《几何概型》同步练习4

《几何概型》同步练习A组基础巩固1．如图所示，在一个边长分别为a，b(a>b>0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为eq\f(a,3)，eq\f(a,2)，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是()\f(7,10)\f(5,7)\f(5,12)\f(5,8)答案：C2.如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为()\f(1,2)\f(\r(3),2)\f(1,3)\f(1,4)答案：C3．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝()\f(1,2)\f(1,4)\f(\r(3),2)\f(\r(7),4)答案：D4．设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()\f(π,4)\f(π－2,2)\f(π,6)\f(4－π,4)答案：D5．一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为()\f(π,12)B．1－eq\f(π,3)C．1－eq\f(π,4)D．1－eq\f(π,12)解析：三角形ABC的面积为S1＝eq\f(1,2)×3×4＝6.离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2＝eq\f(π,2)，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P＝1－eq\f(S2,S1)＝1－eq\f(π,12).答案：D6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是________．答案：eq\f(π,6)7．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于等于的概率为________．答案：8．在区间[－2,3]上任取一个实数a，则使直线ax＋y＋1＝0截圆O：x2＋y2＝1所得弦长d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,5)\r(5)))的概率是________．解析：如图．直线ax＋y＋1＝0截圆O：x2＋y2＝1所得弦长d＝AB∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,5)\r(5)))，则半弦长BC∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(2,5)\r(5)))，因为圆的半径等于1，所以圆心到直线ax＋y＋1＝0的距离OC∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(\r(2),2)))，即eq\f(\r(5),5)≤eq\f(1,\r(a2＋1))≤eq\f(\r(2),2)，得－2≤a≤－1或1≤a≤2.又a∈[－2,3]，所以在区间[－2,3]上任取一个实数a，则使直线ax＋y＋1＝0截圆O：x2＋y2＝1所得弦长d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(4,5)\r(5)))的概率是eq\f([－1－－2]＋2－1,3－－2)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)9.如图所示，平面上画了两条平行且相距2a的平行线．把一枚半径r<a的硬币任意投掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解：设事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，参看图，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0，a]，只有当r<|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r，a]．所以P(A)＝eq\f(r，a]的长度,[0，a]的长度)＝eq\f(a－r,a).10．在长度为10cm的线段AD上任取两点B，C在B，C处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率．解：设AB，AC的长度分别为x，y，由于B，C在线段AD上，因而应有0≤x，y≤10，由此可见，点对(B，C)与正方形K＝{(x，y)|0≤x≤10,0≤y≤10}中的点(x，y)是一一对应的，先设x<y，这时，AB，BC，CD能构成三角形的充要条件是AB＋BC>CD，BC＋CD>AB，CD＋AB>BC，注意AB＝x，BC＝y－x，CD＝10－y，代入上面三式，得y>5，x<5，y－x<5，符合此条件的点(x，y)必落在△GFE中(如图)．同样地，当y<x时，当且仅当点(x，y)落在△EHI中，AC，CB，BD能构成三角形，利用几何概型可知，所求的概率为eq\f(S△GFE＋S△EHI,S正方形)＝eq\f(1,4).B组能力提升11．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率为()\f(1,4)\f(1,2)\f(3,4)\f(2,3)解析：如图，在△ABC中，在AB上取点D使BD＝eq\f(1,4)AB，则eq\f(h,H)＝eq\f(1,4)，此时S△DBC＝eq\f(1,4)S.在AB边上取点P，则所有的随机结果为AB上的点，而使面积大于eq\f(S,4)的点落在AD上，∴P＝eq\f(3,4).答案：C12．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解析：弦长不超过1，即|OQ|≥eq\f(\r(3),2)，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－eq\f(\r(3),2).13．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点．(1)在AD上(含A，D端点)确定一点P，使得GP∥平面FMC.(2)一只苍蝇在几何体ADF－BCE内自由飞行，求它飞入几何体F－AMCD内的概率．解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝DC.(1)点P在A点处．证明：取FC中点S，连接GS，MS，GA，因为G是DF的中点，所以GS∥CD，GS＝eq\f(1,2)CD.又AB∥CD，AB＝CD，所以GS∥AB，且GS＝eq\f(1,2)AB，又M为AB中点，所以GS＝AM，所以四边形AGSM为平行四边形．所以AG∥MS，又MS⊂平面FMC，AG⊄平面FM