期权定价理论知识

期权定价理论第六章期权定价理论第一节BSM期权定价模型的思路第二节股票与证券价格的变化第三节BSM期权定价公式的推导第四节BSM模型的评价与应用

1973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack(费雪.布莱克)和MyronScholes(梅隆.舒尔斯)发表了《期权与公司负债定价》疑问，提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，RobertC.Merton(罗伯特.莫顿)独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。本章将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。引言为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。BSM模型的基本思路公式等式第二项dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因素。股票价格服从的随机过程BSM模型的基本思路

根据数学家伊藤(K.Ito)提出的伊藤引理(Itô引理),人们推出，当股票价格服从上述随机过程时可得期权价格相应服从的随机过程，作为股票衍生产品的期权价格f将服从观察得到，影响期权价格的随机因素也完全体现在等式右边的第二项中的dz上，即股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到一种不确定性的影响，其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同，即对随机因素变化的反应程度不同。BSM模型的基本思路BSM期权定价公式：BSM微分方程BSM模型的基本思路基础知识随机过程——如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。分为离散时间和连续时间随机过程；连续变量和离散变量随机过程。MarkovProcess-特殊类型的随机过程——只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关.股票与证券价格的变化人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程。例如：股票现价为100，如果其遵循马尔科夫过程，则一个星期之前、一个月之前的股价不影响对将来的预测。惟一相关的就是股票的现价100.弱式效率市场假说与马尔可夫过程

1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬。

股票与证券价格的变化证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式；弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）来表述。股票与证券价格的变化人们通常用形形如公式的几何布朗运运动来描绘股股票价格的随随机变化过程程；这是期权定价价模型的基础础性假设。也也好似金融中中最主要的假假设；最重要的是dz项，它代表影响响股票价格变变化的随机因因素。通常被成为标准布朗运动动(StandardBrownianMotion)或维纳过程（WienerProcess)。股票与证券价价格的变化股价行为模型型通常用著名名的维纳(WienerProcesses)过程；维纳过程是马马尔科夫随机机过程的一种种特殊形式；；物理学中用于于观察某个粒粒子受到大量量小分子碰撞撞的运动，有时称为为布朗运动(BrownianMotion)；布朗运动（BrownianMotion））起源于于英国植物物学家布朗对水杯杯中的花粉粒粒子的运动轨轨迹的描述。。股票与证券价价格的变化布朗运动标准布朗运动动设代代表一个个小的时间间间隔长度，代代表变变量z在时间间内的变化，遵遵循标准布朗朗运动的具具有两种特征征：特征1：和和的的关系满满足（6.1）：其中，代代表从标准准正态分布（（即均值为0、、标准差为1.0的正态分布）中取的一个个随机值。股票与证券价价格的变化特征2：对于于任何两个不不同时间间隔隔，和和的的值相互互独立。考察变量z在在一段较长时时间T中的变变化情形，我我们可得：其中满足均值值为0，方差差为（（是是相互独独立的）当时时，，我们就可以以得到极限的的标准布朗运运动：股票与证券价价格的变化由特征1知道道，本本身也具具有正态分布布。均值为零零，标准差为，，方差为为；；由特征2知道道，遵循标准准布朗运动的的变量具有独独立增量的性质；普通布朗运动动我们先引入两两个概念：漂漂移率和方差差率；标准布朗运动动的漂移率为为0，方差率率为1.0.股票与证券价价格的变化我们令漂移率率的期望值为为a,方差率的期期望值为b2，就可得到变量x的普通布朗运动动：其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗朗运动。标准布朗运动动是普通布朗朗运动的一个个特例，即漂漂移率为0,方差为1的普普通布朗运动动；漂移率——单单位时间内变变量z均值的的变化值；显然，遵循普普通布朗运动动的变量x是是关于时间和和dz的动态态过程;adt为确定项，漂漂移率a意意味着每单位位时间内x漂移a股票与证券价价格的变化伊藤过程普通布朗运动动假定漂移率和和方差率为常常数，若把变变量x的漂移率和方差差率当作变量量x和时间t的函数，我们们可以普通的的布朗运动方程程得到伊藤过程(ItoProcess)：其中，dz是一个标准布布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。股票与证券价价格的变化证券价格的变变化过程证券（股票））价格的变化化过程可以用用漂移率为μμS、方差率为的的伊藤过过程来表示：：两边同除以以S得：股票与证券券价格的变变化从上式可知知，在短时时间后，证证券价格比比率的变化化值为：可见，也也具有正态态分布特征征股票与证券券价格的变变化例：设一种不付付红利股票票遵循几何何布朗运动动，其波动动率为每年18%，，预期收益益率以连续续复利计为为每年20%，其目目前的市价为100元，求一一周(0.0192年)后该该股票价格格变化值的的概率分布。∆S服从均均值为0.384元元，标准差差为2.49元的正正态分布的的随机抽样样。股票与证券券价格的变变化伊藤引理若变量S遵遵循伊藤过过程，则变变量s和t的函数f将遵循如下下过程：根据伊藤引引理，衍生生证券的价价格f应遵循如下下过程：由于股票与证券券价格的变变化证券价格自自然对数变变化过程令，，由于代入衍生证证券的价格格方程:证券价格对对数G遵循循普通布朗朗运动,且且：股票与证券券价格的变变化例设A股票价价格的当前前值为50元,预期期收益率为为每年18%,波动率为每每年20%,该股票票价格遵循循几何布朗朗运动,且且该股票在6个月内内不付红利利，请问该该股票6个个月后的价价格ST的概率分布。例请问在上例例中，A股股票在6个个月后股票票价格的期期望值和标准差等多多少？股票与证券券价格的变变化假设：证券价格遵遵循几何布布朗运动，，即和和为为常数；；允许卖空标标的证券；；没有交易费费用和税收收，所有证证券都是完完全可分的的；衍生证券有有效期内标标的证券没没有现金收收益支付；；存在无风险险套利机会会；证券交易是是连续的，，价格变动动也是连续续的；衍生证券有有效期内，，无风险利利率r为常常数。BSM期权权定价模型型由于证券价价格S遵循循几何布朗朗运动，因因此有：其在一个小小的时间间间隔中中，S的变化值值为为：在一个小的的时间间隔隔中，f的变化值为为：设f是依赖于S的衍生证券券的价格，，则f一定是S和t的函数，根根据伊藤引引理可得：：BSM期权权定价模型型为了消除风风险源，，可以以构建一个个包括一单单位衍生证证券空头和和单单位标的的证券多头头的组合。。令代表表该投资组组合的价值值，则：在时时间后，该该投资组合合的价值变变化为为：代入和和可得得：BSM期权权定价模型型

中不含任何风险源，因此组合必须获得无风险收益，即代入上式可得化简为**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。BSM期权权定价模型型观察布莱克克－舒尔斯斯微分方程程，我们可可以发现，，受制于主主观的风险险收益偏好好的标的证证券预期收收益率并未未包括在衍衍生证券的的价值决定定公式中。。这意味着着，无论风风险收益偏偏好状态如如何，都不不会对f的的值产生影影响。假设：在对衍生证证券定价时时，所有投投资者都是是风险中性性的。尽管这只是是一个人为为的假定，，但通过这这种假定所所获得的结结论不仅适适用于投资资者风险中中性情况，，也适用于于投资者厌厌恶风险的的所有情况况。在风险中性性的条件下下，所有证证券的预期期收益率都都可以等于于无风险利利率r，所所有现金流流量都可以以通过无风风险利率进进行贴现求求得现值。。这就是风风险中性定定价原理。。BSM期权权定价模型型假设一种不不支付红利利股票目前前的市价为为10元，，我们知道在3个月月后，该股股票价格要要么是11元，要么么是9元。。现在我们要找找出一份3个月期协协议价格为为10.5元的该股股票欧式看涨期权权的价值。。由于欧式期期权不会提提前执行，，其价值取取决于3个个月后股票的市价价。若3个个月后该股股票价格等等于11元元，则该期期权价值为0.5元；若若3个月后后该股票价价格等于9元，则该该期权价值为0。案例风风险中性定定价原理的的应用BSM期权权定价模型型为了找出该该期权的价价值，我们们可构建一一个由一单单位看涨期权空头头和单单位的标标的股票多多头组成的的组合。若若3个月后后该股票价价格等于11元时，，该组合价价值等于(11－0.5)元；若3个个月后该股股票价格等等于9元时时，该组合合价值等于于9元元。为了使使该组合价价值处于无无风险状态态，我们应应选择适当当的值值，使3个个月后该组组合的价值值不变，这这意味着：：11－－0.5=9=0.25因此，一个个无风险组组合应包括括一份看涨涨期权空头头和0.25股标的的股票。无无论3个月月后股票价价格等于11元还是是9元，该该组合价值值都将等于于2.25元。30BSM期权权定价模型型假设现在的的无风险年年利率等于于10%，，则该组合合的现值应应为：由于该组合合中有一单单位看涨期期权空头和和0.25单位股票票多头，而而目前股票票市场为10元，因因此：这就是说，，该看涨期期权的价值值应为0.31元，，否则就会会存在无风风险套利机机会。31BSM期权权定价模型型从该例子可可以看出，，在确定期期权价值时时，我们并并不需要知道股股票价格上上涨到11元的概率率和下降到到9元的概概率。。但但这这并并不不意意味味着着概概率率可可以以随随心心所所欲欲地地给给定定。。事实实上上，，只只要要股股票票的的预预期期收收益益率率给给定定，，股股票票上上升升和和下降降的的概概率率也也就就确确定定了了。。例如如，，在在风风险险中中性性世世界界中中，，无无风风险险利利率率为为10%，，则则股票票上上升升的的概概率率P可可以以通通过过下下式式来来求求：：P=62.66%.32BSM期期权权定定价价模模型型又如如，，如如果果在在现现实实世世界界中中股股票票的的预预期期收收益益率率为为15%，，则则股股票票的的上上升升概概率率可可以以通通过过下下式式来来求求：：P=69.11%.可见见，，投资资者者厌厌恶恶风风险险程程度度决定定了了股股票票的的预预期期收收益益率率，，而而股股票票的的预预期期收收益益率率决决定定了了股股票票升升跌跌的的概概率率。。然然而而，，无无论论投投资资者者厌厌恶恶风风险险程程度度如如何何，，从从而而无无论论该该股股票票上上升升或或下下降降的的概概率率如如何何，，该该期期权权的的价价值值都都等等于于0.31元元。。33BSM期期权权定定价价模模型型在风险中中性的条条件下，，无收益益资产欧欧式看涨涨期权到到期时（（T时刻）的的期望值值为：其中，表示风险险中性条条件下的的期望值值。根据据风险中中性定价价原理，欧式看涨涨期权的的价格c等于将此此期望值值按无风风险利率率进行贴贴现后的的现值，，即：34BSM期期权定价价模型BSM期期权定价价模型对于布莱莱克－舒舒尔斯期期权定价价公式的的理解：：在B-S公式中中，N(d2)是在风风险中性性世界中中ST大于X的概率，或者者说是欧欧式看涨涨期权被被执行的的概率，，e-r(T-t)XN(d2)是是X的风风险中性性期望值值的现值值;e-r(T-t)SN(d1)=E(ST)N(d1)是ST的风险中中性期望望值的现现值。。因此，这这个公式式就是未未来收益益期望值值的贴现现。36BSM期期权定价价模型无收益资资产的欧欧式看跌跌期权的的定价公公式根据欧式式看涨期期权和看看跌期权权之间存存在平价价关系，，可以得到到无收益益资产欧欧式看跌跌期权的的定价公公式：37BSM期期权定价价模型例：假设设某只不不支付红红利股票票的市价价为50元，无无风险利利率为12%，该该股票的的年波动动率为10%，，求该股股票协议议价格为50元，期期限为1年的欧欧式看涨涨期权和和看跌期期权价格格。解相关关参数表表达如下下：S=50,X=50,r=0.12,T=1第一步，，先算出出d1和d2BSM期期权定价价模型第二步，，计算N(d1)和N(d2)；N(d1)=N(1.25)=0.8944N(d2)=N(1.15)=0.8749第三步，，将上述述结果代代入看涨涨期权和和看跌期期权的公公式，则则欧式看涨涨期权和和看跌期期权价格格分布为为：BSM期期权定价价模型谢谢谢1月月-2301:28:5601:2801:281月月-231月月-2301:2801:2801:28:561月-231月-2301:28:562023/1/61:28:579、静夜四无无邻，荒居居旧业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄黄叶树，，灯下白白头人。。。01:28:5701:28:5701:281/6/20231:28:57AM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。1月月-2301:28:5701:28Jan-2306-Jan-2312、故人江海海别，几度度隔山川。。。01:28:5701:28:5701:28Friday,January6,202313、乍见翻疑梦梦，相悲各问问年。。1月-231月-2301:28:5701:28:57January6,202314、他乡生生白发，，旧国见见青山。。。06一一月20231:28:57上午午01:28:571月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月231:28上上午1月-2301:28January6,202316、行动动出成成果，，工作作出财财富。。。2023/1/61:28:5701:28:5706January202317、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。1:28:57上午午1:28上午午01:28:571月-239、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。01:28:5701:28:5701:281/6/20231:28:57AM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。1月-2301:28:5701:28Jan-2306-Jan-2312、世间成成事，不不求其绝绝对圆满满，留一一份不足足，可得得无限完完美。。。01:28:5701:28:5701:28Friday,January6,202313、不知香积积寺，数里里入云峰。。。1月-231月-2301:28:5701:28:57January6,202314、意志坚强的的人能把世界界放在手中像像泥块一样任任意揉捏。06一月20231:28:58上午01:28:581月-2315、楚塞三三湘接，，荆门九九派通。。。。一月231:28上午午1月-2301:28January6,202316、少年十五二二十时，步行行夺得胡马骑骑。。2023/1/61:28:5801:28:5806January202317、空空山山新新雨雨后后，，天天气