2019学年高一数学北师大版必修4学案182函数y=Asin(ωxφ)的性质

第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质1．掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单一性及最值的求法．(要点)2．理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性．(难点)[基础·初探]教材整理函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质阅读教材P53～P55“练习3”以上部分，达成以下问题．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质定义域R值域[－A，A]周期2πT＝ωπ对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋2(k∈Z)求得对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得递加区间由ππ单一性2kπ－2≤ωx＋φ≤2kπ＋2(k∈Z)求得；递减区间由π3π(∈求得≤ωx＋φ≤2kπ＋Z)2kπ＋22k判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1π11(1)函数y＝2sin2x－6，x∈R的值域为－2，2.()11(2)函数y＝2sin3x－12的周期为4π.()(3)函数y＝6sin2x－ππ.()4，x∈R的一个对称中心为，08ππ(4)函数y＝3sin2x＋6，x∈R的一条对称轴为x＝6.()2π【分析】由y＝Asin(ωx＋φ)的性质，故(1)(3)(4)均正确．(2)中，T＝1＝6π，3因此(2)错．【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√[怀疑·手记]预习达成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”商讨沟通：疑问1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题求函数y＝2sin2x＋ππ4，x∈0，2的值域．π【出色点拨】将2x＋4看作整体u，利用y＝sinu的图像可求．π【自主解答】∵0≤x≤2，ππ5π∴0≤2x≤π，∴4≤2x＋4≤4，2π∴－2≤sin2x＋4≤1，∴－1≤

π2sin2x＋4≤

2，即－1≤y≤

2，∴函数

y＝

π2sin2x＋4，x∈

π0，2的值域为[－1，2]．求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤：(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；(2)作出y＝sinu(注意u的取值范围)的图像；(3)联合图像求出值域．[再练一题]1．已知函数

πf(x)＝asin2x＋3＋1(a>0)的定义域为

7ππR，当－12≤x≤－12时，f(x)的最大值为

2，求

a的值.7ππ【解】因为－12≤x≤－12.7ππ所以－6≤2x≤－6，5πππ即－6≤2x＋3≤6.1联合函数图像知f(x)max＝2a＋1，1所以2a＋1＝2，即a＝2.y＝Asin(ωx＋φ)的单一区间设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线xπ＝8.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单一递加区间；(3)画出函数y＝f(x)在[0，π]上的图像．【出色点拨】由已知条件、联合图像，易求得φ，而后视2x＋φ为一个整体，求出单一区间．π【自主解答】(1)∵x＝8是函数y＝f(x)的图像的对称轴，π∴sin×＋φ＝±1，28ππ∴4＋φ＝kπ＋2(k∈Z)．∵－π<φ<0，3π∴φ＝－4.由知，φ＝－3π3ππ3ππ(2)(1)44.2kπ－242π5(k∈Z)，∴kπ＋8≤x≤kπ＋8π(k∈Z)，3ππ5π∴函数y＝sin2x－4的单一递加区间为kπ＋8，kπ＋8，k∈Z.3π(3)依据y＝sin2x－4，列表以下：x0π3π5π7ππ8888y2－10102－2－2故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像以下图：1．由已知条件确立y＝Asin(ωx＋φ)的分析式时，应注意利用函数的性质确立它的参数．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单一区间时，常视ωx＋φ为一个整体，经过y＝sinx的单一区间，求得函数的单一区间．[再练一题]3π2．求函数y＝sin4－2x的单一区间．【解】∵y＝sin

3π4－2x

＝－sin2x－

3π4，3π∴原函数的单一区间与y＝sin2x－4的单一区间相反．π3ππ由－2＋2kπ≤2x－4≤2＋2kπ(k∈Z)，得π5π8＋kπ≤x≤8＋kπ(k∈Z)．即原函数的单一减区间为π5π∈，Z)88(kπ3π3π由2＋2kπ≤2x－4≤2＋2kπ(k∈Z)，得原函数的单一增区间为5π9π∈．Z)88(k即函数＝3π－π2x的单一减区间是＋kπ，5π＋π(k∈Z)，ysin488k单一增区间是5π＋kπ，9π＋kπ∈Z)．88(k[研究共研型]函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用研究1函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特色？【提示】对称中心为图像与x轴的交点；对称轴为过其图像最高点或最低点与x轴垂直的直线．π研究2y＝sinωx＋2是偶函数吗？【提示】是．因为

sin

πωx＋2＝cosωx.所以y＝sin

πωx＋2是偶函数．研究3函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像对于点(x0,0)成中心对称意味着什么？【提示】意味着图像过点(x0,0)，即点的坐标合适函数分析式．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像对于点

M

3π4，0

对称，且在区间

π0，2上是单一函数，求φ和ω的值．【出色点拨】依据对称轴，对称中心的特色成立方程求解．【自主解答】由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像对于y轴对称，∴f(x)在x＝0时获得最值，即sinφ＝±1.π依题设0≤φ≤π，解得φ＝2.3ππ4k2由f(x)的图像对于点M对称，可知sin4ω＋2＝0，解得ω＝3－3，k∈Z.π又f(x)在0，2上是单一函数，2π∴T≥π，即ω≥π，∴ω≤2.又ω>0，∴当

k＝1时，ω＝23；当

k＝2时，ω＝2，π2∴φ＝2，ω＝2或ω＝3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用1．应用范围函数的单一性、最值、奇偶性、图像的对称性等方面都有表现和考察．2．解决的方法求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的周期、单一区间、最值、对称轴或对称中心问题，都可令ωx＋φ＝u，套用y＝sinu的一系列性质顺利解决．[再练一题]．若函数＝ωx＋φA>0，ω>0，0<φ<πyAsin(3)2点与最低点横坐标之差为3π，又图像过(0，2)，求函数的分析式及单一区间．【解】∵函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π，∴A＝2，T＝3π，∴2π1，＝6π，∴ω＝2ω31y＝2sin3x＋φ.π又∵函数图像过点(0，2)，0<φ<2，π∴2sinφ＝2，∴φ＝4，1π∴函数分析式为y＝2sin3x＋4.πππ由－＋2kπ≤1＋≤＋2kπ，23x42得－9π＋6kπ≤x≤3π＋6kπ(k∈Z)，4493所以单一增区间为－4π＋6kπ，4π＋6kπ(k∈Z)．π1π3π由2＋2kπ≤3x＋4≤2＋2kπ(k∈Z)，得3154π＋6kπ≤x≤4π＋6kπ(k∈Z)，所以单一减区间为3π＋6kπ，15π＋6kπ∈Z)．44(k[建立·系统]．函数y＝2sin2x＋π＋2的最大值为()16A．2B．4C．3D．5π【分析】因为x∈R，∴－1≤sin2x＋6≤1，∴y≤2＋2＝4.【答案】Bπ2．函数f(x)＝sinx－4的图像的一条对称轴是()ππA．x＝4B．x＝2ππC．x＝－4D．x＝－2ππ，【分析】由x－＝＋kπ，得x＝kπ＋3π(∈Z)424k令k＝－1，得x＝－π4.【答案】Cπ2，当x3．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在一个周期内当x＝12时有最大值7π＝12时有最小值－2，则ω＝________.7πππT＝2×12－122【分析】由题意知＝π，所以ω＝T＝2.【答案】2．＝π2sin3x－的图像的两条相邻对称轴之间的距离是________.4y412ππ【分析】由函数图像知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即·＝.233π【答案】3π5．求函数y＝2sin4－x的单一减区间．πππ【解】y＝2sin4－x＝－2sinx－4，所以其单一减区间为y＝2sinx－4的增区间，ππππ3由2kπ－2≤x－4≤2kπ＋2(k∈Z)，得2kπ－4≤x≤2kπ＋4π(k∈Z)，ππ3π所以函数y＝2sin4－x的单一减区间为2kπ－4，2kπ＋4(k∈Z)．我还有这些不足：(1)_________________________________________