第二章分子动理论的平衡态理论

第二章分子动理论的平衡态理论§2.1分子动理论与统计物理学§2.2概率论的基本知识§2.3麦克斯韦速率分布§2.4麦克斯韦速度分布§2.5气体分子碰壁数及其应用§2.6外力场中自由粒子的分布玻尔兹曼分布§2.7能量均分定理§2.1分子动理论与统计物理学热物理学的微观理论是在分子动（理学）理论（简称分子动理论）基础上发展起来的。分子动理论方法的主要特点是：它考虑到分子间、分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间有相互作用力，利用力学定律和概率论来讨论分子运动、分子碰撞的详情其最终及最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。从广义上来说：统计物理学是从物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。按这种观点，分子动理论也应归于统计物理学的范畴。对于初学者，重点应掌握基本物理概念

处理问题的物理思想及基本物理方法，

熟悉物理理论的重要基础——基本实验事实。

在某些问题（特别是一些非平衡态问题）中可暂不去追究理论的十分严密与结果的十分精确。

因为相当简单的例子中常常包含基本物理方法中的精华，

它常常能解决概念上的困难并能指出新的计算步骤及近似方法§2.2概率论的基本知识在§1.6中讨论气体分子碰壁数及气体压强公式时,曾简单地认为每一分子均以平均速率运动，并以此来替代相应物理量的统计平均，这里的近似很粗糙实际的情况是粒子几乎有所有可能的速度，只是不同速度的粒子所占比例不一样而已，因而解决上述问题的关键是要找到分子按速率的概率分布律。本节将介绍有关概率及概率分布函数的基本知识。一、伽尔顿板实验有关概率统计的最直观的演示是伽尔顿板实验，如图（a）所示。无法使小球落入漏斗内的初始状态完全相同。因而小球落入那一小槽完全是随机的。一、伽尔顿板实验只要小球总数足够多（N∞），则每一小槽内都有小球落入，且第i个槽内小球数Ni

与小球总数N（N=∑Ni）之比有一定的分布。若板中各钉子是等距离配置的，则其分布曲线如图2.1（b）所示。其分布曲线对称于漏斗形入口的竖直中心轴。一、伽尔顿板实验若重复做实验[甚至用同一小球投入漏斗N次（N∞）]，其分布曲线都相同。由此可见，虽然各小球在与任一钉子碰撞后向左还是向右运动都是随机的，由很多偶然因素决定，但最终大量小球的总体在各槽内的分布却有一定的分布规律，这种规律由统计相关性所决定

二、等概率性与概率的基本性质（一）概率的定义在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生也可能不发生，我们就称这样的事件为随机事件。与之相对应的是确定事件。随机事件：掷骰子哪一面朝上完全是随机的，受到许多不能确定的偶然因素的影响，如生男生女、如“天有不测风云、人有旦夕祸福”。确定事件：

标况下，水在100摄氏度会必然会沸腾。太阳必然会东升西落鸡蛋孵出来的必然不是鸭子等等二、等概率性与概率的基本性质（一）概率的定义但是偶然中却有必然：如多次投掷硬币出现正反面的概率为50%男女婴儿出生比为22：21（世界各地均如此）大数定律：当试验次数很大时，随机事件出现的频率会稳定在某个数值P附近摆动，这个稳定的数值P称为随机事件的概率。概率：若在相同条件下重复进行同一个试验（如掷骰子），在总次数N足够多的情况下（即N∞），计算所出现某一事件（如哪一面向上）的次数NL，则其百分比即该事件出现的概率

:（二）等概率性在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。若在某一面上钻个小孔，在小孔中塞进些铅，然后再封上，或者通过一些其他磁铁等，则我们预料情况会不同由此可总结出一条基本原理：等概率性——在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。思考题一：抽签的几率和抽签顺序是否有关。十个人中随机挑选一人获得某个机会，写十张纸条（其中只有一张有记号），每人拿走一张，问，先抽的人中的几率大还是后抽的人机会大？有人说是先抽的人，因为先抽的人纸条都在，如果后抽，可能纸条就被先抽走了也有人说是后抽的人，先抽的人的几率是10选1，如果先抽的人没抽着，后抽的人的几率就是9选1，甚至更高也有人认为这和抽签顺序无关，因为假如大家抽完后都不看结果，等所有的人都拿到以后再看，每个人的概率都是10选1到底如何？思考题二：班级同学中出现二个人生日在同一天（不管出生年份）的概率有多大？或者说，如果你的所有朋友在他们生日的时候都会邀请你的话，那么你在某一天接到两份生日宴会邀请的概率有多大？0.4642（24），0.09738（40）（三）概率的基本性质（1）概率相加法则：n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和，简称概率相加法则。所谓n个互相排斥（简称互斥）的事件是指，出现事件1，就不可能同时出现事件2，3…n，同样对2，3…n事件也是如此。如投掷一枚硬币，要么出现正面要么出现反面如投掷色子，六面出现的概率加一起为1如：明天要是不下雨的话很可能就会继续天晴，当然，理论上也不排除多云转阴天的可能。概率相加规律适用于:或者……,或者……..(要么……,要么……..)如：投掷一次色子，出现1或者6的概率是多少？1/6+1/6(概率相加)（三）概率的基本性质（2）概率相乘法则：同时或依次发生的，互不相关（或相互统计独立）的事件发生的概率等于各个事件概率之乘积，简称概率相乘法则。关键要两次事件完全独立。如：连续两次投掷硬币，连续出现相同一面朝上的概率是多大？1/2乘以1/2概率相乘规律适用于:即……,又……..

六连号的概率：100个号码中随机抽取6个号码，抽取的六个号码连在一起的概率是多少？95/C6

100三、平均值及其运算法则

统计分布的最直接的应用是求平均值。以求平均年龄为例，N个人的年龄平均值就是N个人的年龄之和除以总人数N。求年龄之和可以将人按年龄分组，设ui为随机变量（例如年龄），其中出现（年龄）u1值的次（或人）数为N1，u2值的次（或人）数为N2……，则该随机变量（年龄）的平均值为

两式均是求平均值公式，第一式通过求和来求平均值的，第二式是利用概率分布来求平均值的。第二式在科学研究中更常见。对于更复杂的函数，设f（u）是随机变量u的函数，则其平均值为：

因为Ni/N是出现ui值的百分比，当N

时该百分比就是出现ui值的概率Pi，故平均值的性质

(2)若随机变量u和随机变量v相互统计独立，且f(u)是u的某一函数，g（v）是v的另一函数，则：

（1）若C为常数，则应该注意到，以上讨论的各种概率都是归一化的，即：四、均方偏差

随机变量会偏离平均值，即：一般其偏离值的平均值为零，但均方偏差不为零。定义相对均方根偏差：方均根/平均值，为：当ui所有值都等于相同值时:可见相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分散开的程度，也称为涨落、散度或散差。平均值表示综合国力，均方偏差更能反映贫富差距五、概率分布函数

上面所讨论的随机变量只能取离散值。实际变量很多是连续变化，如粒子的空间位置或粒子的速度。在随机变量取连续值时，上述求平均值公式中Pi

也是连续分布的。当然，测量仪器总有误差，测不出分子速率恰好为100m/s的分子数是多少，若仪器的误差范围为1m/s，则只能测出分子速率从99.5m/s到100.5m/s的分子数是多少。我们不能讲分子速率恰好处于100m/s的概率，而只能讲分子速率介于某一范围（例如99m/s~101m/s）内的概率。打靶试验的例子子弹沿靶板的分布实验图是直角坐标示靶板上的分布把靶平面划分出很多宽为x的窄条，x的宽度比黑点的大小要大得多。数出在x到x+Δx范围窄条的黑点数ΔN，它除以靶板上总的黑点数N，得到的百分比ΔN/N就是黑点处于x到x+Δx范围内这一窄条的概率。然后以N/(Nx)为纵坐标，以x为横坐标，画出一根根柱状条形。则每个柱形的高度为N/(Nx)，宽度为x，则竖条面积为ΔN/N，就是子弹处在x到x+Δx内所占的百分比，即概率这样的图就叫直方图若令x0，就得到一条连续曲线，这时的纵坐标f(x)称为黑点沿x方向分布的概率密度函数，表示黑点沿x方向的相对密集程度。而黑点处在处于x到x+dx范围内的概率为：

f（x）dx由积分的面积意义知，黑点处于x1到x2范围内的概率为：显然，黑点处在0到无穷大的概率为：此即归一化条件类似地，如果是二维情况，可再把靶板沿y方向划分为若干宽为y

的窄条,数出每一窄条中的黑点数，求出f(y)=N/（Ny），并令y0

可得到黑点处于y到y+dy范围内的概率为f（y）dy。显然，黑点处于x到x+dx，y到y+dy范围内的概率就是图中打上斜线的范围内的黑点数与总黑点数之比。f（x，y）称为黑点沿平面位置的概率密度分布函数，它表示在这一区域内黑点相对密集的程度。f(x，y)dxdy称为沿平面位置的概率分布函数要求出处于x1到x2、y1

到y2内的概率，则对x、y积分:有了概率分布函数就可求平均值。例如，黑点的x方向坐标偏离靶心（x=0）的平均值为:x的某一函数F（x）的平均值为:§2.3麦克斯韦速率分布对于处在确定平衡态系统的分子：平均速率恒定。但实际上：分子速率取各种大小的都有。且同一分子在不同时间速率也会变化。不过，对于处在确定平衡态的分子，虽然每个分子在某一瞬时的速度大小、方向都在随机地变化着，但是大多数分子之间存在一种统计相关性，这种统计相关性表现为：平均说来气体分子的速率（指速度的大小）介于v到v+dv的概率（即速率分布函数）是不会改变的

一、麦克斯韦速率分布

（Maxwellspeeddistribution）早在1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想气体分子在三个方向上作独立运动的假设导出了麦克斯韦速率公布，其表达式如下：其中k为玻尔兹曼常量(Boltzmannconstant)，m、T分别为分子质量和温度.图右阴影面积表示：分子速率介于v1

到内分子数与总分子数之比，其数值应该从下面的积分求出：

图左斜条狭长区域面积表示：速率介于v到v+dv分子数与总分子数之比，此即麦克斯韦速率分布:计算积分时，可利用附录2-1中的积分公式：并令=m/2kT，则：说明麦克斯韦速率分布是归一化的。一些定积分公式：关于麦克斯韦分布说明几点：（1）麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。在平衡状态下气体分子密度n及气体温度都有确定数值，故其速率分布也是确定的，它仅是分子质量及气体温度的函数，其分布曲线随分子质量或温度的变化趋势示于图。（2）因为v2是一增函数，exp(-mv2/2kT)是一减函数，增函数与减函数相乘得到的函数将在某一处取极值。此极大值所对应的速率为最概然速率（也称最可几速率），以vp表示。(3)

麦克斯韦分布本身是统计平均的结果，会有涨落。但当粒子数为大数时，其相对均方根偏差可以忽略。(4)

记住麦克斯韦速率分布的函数形式为：由归一化可求(5)

量纲分析记公式:首先，e指数上量纲应为1，而mv2/2与kT均是能量的量纲其次，当v

时，f（v）应趋于零，e指数上应为负，由此可见其指数因子为：再次，概率函数应为无量纲，v2dv为v的三次方量纲，因此系数A呈v-3量纲。而v2

量纲与2kT/m的量纲相同，所以A中应有(m/2kT)3/2

因子。理想气体分子的平均速率、均方根速率、最概然速率平均速率：(2)均方根速率：(3)最概然速率Vp:三个速率均有此特征：m越小或T越大，三速率越大。结果与从得到的完全相同。（4）三种速率之比：

它们三者之间相差不超过23%，而以均方根速率为最大在§1.6理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式证明中曾用到近似条件：其偏差仅8.5%，比较小，但处理简单有关例题：[例1]试求氮分子及氢分子在标准状况下的平均速率。[解]：（1）氮分子平均速率（2）氢分子平均速率

以上计算表明，除很轻的元素如氢、氦之外，其它气体的平均速率一般为数百米的数量级[例2]试说明下列各式的意义：[例3]

如图所示为麦克斯韦速率分布曲线，图中A、B两部分面积相等，问V0的含义。V0是不是表示平均速率？V0AB二、分子射线束实验此处，简单讲述本节第一部分的分子束速率分布。德国物理学家斯特恩（Sterm）最早于1920年做了分子射线束实验以测定分子射线束中的分子速率分布曲线。此处介绍朗缪尔（Langmuir）的实验显然，分子束中能穿过第一个凹槽的分子一般穿不过第二个凹槽，除非它的速率v满足如下关系：只要调节不同的旋转角速度，就可以从分子束中选择出不同速率的分子来。更确切些说，因为凹槽有一定宽度，故所选择的不是恰好某一速率大小，而是某一速率范围Δv内的分子数。若在接收屏上安上能测出单位时间内透过的分子数ΔN的探测器，我们就可利用这种实验装置测出分子的速率从零到无穷大范围内的分布情况。与黑点在靶板上的分布相类似，我们以ΔN/NΔv

为纵坐标（其中N是单位时间内穿过第一个圆盘上的凹槽的总分子数），以分子的速率v为横坐标作一图形，如图所示。分子束速率分布图线图（a）中每一细长条的面积均表示单位时间内所射出的分子束中，分子速率介于该速率区间的概率[ΔN/(NΔv)]v其中Δv=10m·s-1。在v到v+dv速率区间内的细长条的面积就表示分子速率介于v到v+dv区间范围内的概率:

注意：分子束速率分布函数并不就是分子源中的麦克斯韦速率分布，为什么？见P78当Δv0时，即得一条光滑的曲线，称为分子束速率分布曲线。其纵坐标为，称为分子束速率分布概率密度函数。§2.4麦克斯韦速度分布

前面指出，麦克斯韦其实是先导出速度分布，然后再从速度分布得到速率分布的。本节中介绍麦克斯韦速度分布，为了说明速度分布的含义，先介绍速度空间的概念。

一、速度空间（1）什么是“速度空间”？以分子的速度沿x,y,z轴的投影分量vx、vy、vz为坐标的坐标系称为直角坐标表示的速度空间。注意：速度空间是人们想像中的空间坐标，所描述的不是分子的空间位置，其中的矢量表示速度的大小与方向。（2)什么叫速度空间中的“代表点”？在速度空间中，把分子的速度矢量表示出来，并且把所有分子速度矢量的起始点都平移到公共原点O上。平移后，仅以矢量箭头的端点表示这一矢量，而把矢量符号抹去。这样的点称为代表点。如图中的P点所示。

速度空间中代表点分布与靶板上靶点分布类似下中图，靶点位于x到x+dx，y到y+dy范围内的概率为：

f（x，y）dxdy其中dxdy为这一区域大小，f（x，y）是黑点分布的概率密度。在三维速度空间中，在vx

到vx+dvx，vy到vy+dvy，vz到vz+dvz区间内划出一个体积为dvxdvydvz的微分元，如图所示。数出在这微分元中的代表点的数目dN（vx、vy、vz），并把称为坐标为vx、vy、vz处的麦克斯韦速度分布概率密度，它表示在dvxdvydvz小体积元中代表点的相对密集程度。问1：速度空间中处在厚为dvx

无限大平板中的概率？即：N个分子中速度x分量落在vx

到vx+dvx范围内而vy,vz在任意范围内的分子数dN（vx）是多少？在速度空间中划出一个垂直于vx轴的厚度为dvx的无穷大平板，如图所示。不管速度的y、z分量如何，只要速度x分量在vx

到vx+dvx范围内，则所有这些分子的代表点都落在此很薄的无穷大平板中设此无穷大平板中代表点的数目为dN（vx），则dN（vx）/N表示速度处于vx

到vx+dvx而vy、vz为任意值范围内的分子所占的概率。这一概率与板的厚度dvx成比例，令：

dN（vx）/N=f(vx)dvx称分子x方向速度分量概率分布函数同样可分别求出垂直于vy轴及vz轴的无穷大薄平板中代表点数dN（vy）及dN（vZ）,则有：dN（vy）/N=f(vy)dvy

dN（vz）/N=f(vz)dvz分别表示y及z方向速度分量的概率分布函数。根据分子混沌性假设，分子速度没有择优取向，故：f（vx）、f（vy）、f（vz）应具有相同形式。问2：速度空间中处在截面积为dvxdvy的无穷长方条中的概率

即：分子速率介于vx

到vx+dvx，vy到vy+dvy，而vz在任意范围内的分子数dN（vx，vy）是多少？显然这些分子的代表点都落在一根平行于vz轴、截面积为dvxdvy的无穷长的方条中。

因为分子落在垂直于dvx轴的平板内的概率是f（vx）dvx，分子落在垂直于vy轴的平板内的概率是f（vy）dvy由相互独立的同时事件概率相乘法则可知，分子落在方柱体内的概率为方柱体内代表点数dN（vx，vy）与总分子数N的比值：

即：分子速度分量处于vx

到vx+dvx，vy

到vy+dvy，vz到vz+dvz范围内的概率是多少？平板与柱体相交截得一体积为dvxdvydvz的小立方体，计算出在小立方体中的代表点数dN（vx、vy、vz），而dN（vx、vy、vz）/N就是所要求的概率因为vx，vy，vz相互独立，故：dN（vx、vy、vz）/N=f(vx)dvx·f(vy)dvy·f(vz)dvz

显然，速度分布概率密度f（vx，vy，vz）是分子分别按速度的x、y、z方向分量分布的概率密度f(vz)、f(vy)、f(vz)的乘积。分子处于速度空问任一微小范围dvxdvydvz内的概率是f（vx，vy，vz）与dvxdvydvz的乘积。

问3：速度空间中处在体积为dvxdvydvz中的概率

二、麦克斯韦速度分布（Maxwellvelocitydistribution）

麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气体分子的速度分布，这一分布可表示为：因为f（vx

，vy，vz)=f(vx)dvx·f(vy)dvy·f(vz)dvz，故麦克斯韦速度分布在速度分量上的表达式为：其中i可分别代表x、y、z。若要求出分子速度在vx

到vx+dvx内，而vy，vz任意的分子数dN(vx),则需要对vy、vz全空间积分：利用定积分公式可知上式中的两个积分都是1，因此可得：这就是前面我们得到的结论。速度分量x的分布曲线如图所示：曲线关于纵轴对称。图上斜线部分的面积即为分子速度沿x方向的分量在vx

到vx+dvx，而vyvz任意的分子出现的概率：注意：麦克斯韦速度分布律推导过程中没有考虑气体分子间的相互作用，故它仅适用于平衡态的理想气体。思考：分子质量为m温度为T的气体处于热平衡，试求：詹姆斯·克拉克·麦克斯韦：（JamesClerkMaxwell）台譯馬克士威，1831年6月13日－1879年11月5日），英国理论物理学家和数学家。经典电动力学的创始人，统计物理学的奠基人之一。麦克斯韦被普遍认为是对二十世纪最有影响力的十九世纪物理学家。他对基础自然科学的贡献仅次于艾萨克·牛顿、艾尔伯特·爱因斯坦。1931年，爱因斯坦在麦克斯韦百年诞辰的纪念会上，评价其建树“是牛顿以来，物理学最深刻和最富有成果的工作。”（一）相对于vp的速度分量分布令ux=vx/vp，vp=(2KT/m)1/2为最概然速率，则上式可以变换为：三、相对于vp

的速度分量分布与速率分布误差函数

若要求出分子速度x分量小于某一数值的所有分子数所占的比率，则可对上式积分：在概率论和数理统计中，定义下式为误差函数erf(x)：它的数值可以查表：注意：将速度分量表示成相对于最概然速率的形式，可以得到无量纲的误差函数。误差函数有表可查，这样有利于在实际中处理数据[解]首先求出273K时氮气分子（摩尔质量Mm=0.028kg）的最概然速率：[例2.2]

试求在标准状态下氮气分子速度的x分量小于800m·s-1的分子数占全部分子数的百分比.由表2.1查得erf（2）=0.995，故这种分子所占百分比为=49.8%。（二）相对于vp的麦克斯韦速率分布若令，可将麦克斯韦速率分布表示为：利用分步积分，可求得在0到v范围内的分子数为：例：问速率在区间vp到1.01vp内的分子数占总分子数的比率？四、从麦克斯韦速度分布导出速率分布

（一）、用极坐标表示射击点分布由于速率是速度矢量的大小，因此我们用极坐标来表示射击点的分布。若用相等的△r为间隔，在靶板上画出很多个同心圆，数出每个圆环中的黑点数△N。以△N/N△r为纵坐标，r为横坐标画出竖条，如右图所示。令△r0，得到光滑曲线，它表示离靶心不同距离处存在黑点的概率（二）、气体分子的速率分布所有分子速率介于v到v+dv

范围内的分子的代表点都落在以原点为球心、v为半径、厚度为dv的一薄层球壳中，如图所示。根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优取向，在各个方向上应该是等概率的，说明代表点的数密度D是球对称的，D仅是离开原点的距离v的函数。设代表点的数密度为D（v），在球壳内的代表点数dNv应是D（v）与球壳体积的乘积在麦克斯韦速度分布中已指出，在速度空间中，在速度分量vx、vy、vz附近的代表点数密度是Nf（vx、vy、vz），即此处的D（v），故有：将上式代入，可以得到这就是书上的Eq.(2.13)—麦克斯韦速率分布.§2.6外力场中自由粒子的分布：玻尔兹曼分布

按照分子混沌性假设，处于平衡态的气体其分子数密度n应处处相等，但这仅在无外力场条件下成立。如果分子受到重力场、电磁场等作用，气体分子数密度将会有一定的空间分布真实大气的运动千变万化，因而大气压强的变化也十分复杂。为研究方便，现假设大气是等温的且处于平衡态，则大气压强如何随高度变化？（一）等温大气压强公式考虑在大气垂直高度上z到z+dz，面积为A的一薄层气体，该气体受力平衡的条件是：利用理想气体状态方程PVm=RT和物体的密度公式可得=Mm/Vm=pMm/RT，代入dp=-(z)gdz=-(pMm/RT)gdz=-(pmNA/RT)gdz

=-(pm/kT)gdz,得：dp/p=-mg/(kT)dz，即：此处假设大气温度处处相等，重力加速度g不随高度变。其中p（0）及p（z）分别为高度0及z处大气压强，记住m/k=Mm/R。由p=nkT，可把上式改写为气体分子数密度随高度分布的公式：(二)等温大气标高此H称为等温大气标高。物理含义：

（1）在高度z=H处的大气压强为z=0处大气压强的1/e=0.37倍。（2）如果把所有大气分子都压缩为环绕地球表面且密度与海平面处(z=0)密度相等的一层均匀大气层，则这一层大气的厚度就是H（为什么？）。对于地球上的大气而言，常温下T=300K，估算一下H=RT/Mmg的值大约是8.8千米因指数上量纲为1，故中的RT/Mmg

具有高度的量纲。定义物理量H：注意：1.前面的计算都基于不同高度处，大气温度处处相等的假设，实际并不是2.前面的计算基于不同地方、不同高度处，重力加速度g处处相同的假设，实际不是。3.大气标高是粒子按高度分布的特征量，反映的是分子受热运动与重力作用的矛盾，他们相互协调形成稳定的大气压强分布。如果热运动突然停止，所有大气分子将会像砂粒一样落到地面！

也可以想象，如果地球温度高到某一程度，沙漠中的沙子也会如大气分子一样，在热运动和重力的双重作用下，形成一层沙的“空气层”！！三、玻尔兹曼分布（Bortzmanndistribution）

等温大气重力场中分布公式为：

该公式的指数上是重力势能与kT之比的负值，而麦克斯韦速度分布公式为其指数则是粒子动能与kT之比的负值，它们的分布均是按照粒子能量的分布，都有一个称为“玻尔兹曼因子”的因子，我们把具有玻尔兹曼因子的分布称为玻尔兹曼分布

表示在温度T时，粒子处于能量差为1-2这两种不同状态上的粒子数密度之比。这不同状态可以是：在重力势能的两种不同状态；在分子动能的两种不同状态；粒子惯性离心力势能下的不同状态等设在温度为T的系统中，处于粒子能量为1状态的粒子数密度为n1,处于粒子能量为2

状态的粒子数密度为n2

。则玻尔兹曼分布为：玻尔兹曼分布表示：粒子处于能量相同状态上的概率相同；处于能量不同状态的概率不同，而处于高能量状态上的概率反而小注意：玻尔兹曼分布是玻尔兹曼于1868年在推广麦克斯韦速度分布时建立的平衡态能量分布律玻尔兹曼分布是一种普遍的规律：对于处于平衡态的气体中的原子、分子、布朗粒子，以及液体、固体中的很多粒子，一般都可应用玻尔兹曼分布，只要粒子之间相互作用很小而可忽略。由玻尔兹曼分布还可以给出温度的另一种表示，在其中会出现负温的概念，而激光则只能在负温系统中产生。有趣的是，此处的负温度不是说温度真的比绝对零度还低，相反它的温度比无穷大温度还要高！有兴趣的同学可以阅读书中的选读教材。思考：麦克斯韦分布和玻尔兹曼分布的联系和区别是？一、理想气体速度分量上的平均平动动能处于平衡态的理想气体，它的每个分子的平均平动动能在§1.6.4中已给出：由于理想气体热运动沿各分量无择优取向，故：这说明在理想气体中，x、y、z三个方向的平均平动动能均分，为kT/2§2.7能量均分定理

二、自由度与自由度数

自由度（degreeoffreedom）：描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标。自由度数（numberoffreedom）：决定一个物体在空间的位置所