二次函数与一元二次方程课件 人教版数学 九年级上册

人教版数学九年级上册第二十二章二次函数22.2

二次函数与一元二次方程以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t-

5t2．（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？导入新知1.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.学习目标

如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：

h=20t-5t2，考虑以下问题：新知一二次函数与一元二次方程的关系合作探究（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：15=20t-5t2,

t2-4t+3=0,

解得t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？Oht20420=20t-5t2,t2-4t+4=0,解得t1=t2=2.故当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2解：（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.h=20t-5t2（4）球从飞出到落地要用多少时间？Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,解得t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.h=20t-5t2解：小球飞出时和落地时的高度均为0m，

从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.为一个常数（定值）

二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．已知二次函数中因变量的值，求自变量的值解一元二次方程二次函数与一元二次方程的关系（1）例

已知二次函数y=2x2-3x-4的函数值为1，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程

2x2-3x-4=1

.反之，解一元二次方程2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数y=2x2-3x-5的函数值为0时自变量x的值.解之得：x1=-1，x2=2.5二次函数与一元二次方程的关系典例精析二次函数y=x2-3x+2，当x=1时，y=

;当y=0时，x= .

抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为

;与x轴的交点坐标为

.01或2

(0,-1)

(0.5,0)和（-0.5,0）巩固练习【思考】观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.新知二利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况合作探究二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？无公共点先画出函数图象：公共点的函数值为

.0对应一元二次方程的根是多少？x1

=-2，x2

=1.x1

=x2

=3.方程无解有两个不等的实根有两个相等的实根没有实数根由上述问题，你可以得到什么结论呢？方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.

反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.有两个不等实根有两个相等实根没有根有两个交点有一个交点没有交点Δ

>0Δ

=0Δ

<0一元二次方程ax2+bx+c=0的根抛物线

y=ax2+bx+c与x轴

若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则b2–4ac

≥0.Δ=b2–4ac

二次函数与一元二次方程的关系（2）Δ

＞0Δ

=0Δ＜0oxy△=b2–4acy=ax2+bx+c那么a<0时呢？a＞01Oy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2观察图象，完成下表：抛物线与x轴公共点个数公共点横坐标相应的一元二次方程的根y=x2－x＋1y

=x2－6x＋9y=x2＋x－20个1个2个x2-x+1=0无解3x2-6x+9=0，x1=x2=3-2,1x2+x-2=0，x1=-2,x2=1yx二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>

0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2-4ac

=

0没有交点没有实数根b2-4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系例1

已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．解：(1)证明：∵m≠0，∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，

∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点；

利用二次函数与一元二次方程的根的关系确定字母的值（范围）典例精析已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是

．

巩固练习例2

如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？二次函数与一元二次方程关系在实际生活中的应用典例精析解：

由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？解：由抛物线的表达式得即解得即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.解：由抛物线的表达式得即因为所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.

如图设水管AB的高出地面2.5m，在B处有一自动旋转的喷水头，喷出的水呈抛物线状，可用二次函数y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所示的直角坐标系中，求水流的落地点D到A的距离是多少？解：根据题意得-0.5x2+2x+2.5=0，解得x1=5，x2=-1(不合题意舍去).答：水流的落地点D到A的距离是5m.ABOD巩固练习求一元二次方程

的根的近似值（精确到0.1）.

分析：一元二次方程x²-2x-1=0的根就是抛物线y=x²-2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.新知三利用二次函数求一元二次方程的近似解合作探究解：画出函数y=x²-2x-1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.

先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数

y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.一元二次方程的图象解法根据下列表格的对应值:

判断方程

ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25

D.3.25<x<3.26

x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C巩固练习1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(

)A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1B课堂练习2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2=

；-13.一元二次方程3x2+x－10=0的两个根是x1=－2，x2=，那么二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是

.(-2，0)(，0)4.若一元二次方程无实根，则抛物线图象位于（）A.x轴上方

B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限A5.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(

)A．k<3B．k<3且k≠0C．k≤3

D．k≤3且k≠0D6.已知函数y＝(k－3)x²＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.

∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.判别式Δ=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集x2x1xyOOx1=x2xyxOyΔ>0Δ＝0Δ＜0x1;x2

没有实数根x<x1或x>x2x≠x1的任意实数任意实数x1<x<x2无解无解归纳新知B

C

课后练习3．关于x的二次函数y＝(k－2)x2＋2x＋1与x轴有交点，则k的取值范围是()A．k≤3B．k≤3且k≠2C．k＞3D．k＜2BC5．(2020·宁夏)若二次函数y＝－x2＋2x＋k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是____________．k＞－16．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是()A.2＜x＜2.23B．2.23＜x＜2.24C．2.24＜x＜2.25D．2.25＜x＜2.26x2.232.242.252.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09C7．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根．(精确到0.1)解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．先求－1和0之间的根，当x＝0时，y＝－1＜0，当x＝－1时，y＝2＞0，∴这个根在－1，0之间．取－1，0的平均数－0.5，得y＝0.25＞0，∴这个根在－0.5，0之间．取－0.5，0的平均数－0.25，得y＝－0.4375＜0，∴这个根在－0.5，－0.25之间．取－0.5，－0.25的平均数－0.375，得y＝－0.109375＜0，∴这个根在－0.5，－0.375之间．再取－0.5，－0.375的平均数－0.4375，得y＝0.06640625＞0，∴这个根在－0.4375，－0.375之间．∵结果精确到0.1，∴x＝－0.4是方程的一个近似根，同理，x＝2.4是方程的另一个近似根8．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是()A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞2C9．如图，过点(0，1)且平行于x轴的直线与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)图象的交点坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式ax2＋bx＋c－1＞0的解集为()A．x＞1B．1＜x＜3C．x＜1或x＞3D．x＞3C10．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－2＝0的根的情况是()A.有两个不等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根C11．若关于x的函数y＝(a－1)x2