八年级上册-角平分线的性质和判定

角平分线的性质［问题］如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？［操作］作已知角的平分线的方法：已知：NAOB.求作：NAOB的平分线.作法：(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.1(2)分别以M、N为圆心，大于5MN的长为半径作弧.两弧在ZAOB内部交于点C.(3)作射线OC，射线OC即为所求.［探索］按以下步骤折纸将NAOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？［证明］已知：OC是NAOB的平分线，点P在OC上，PD±OA，PELOB，垂足分别是D、E求证：PD=PE证明：［几何语言描述］P在ZAOB的平分线上PD1OA于D，PE1OB于E・•.PD=PE角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.【例1】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处？【例2】如图，^ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.【例3】如图，D是AABC的外角ZACE的平分线上一点，DF1AC于F，DE1BC于E，且交BC的延长线于E。求证：CE=CF。［例4】已知：AD是^ABC的角平分线，DE±AB,DFXAC,垂足分别是E、F,BD=CD,求证：NB=NC.【例5】如图，在^ABC中，已知AC=BC,ZC=90°,AD是^ABC的角平分线，DELAB,垂足为E.求证:AB=AC+CD.JC。 3【例6】如图，OC是NAOB的角平分线，P是OC上一点，PDXOA交于点D,PEXOB交于点E,F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF,贝UDF与EF的关系如何？证明你的结论B.OC=ODA.PC=PD（第2题）D.OC=PC（第3题）5、B.OC=ODA.PC=PD（第2题）D.OC=PC（第3题）5、如图，/C=90°,AD平分/BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm.（第4题）则点D到AB的距离为（A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定【课后作业】1、如图所示，NB=NC=90°,根据角平分线的性质填空：（1）若N1=N2,则=；（2）若N3=N4,则=.TOC\o"1-5"\h\z2、如图所示，下列推理中正确的个数是（ ）①因为OC平分NAOB,点P、D、E分别在OC、OA、OB上，所以PD=PE；②因为P在OC上，PD±OA,PELOB,所以PD=PE；③因为P在OC上，PD±OA,PELOB,且OC平分NAOB,所以PD=PE.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3、如图，^ABC中，NACB=90°,AD平分NBAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,则BC=（ ）A.3cm B.7.5cm C.6cm D.4.5cm4、如图，OP平分/AOBPC±OA于C,PD±OB于4、如图，OP平分/AOB6、如图，4ABC中，/B、/C的平分线交于点O,ODXAB于D,OE±AC于E,则OD与OE的大小关系是（ ）OD>OEODOD>OEOD=OEOD<OED.不能确定7、如图，AB〃CD,O为/BAC,/ACD平分线的交点，OE±AC交AC于E,且OE=2,则UAB与CD之间的距离等于 8、如图，AB=AD,/ABC=/ADC=90°,则①AC平分/BAD；②CA平分/BCD；③AC平分BD；④BD平分/ADC中，正确的结论是（）A.①② B.①②③ C.①②④ D.只有①

（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）1AB=7,BC=8,AC=9(1.)求BP、CQ、AR的长。(2).如图2若CDLBO于D求证NOCD=2ZA(3).如图3若BO的延长线叫AC于E,CO的延长线叫AB于F,若NA=60°,求证：OE=OF.

图角平分线的判定图角平［思考］角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的条件是;结论是如果将条件和结论互换，则可以得到命题，那么，这个命题是真命题吗？可以证明吗？【例1】证明如下：已知：PD±OA,PELOB,垂足分别是D、E,PD=PE.求证：点P在NAOB的平分线上.,BF±AC,CELAB.求证：D在NBAC的平分线上.【例4】如图所示，BD平分NABC,AB=BC,点P在BD上，PM±AD,PN±CD,M、N为垂足.求证：PM二PN.【例5】如图，在^ABC中，D为BC的中点，DEXBC交NBAC的平分线AE于E,EFXAB于F,EGXAC交AC延长线于G,求证：BF二CG。【思考】若OC为NAOB的角平分线，PDXOA于D,PEXOB于E,除了可以得到DP=PE之外，还可以得到哪些角或线段之间的关系？【例5】如图，在NBAC的平分线上任取一点D,在AB,AC上各到一点E和F,若DE二DF,且AE>AF,求证NAED+NAFD=180°£【例6】如图，D是NEAF平分线上的一点，若NACD+NABD=180°,求证CD=DB

【课后作业】1、如图，已知PAXON于A,PBXOM于B,<PA=PB,/MON=50°,/OPC=30°,则NPCA=2、如图，在4ABC中，NB=90°,点O到AB、BC两边的距离相等，则NAOC的度数为.（第1题） （第2题）3、如图所示，AB〃CD,点P是线段MN的中点，且MNXCD,点P到BC的距离等于2 ,则点P应是的平分线与平分线的交点4、如图，已知点P在4ABC的外部，NDAE的内部，若点P到BC、BD、CE的距离都相等，则下列关于P的位置说法最准确的是（ ）5、（2010,南宁）如图所示，在RtAABC中，/A=90°,BD平分/ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,AD=3,则点D至UBC的距离是（第3题） （第4题） （第5题）TOC\o"1-5"\h\z6、如图，在4ABC中，NC=90°,AD是三角形的角平分线，DE±AB于E,下列结论错误的是（ ）A.BD+DE=BC B.DE平分/ADB C.AD平分/EDC D.AC=AE7、如图所示，在^ABC中，AB=AC,AD是^ABC的角平分线，DE±AB,DF，AC,垂足分别是E、F,则下列结论中不正确的是（ ）A.DA平分/EDF B.AE=AFC.AD上任一点P至UAB、AC的距离相等 D.AB、AC上的点到AD的距离相等8、如图所示，AD平分/BAC,DE，AB,垂足为E,DF，AC,垂足为F,则结论：①^^人£6丝△△AFG；②△AED四△AFD；③4DEG四△DFG；④4BDE丝4CDF中正确的个数有（ ）1个2个31个2个3个4个（第6题） （第7题）9、如图，11、l/13是三条两两相交的笔直公路，个加油站的位置共有（ ）（第8题） （第9题）现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这1处2处3处4处9、如图，（第6题） （第7题）9、如图，11、l/13是三条两两相交的笔直公路，个加油站的位置共有（ ）（第8题） （第9题）现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这1处2处3处4处9、如图，D,E,F分别是三角形ABC三边上的点，CE=BF,且SADCE=SADBF10、如图，NB=NC=90°,M是BC的中点，DM平分NADC.求证：(1)AM平分/DAB；(2)/DMA=90°11、如图，已知NCAD=NCDA,AC=BD,E在BC上，DE=EC,求证：AD平分/BAE.12、如图，AE,BD是^ABM的高，AE,BD交于点C,且AE=BE,BD平分/ABM,求证BC=2ADAB=AE+CEE