（新课改地区）2021届高考数学一轮复习课件：第六章不等式6.2均值不等式

第二节均值不等式【教材·知识梳理】1.均值定理：≥(1)成立的条件_________.(2)等号成立的条件：当且仅当____时取等号.a>0，b>0a=b2.利用均值不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当____时，x+y有最___值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x+y是定值p，那么当且仅当____时，xy有最___值.(简记：和定积最大)x=y小x=y大【常用结论】1.均值不等式的两种常用变形形式(1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a=b时取等号).(2)a+b≥2(a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号).2.几个重要的结论(1)≥.(2)≥2(ab>0).(3)≤≤≤(a>0，b>0).【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)重要不等式和均值不等式成立的条件、等号成立的条件都是相同的.(

)(2)a,b都是非负数,a+b≥2,那么a+b的最小值是2. (

)(3)函数f(x)=x+的最小值是2. (

)提示:(1)×.变量范围不同.(2)×.2是否是最小值既要看ab是否为定值,还要看等号是否成立.(3)×.函数f(x)=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值.【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽视定值拼凑考点一、角度12忽视定值构造考点一、角度23忽视整体构造考点一、角度4【教材·基础自测】1(必修5P73习题3-2AT9改编)当x>1时,x+的最小值为________.

【解析】当x>1时,x+=x-1++1≥+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立.答案:32.(必修5P72练习BT5改编)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元.

【解析】设底面的相邻两边长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy·1=4⇒xy=4.T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2=80+20×4=160(当且仅当x=y时取等号).故该容器的最低总造价是160元.答案:1603.(必修5P70例2(2)改编)若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2.

【解析】设一边长为xm,则另一边长可表示为(10-x)m,由题知0<x<10,则面积S=x(10-x)≤=25,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,故当矩形的长与宽相等,且都为5m时面积取到最大值25m2.答案:25

【思想方法】转化与化归思想在恒成立问题中的应用

【典例】设x>0,y>0,不等式≥0恒成立,则实数m的最小值是 (

)

A.-2

B.-4

C.1

D.2【解析】选B.因为x>0,y>0,不等式≥0恒成立,所以只需m≥因为当且仅当x=y时取等号.所以m≥-4,所以m的最小值为-4.

【思想方法指导】恒成立问题一般可以转化为最值问题,通过分离参数等方法,转化为利用基本不等式求另一侧函数式的最大值或最小值.

【迁移应用】已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式≥4恒成立,则m的取值范围是(

)A.[,+∞) B.[2,+∞)

C.(0,] D.(,2]