2021-2022高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算2空间向量的数乘运算1作业含解析新人教A版选修2-120220309128

PAGEPAGE4空间向量的数乘运算一、基础过关1．已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))等于 ()A.eq\f(3,2)eq\o(DB,\s\up6(→)) B．3eq\o(MG,\s\up6(→))C．3eq\o(GM,\s\up6(→)) D．2eq\o(MG,\s\up6(→))2．设M是△ABC的重心，记eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AM,\s\up6(→))等于 ()A.eq\f(b－c,2) B.eq\f(c－b,2)C.eq\f(b－c,3) D.eq\f(c－b,3)3．已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是 ()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、D4．下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是 ()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|5．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是 ()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝06.如图所示，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于 ()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)cD．－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c7．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.8．在四面体O—ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．9.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，则x＝________，y＝________.二、能力提升10．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，试求实数k的值．11．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up6(→)).求证：P、A、B、C四点共面．12．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，当eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))时，点P是否与A、B、C共面？三、探究与拓展13.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(OC1,\s\up6(→))是共面向量．

答案1．B2.D3.A4.C5.C6.B7.eq\f(2,15)8.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c9．1eq\f(1,4)10．解因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1－4e2，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，由共线向量定理得eq\f(1,2)＝eq\f(－4,k)，所以k＝－8.11．证明∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)－\f(2,5)))eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(2,5)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴向量eq\o(AP,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))共面，而线段AP、AB、AC有公共点，∴P、A、B、C四点共面．12．证明若P与A、B、C共面，则存在惟一的实数对(x，y)使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，于是对平面ABC外一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝x(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋y(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－x－y)eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，比较原式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x－y＝2,x＝－1,y＝－1))，此方程组无解，这样的x，y不存在，所以A、B、C、P四点不共面．13．证明设eq\o(C1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(C1C,\s\up6(→))＝c，∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴eq\o(B1C,\s\up6(→))＝c－a，又O是B1D1的中点，∴eq\o(C1O,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，∴eq\o(OC1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(OD1,\s\up6(→))＝eq\o(C1D1,\s\up6(→))－eq\o(C1O,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)(b－a)．∵D1D綊C1C，所以eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)＋c.若存在实数x、y，使eq\o(B1C,\s\up6(→))＝xeq\o(OD,\s\up6(→))＋yeq\o(OC1,\s\up6(→))(x，y∈R)成立，则c－a＝xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－a＋c))＋yeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋b))＝－eq\f(1,2)(x＋y)a＋eq\f(1,2)(x－y)b＋xc.∵a、b、c不共线，∴