实际问题与二次函数（第1课时）课件 人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积视频/2016/08/21/VIDEaTZRrauyFKlVoseLedLd160821.shtml导入新知

排球运动员从地面竖直向上抛出排球，排球的高度h（单位：m）与排球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=20t-5t2（0≤t≤4）．排球的运动时间是多少时，排球最高？排球运动中的最大高度是多少？0ht4【思考】1.掌握几何问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求图形面积的最值.2.会应用二次函数的性质解决实际问题.学习目标从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h=30t-5t2

可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.新知一二次函数与几何图形面积的最值合作探究

由于抛物线y=ax2

+

bx+c的顶点是最低（高）点，当时，二次函数

y=ax2

+

bx+c有最小（大）值【想一想】如何求出二次函数y=ax2

+

bx+c的最小（大）值？【分析】

小球运动的时间是

3s时，小球最高;小球运动中的最大高度是45m．t/sh/mO1234562040h=30t-5t2解：

一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=

时，二次函数有最小（大）值.例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1

矩形面积公式是什么？问题2

如何用l表示另一边？问题3

面积S的函数关系式是什么？素养考点1利用二次函数求几何图形的面积的最值典例精析

用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？lS解：场地的面积S=l(30-l)，即S=-l2+30l(0<l<30).即当l是15m时，场地的面积S最大.矩形场地的周长是60m,一边长为lm,所以另一边长为m.因此，当时，S有最大值利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2.确定自变量的取值范围；3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.方法点拨变式1

如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2

我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3

面积S的函数关系式是什么？问题1

变式1与例题有什么不同？S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.设垂直于墙的边长为x米.问题4

如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5

如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.变式2

如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？x问题1

变式2与变式1有什么异同？问题2

可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3

可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则问题4

当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5

如何求自变量的取值范围？0＜x≤18.问题6

如何求最值？由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.

不正确.

实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.方法点拨

已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x,∴另一边长为8-x.

则该直角三角形面积：即：当S有最大值＝∴当时，直角三角形面积最大，最大值为8.S=（8-x）x÷2,x==4,另一边为4时,8,两直角边都是4巩固练习1.用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________.课堂练习2.如图1，在△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过

秒，四边形APQC的面积最小.3ABCPQ图13.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面积为y，则DG=1-x.即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.当x=时，y有最小值.∴4.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.解：即(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？解：∵0＜x＜25，∴当x=20时，满足条件的绿化带面积ymax=200.几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定归纳新知1．已知关于x的二次函数y＝x2－4x＋m的最小值为0，则m的值是()A．2B．－4C．4D．162．当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2－2x＋3的最大值为____，最小值为____．C112课后练习3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，点P到达点B运动停止，则△PBQ的面积S与出发时间t的函数关系图象大致是()C4．已知一个直角三角形两直角边之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为()A．25cm2B．50cm2

C．100cm2D．不确定BC

6．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是_______．64m27．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以1cm/s的速度移动，如果点P，Q分别同时出发，当四边形APQC的面积为最小时，运动时间t为____s.28．(教材P52T5变式)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？9．当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为()A．－1B．2C．0或2D．－1或2DC11．将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长为周长各围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是___________．12.5cm26cm

13．用长24m的篱笆围成如图中间有一道篱笆的矩形花圃，墙长9m，设垂直于墙的长度为xm，花圃的面积为Sm2.(1)求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(2)当x为多少时，花圃的面积最大，最大面积是多少？

解：(1)由题意得S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x(5≤x＜8)

(2)S＝－3(x－4)2＋48.∵5≤x＜8在对称轴x＝4的右侧，此时S随x的增大而减小，∴当x＝5时，S最大＝45(m2).答：当x＝5时，花圃的面积最大为45m214．工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，用虚线表示折痕；并求当长方体底面积为32平方分米时，裁掉的正方形的边长．(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？解：(1)如图所示：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(12－2x)(8－2x)＝32，即x2－10x＋16＝0，解得x＝2或x＝8(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为32