2、（（等于于S））和2，以以此类类推。。一般般而言言，在在时刻刻it，，证券券价格格有1种可可能，，它们们可用用符号号表示示为：：其中0，1，2，………，，i（三））倒推推定价价法由于在在T时时刻的的期权权价值值是已已知的的。所所以以在二二叉树树模型型中，，期权权定价价从树树型结结构图图的末末端T时刻刻开始始，采采用倒倒推法法定价价。例：S0=50;X=50;r=10%;s=40%;T=5=0.4167;=1=0.0833则可得得：u=1.1224;d=0.8909;a=1.0084;p=0.5076据此我我们可可以画画出该该股票票在期期权有有效期期内的的树型型图，，如下下图：：在时刻刻，股股票在在第j个结结点（（0，，1，，2，，………i））的价价格等等于。。例如如，F结点点（4，1）的的股价价等于于。在在最后后那些些结点点处，，期权权价值值等于于。例例如，，G结结点的的期权权价格格等于于50－35.36=14.64。从最后后一列列结点点处的的期权权价值值可以以计算算出倒倒数第第二列列结点点的期期权价价值。。首先先，我我们假假定在在这些些结点点处期期权没没被提提前执执行。。这意意味着着所计计算的的期权权价值值是时时间内内期权权价值值期望望值的的现值值。如如E结点点处的的期权权价值值等于于：而F结结点处处的期期权价价值等等于：：然后，，我们们要检检查提提前执执行期期权是是否较较有利利。在在E结结点，，提前前执行行将使使期权权价值值为0，，所以以不应应提前前执行行。而而在F结点点，如如果提提前执执行，，期权权价值值等于于50.00－－39.69元元，等等于10.31元，，大于于上述述的9.90元元。因因此，，若股股价到到达F结点点，就就应提提前执执行。。用相同同的方方法我我们可可以算算出各各结点点处的的期权权价值值，并并最终终倒推推算出出初始始结点点处的的期权权价值值为4.48元元。（四））美式式看跌跌期权权的定定价公公式其中0，1，2，………，，N假定期期权不不被提提前执执行，，则在在风险险中性性条件件下：：如果考考虑提提前执执行的的可能能性的的话，，式中中的必必须与与期权权的内内在价价值比比较，，由此此可得得：按这种种倒推推法计计算，，当时时间区区间的的划分分趋于于无穷穷大，，或者者说当当每一一区间间趋于于0时时，就就可以以求出出美式式看跌跌期权权的准准确价价值。。根据据实践践经验验，一一般将将时间间区间间分成成30个就就可得得到较较为理理想的的结果果。二、有有收益益资产产期权权的定定价（一））支付付连续续复利利收益益率资资产的的期权权定价价当标的的资产产支付付连续续复利利收益益率q的收收益时时，在在风险险中性性条件件下，，证券券价格格的增增长率率应该该为r－q，因因此此可得得：对于股股价指指数期期权来来说，，q为为股股票组组合的的红利利收益益率；；对于于外汇汇期来来说，，q为为国外外无风风险利利率，，因此此上式式也可可用于于股价价指数数和外外汇的的美式式看跌跌期权权的定定价。。对于期期货期期权来来说，，布莱莱克曾曾证明明，在在对期期货期期权定定价时时期货货的价价格可可以和和支付付连续续红利利率r的证证券同同样对对待，，因此此对于于期货货期权权而言言，，，即：：因此，，也就就可用用于美美式期期货看看跌期期权的的定价价。（二））支付付已知知收益益资产产的期期权定定价1．已已知红红利率率若标的的资产产在未未来某某一确确定时时间将将支付付已知知收益益率，我我们只只要调调整在在各个个结点点上的的证券券价格格就可可算出出期权权价格格。调调整方方法如如下：：如果时时刻i在在除权权日之之前，，则结结点处处证券券价格格仍为为：如果时时刻i在在除权权日之之后，，则结结点处处证券券价格格相应应调整整为：：0，1，………对在期期权有有效期期内有有多个个已知知红利利率的的情况况，也也可进进行同同样处处理。。若δδi为为0时时刻到到时刻刻之间间所有有除权权日的的红利利支付付率，，则时时刻结结点的的相应应的证证券价价格为为：2．已已知红红利额额若标的的资产产在未未来某某一确确定日日期将将支付付已知知数额额的收收益，，则除除权后后树枝枝将不不再重重合，，这意意味着着所要要估算算的结结点的的数量量可能能变得得很大大，特特别是是如果果支付付多次次已知知数额额收益益的话话。为了简简化起起见，，我们们仍可可以把把证券券价格格分为为两个个部分分：一一部分分是不不确定定的，，而另另一部部分是是期权权有效效期内内所有有未来来红利利的现现值。。假设设在期期权有有效期期内只只有一一个除除息日日，而而且x时刻刻不确确定部部分的的价值值S*为为：：当x>时当x<=时时其中D表示收收益金金额。。设为为S*的标准准差，，假设设是是常数数，这这样就就可用用通常常的方方法构构造出出模拟拟S*的二叉叉树了了。。通过把把未来来收益益现值值加在在每个个结点点的证证券价价格上上，就就会使使原来来的二二叉树树转化化为另另一个个模拟拟S的二叉叉树。。在iDt时刻，，当时时，这这个树树上每每个结结点对对应的的证券券价格格为：：j=0，1，2……，，i当时时，这