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文档简介

第六节正弦定理和余弦定理【教材·知识梳理】1.正弦定理与余弦定理2.三角形的面积公式S△ABC=aha=bhb=chc=__________=__________=______________.

【常用结论】三角形中的必备结论(1)a>b⇔A>B(大边对大角).(2)A+B+C=π(三角形内角和定理).(3)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，

(4)射影定理：bcosC+ccosB=a，bcosA+acosB=c，acosC+ccosA=b.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c. (

)(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. (

)(3)在△ABC中,sinA>sinB的充分不必要条件是A>B.(

)提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2)是正确的,所以(1)√,(2)√,(3)×.【易错点索引】序号易错警示典题索引1在三角形中,一个正弦值(正数)对应两个角,一个余弦值对应一个角考点一、T32忽视三角形内角范围,即0°<A<180°考点二、典例【教材·基础自测】1.(必修5P7例2改编)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= (

)

【解析】选C.在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cos∠BAC=由A∈(0,π),得A=,即∠BAC=.2.(必修5P6练习BT3改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c<bcosA,则△ABC为 (

)A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形【解析】选A.依题意得sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.3.(必修5P5练习AT1(1)改编)已知在△ABC中,A=B=a=1,则b等于(

)A.2

B.1

C.

D.【解析】选D.由正弦定理核心素养数学运算——正余弦定理结合三角变换

【素养诠释】数学运算是在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.【典例】(2019·西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).(1)求cosA的值.(2)求sin(2B-A)的值.【素养立意】与三角恒等变换相结合,考查正弦定理、余弦定理.【解析】(1)由asinA=4bsinB及得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理得cosA=(2)由(1)及A∈(0,π),可得sinA=代入asinA=4bsinB,得sinB=由(1)知,A为钝角,所以cosB=

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