第13章　轴对称-等腰、等边三角形培优训练　 人教版数学八年级上册

等腰、等边三角形培优训练题1如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且始终保持AD=CE.连接DE，DF，EF.（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）试证明△DFE是等腰直角三角形.2如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O（1）过O作EF//BC交AB于E，交AC于F，请你写出图中所有等腰三角形，并判断EF、BE、FC之间的关系，并证明你的结论（2）若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?若有，请写出所有的等腰三角形，若没有，请说明理由;线段EF、BE、FC之间，上面探究的结论是否还成立?3已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC

于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

(1)求证：BF=AC；

(2)求证：CE=12BF；

(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。

4如图，△ABC是边长为2的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°。（1）证明:BE+CF=EF（2）求△AEF的周长。5如图,在△ABC中,BA=BC,D在边CB上,且DB=DA=AC.

(1)如图1,填空∠B=°,∠C=°；

(2)若M为线段BC上的点,过M作直线MH⊥AD于H,分别交直线AB、AC与点N、E,如图2

①求证:△ANE是等腰三角形;

②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系,并加以证明.

6如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，延长CF.求证：CD=BF求证：AD⊥CF连接AF，试判断△ACF的形状7已知△ABC和△DEB为等边三角形，点A、D、B在同一直线上，如图1所示。（1）求证：DC=AE；（2）若BM⊥CD，BN⊥AE，垂足分别为M、N，如图，求证：△BMN为等边三角形。8如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．9如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）求出发2秒后，PQ的长；（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．10如图所示，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于点Q，BE交AD于点P，求∠PBQ的度数；请判断PB和PQ的数量关系，并说明理由；若PQ=3,PE=1，求AD的长11如图,在平面直角坐标系中,△

AOP为等边三角形,A(0，2),点B为y轴上一动点,以BP为边作等边△PBC（1）求证:OB=AC;

（2）求∠

CAP的度数;

（3）当B点运动时,AE的长度是否发生变化?（4）在（3）的条件下，在y轴上存在Q点，使得△AEQ为等腰三角形，请写出点Q的坐标12如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝100°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；（2）当∠BAD＝α时，求∠EDC，并说明点D从B向C运动时，∠DEC的大小如何变化？（3）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（4）点D在运动过程中，当∠BAD等于多少度时，△ADE是等腰三角形．13如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．14如图1，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D，（1）求证：△BDE为等腰三角形；（2）若点D为AB中点，AB＝6，求线段BC的长；（3）在图2条件下，若∠BAC＝60°，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BE运动，请直接写出图3当△ABP为等腰三角形时t的值．15在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD，当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC=ED；当点E不为AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形在第（2）的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由。16如图，在等边△ABC的顶点A，C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图（2）情形，求证：∠CQE=60°;（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确.17如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l,边EF与边AC重合,且EF=FP.

（1）在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;

（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.18已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），连接CE．（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：①BC=CE+CD；②BC⊥EC.（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论①BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC、CE、CD之间存在的数量量关系，并说明理理由；结论②BC⊥EC还成立吗？请证明。（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC、CE、CD之间存在的数量量关系．19如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△PAQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△PAB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．20如图，在△

ABC中，∠

B＝∠

C，

AB＝8，

BC＝6，点

D为

AB的中点，点

P在线段

BC上以每秒2个单位的速度由点

B向点

C运动