【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套-2.7

第七节

函数的图像【学问梳理】1.必会学问教材回扣填一填(1)利用描点法作函数图像的流程:(2)平移变换:f(x)+kf(x+h)f(x-h)f(x)-k(3)对称变换:①y=f(-x)与y=f(x)的图像关于____对称;②y=-f(x)与y=f(x)的图像关于____对称;③y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于_____对称.y轴x轴原点(4)翻折变换:①y=f(x)y=_______;②y=f(x)y=_______.|f(x)|f(|x|)(5)伸缩变换:①y=f(x)y=______;②y=f(x)y=______.f(ax)af(x)2.必备结论教材提炼记一记(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称.(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点(a,b)中心对称.(3)若函数y=f(x)对定义域内随意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等.(2)数学思想:数形结合、分类探讨(3)记忆口诀:平移变换八字方针①对于左右平移变换,可熟记为:“左加右减”,但要留意加(减)指的是自变量;②对于上下平移变换,可熟记为:“上加下减”,但要留意加(减)指的是函数值.【小题快练】1.思索辨析静心思索判一判(1)函数y=f(x)的图像关于原点对称与函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称一样.()(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图像相同.()(3)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图像相同.()(4)将函数y=f(-x)的图像向右平移1个单位得到函数y=f(-x-1)的图像.()【解析】(1)错误,前者是函数y=f(x)图像本身的对称,而后者是两个图像间的对称.(2)错误,例如,函数y=|log2x|与y=log2|x|,当x>0时,它们的图像不相同.(3)错误,函数y=af(x)与y=f(ax)分别是对函数y=f(x)作了上下伸缩和左右伸缩变换,故函数图像不同;(4)错误.将函数y=f(-x)的图像向右平移一个单位可得y=f(-(x-1))=f(-x+1)的图像.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×2.教材改编链接教材练一练(1)(必修1P40T1改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最终两人同时到达B地.已知甲骑车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图像表示,则下列给出的四个函数图像中,甲、乙的图像应当是()A.甲是图①,乙是图②B.甲是图①,乙是图④C.甲是图③,乙是图②D.甲是图③,乙是图④【解析】选B.由题知速度v=反映在图像上为某段图像所在直线的斜率.由题知甲骑自行车速度最大,跑步速度最小,甲的与①符合,乙的与④符合.故选B.(2)(必修1P32练习T4改编)如图,不规则图形ABCD中:AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分面积为y,则y关于x的大致图像为()【解析】选D.因为左侧部分面积为y,随x的变更而变更,最初面积增加得快,后来匀整增加,最终缓慢增加,只有D选项适合,故选D.3.真题小试感悟考题试一试(1)(2015·滨州模拟)函数f(x)=2x-x2的图像为()【解析】选D.函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,解除选项A,C.又f(-1)=-,f(-2)=,即f(-1)>f(-2).所以f(x)在(-∞,0)上不行能是削减的,故解除B.(2)(2015·九江模拟)由函数y=log2x的图像经过()的变更,就变为y=log2(2-x)的图像()A.先关于x轴对称,再向左平移2个单位B.先关于x轴对称,再向右平移2个单位C.先关于y轴对称,再向左平移2个单位D.先关于y轴对称,再向右平移2个单位【解析】选D.函数y=log2x先关于y轴对称得到y=log2(-x),再向右平移2个单位,得到y=log2[-(x-2)]=log2(2-x).(3)(2015·赣州模拟)函数y=f(x)在x∈[-2,2]的图像如图所示,则当x∈[-2,2]时,f(x)+f(-x)=

.【解析】由图像可知,函数f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0.答案:0考点1作函数的图像【典例1】作出下列函数的图像(1)y=x2-2x.(2)y=|x-2|·(x+2).(3)y=(4)y=|log2x-1|.【解题提示】(1)先求出函数的定义域,在定义域范围内画出函数的图像.(2)去掉确定值,画出分段函数的图像.(3)先化简解析式,分别常数,再利用图像变换画出图像.(4)通过图像变换画图像.【规范解答】(1)因为>1,所以x<-1或x>1,图像是两段曲线,如图实线所示.(2)函数式可化为y=其图像如图实线所示.(3)y=故函数图像可由y=的图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位而得,如图.(4)先作出y=log2x的图像,再将其图像向下平移1个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图像翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图像,如图.【易错提示】解答本题(3)易出现三点错误.(1)不会接受分别法,而接受列表、描点、连线画函数图像.(2)忽视函数的定义域.(3)没有画出虚线(渐近线)部分,造成图像不精确.【互动探究】将本例(4)的函数变为“y=|log2(x-1)|”,函数的图像如何?【解析】由x-1>0,得x>1,函数的定义域为(1,+∞),先作y=log2x的图像,再将图像上的全部的点向右平移一个单位(纵坐标不变),然后保留x轴上方图像不变,并将x轴下方的图像翻折到x轴上方,可得y=|log2(x-1)|的图像,如图实线所示.【规律方法】函数图像的画法(1)干脆法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可依据这些函数的特征找出图像的关键点干脆作出图像.(2)转化法:含有确定值符号的函数,可脱掉确定值符号,转化为分段函数来画图像.(3)图像变换法:若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,但要留意变换依次,对不能干脆找到熟悉的基本函数的要先变形,并应留意平移变换与伸缩变换的依次对变换单位及解析式的影响.【变式训练】作出下列函数的图像(1)y=a|x|(0<a<1).(2)y=3log3|x|.(3)y=log2|x-1|.(4)y=x2-2|x|-1.【解析】(1)y=所以只需作出函数y=ax(0<a<1)中x≥0的图像和y=(0<a<1)中x<0的图像,合起来即得函数y=a|x|(0<a<1)的图像.如图所示.(2)由|x|>0,得函数的定义域为{x∈R|x≠0},且y=3log3|x|=|x|=则其图像如图.(3)作y=log2|x|的图像,再将图像向右平移一个单位,如图,即得到y=log2|x-1|图像.(4)y=图像如图.【加固训练】1.作出函数的图像.【解析】分段分别画出一次函数(x≤1),二次函数(1<x≤3),指数函数(x>3)的图像,如图.2.已知函数f(x)=画出函数y=f(1-x)的图像.【解析】画出y=f(x)的图像,再作其关于y轴对称的图像,得到y=f(-x)的图像,再将所得图像向右平移1个单位,得到y=f(-(x-1))=f(-x+1)的图像,如图.考点2函数图像的辨识知·考情高考对函数图像的考查主要有识图和辨图两个方面,其中识图是每年高考的热点内容,题型多为选择题,难度适中.明·角度命题角度1:借助实际情景探究函数图像【典例2】(2015·湛江模拟)小明骑车上学,起先时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事务吻合得最好的图像是()【解题提示】结合实际及函数的学问得出图像.【规范解答】选C.在遇交通堵塞前运动时,所得图像为一条直线,且距离学校越来越近,故解除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故解除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故解除B.命题角度2:已知解析式确定函数图像【典例3】(2015·滁州模拟)函数y=xcosx+sinx的图像大致为()【解题提示】先推断函数的奇偶性,然后依据函数的零点进行推断.【规范解答】选D.先推断函数y=xcosx+sinx是奇函数,所以解除B;再推断其零点,令y=xcosx+sinx=0,得tanx=-x,画图知其在(0,π)上有且仅有一个零点,故解除A,C.命题角度3:借助动点探究函数图像【典例4】(2015·南昌模拟)已知在函数y=|x|(x∈[-1,1])的图像上有一点P(t,|t|),该函数的图像与x轴,直线x=-1及x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则S与t的函数关系图可表示为()【解题提示】分别求出t∈[-1,0],t∈(0,1]两段函数的解析式,从而推断相应的图像.【规范解答】选B.当-1≤t≤0时,当0<t≤1时,故S=因此选B.悟·技法有关图像辨识问题的常见类型及解题思路(1)由实际情景探究函数图像:关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解,但要留意实际问题中的定义域.(2)由解析式确定函数图像.此类问题往往从以下几方面推断:①从函数的定义域,推断图像左右的位置,从函数的值域,推断图像的上下位置;②从函数的单调性,推断图像的变更趋势;③从函数的奇偶性,推断图像的对称性;④从函数的周期性,推断图像的循环往复.利用上述方法,解除、筛选错误或正确的选项.(3)借助动点探究函数图像:解决此类问题可以依据已知条件求出函数解析式后再推断函数的图像.通·一类1.(2015·贵阳模拟)如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图像表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变更率上反映出来.图①应当是匀速的,故下面的图像不正确;②中的变更率应当是越来越慢的,正确;③中的变更规律是先快后慢再快,正确;④中的变更规律是先慢后快再慢,也正确,故只有①是错误的.2.(2015·合肥模拟)若当x∈R时,y=均有意义,则函数y=的图像大致是()【解析】选B.因为当x∈R时,y=均有意义,所以≤1恒成立,则0<a<1;则y==-loga|x|为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,故选B.3.(2015·衡水模拟)已知函数y=f(x)与y=g(x)的图像如图所示,则函数y=f(x)·g(x)的图像可能是()【解析】选A.视察图像可知,y=f(x)有两个零点x1=-,x2=,且y=g(x)在x=0时,函数值不存在,所以函数y=f(x)·g(x)在x=0时,函数值也不存在,故可以解除选项C,D;当x∈(0,)时,y=f(x)·g(x)的函数值为负,故解除选项B.4.(2015·南昌模拟)如图,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=45°,底边AB=5,高AD=3,点E由B沿折线BCD向点D移动,EM⊥AB于M,EN⊥AD于N,设BM=x,矩形AMEN的面积为y,那么y与x的函数关系的图像大致是()【解析】选A.因为EM⊥AB,∠B=45°,所以EM=MB=x,AM=5-x,当E点在BC上运动时,即0≤x≤3时,y=x(5-x)=当E点在CD上运动时,矩形AMEN即为矩形AMED,此时3≤x≤5,y=3(5-x),所以y=图像如图A.考点3函数图像的应用【典例5】(1)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有()A.10个B.9个C.8个D.1个(2)(2014·江苏高考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2-2x+|.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是

.【解题提示】(1)在同一坐标系中画出函数y=f(x)与y=|lgx|的图像.(2)先画出x∈[0,3)的函数图像,依据函数f(x)的周期为3,及y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点,结合图像确定实数a的取值范围.【规范解答】(1)选A.依据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下可验证当x=10时,y=|lg10|=1;x>10时,|lgx|>1.因此结合图像及数据特点知y=f(x)与y=|lgx|的图像交点共有10个.(2)由x∈[0,3)时,f(x)=|x2-2x+|的图像,知f(0)=,f(1)=,f(3)=,函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点,即方程y=f(x)-a=0在区间[-3,4]上有10个根,也就是函数y=f(x)的图像与y=a在区间[-3,4]上有10个交点,因函数周期为3,因此函数y=f(x)的图像与y=a在区间x∈[0,3)上应当有4个交点,则有a∈(0,).答案:(0,)【规律方法】1.利用函数的图像探讨方程根的个数当方程与基本函数有关时,可以通过函数图像来探讨方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图像与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图像交点的横坐标.2.利用函数的图像探讨不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.【变式训练】1.(2013·湖南高考)函数f(x)=2lnx的图像与函数g(x)=x2-4x+5的图像的交点个数为()A.3B.2C.1D.0【解析】选B.在同始终角坐标系下画出函数f(x)=2lnx与函数g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1的图像,如图所示.因为f(2)=2ln2>g(2)=1,所以f(x)与g(x)的图像的交点个数为2,故选B.2.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是

.【解析】y=作出图像,如图所示.此曲线与y轴交于(0,a)点,最小值为a-,要使y=1与其有四个交点,只需a-<1<a,所以所以1<a<.答案:(1,)【加固训练】(2015·九江模拟)已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个根,则k的取值范围是

.【解析】由题意作出f(x)在[-1,3]上的示意图如图,记y=k(x+1)+1,所以函数y=k(x+1)+1的图像过定点A(-1,1).记B(2,0),由图像知,方程有四个根,即函数y=f(x)与y=kx+k+1的图像有四个交点,故kAB<k<0,kAB=,所以-<k<0.答案:(-,0)巧思妙解3巧用函数的变更趋势及